Литература и лекции / DefiniteIntegral
.pdfПо теореме Лагранжа, для каждого i = 1; 2; 3; : : : ; n ; существует значение »i 2 (xi¡1; xi) такое, что
F (xi) ¡ F (xi¡1) = F 0(»i) ¢ (xi ¡ xi¡1) = f(»i) ¢ (xi ¡ xi¡1) : |
(8) |
Тогда, согласно (7) è (8),
n |
n |
|
X |
Xi |
|
F (b) ¡ F (a) = |
(F (xi) ¡ F (xi¡1)) = f(»i) ¢ (xi ¡ xi¡1) : |
(9) |
i=1 |
=1 |
|
Функция f(x) непрерывна на [a; b] , следовательно, она интегрируема на [a; b] ,
то есть, существует интеграл |
Zb |
|
|
|
f(x) dx : |
a
Возьм¼м и приравняем друг к другу пределы при n ! +1 (а значит, и при r ! 0) левой и правой частей (9):
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
Xi |
|
i) ¢ ( |
|
i ¡ |
|
|
|
|
lim (F (b) |
F a |
lim |
f » |
x |
x |
i¡1) |
: |
(10) |
|||
r!0 |
( |
)) = r!0 =1 |
( |
|
|
|
|
Выражение под знаком предела в левой части (10) не зависит от n èëè îò r.
Следовательно, знак предела можно удалить.
Правая часть (10) представляет собой интеграл функции f(x) по промежутку [a; b] в соответствии с определением определ¼нного интеграла.
Таким образом, |
Za b f(x) dx : |
F (b) ¡ F (a) = |
|
Доказательство закончено. |
|
Теорема о среднем значении
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b]
Пусть m · f(x) · M ; 8x 2 [a; b] :
11
Тогда 9 ¹ такое, что m · ¹ · M ; è ÷òî
Zb
f(x) dx = ¹ ¢ (b ¡ a) :
a
Доказательство |
¹ = b ¡ a ¢ Za |
b |
||
Требуемое ¹ зада¼тся формулой |
f(x) dx : |
|||
|
|
1 |
|
|
Неравенство m · f(x) · M выполнено в силу свойства интегралов 11. Теорема
Пусть
Тогда
f(x) непрерывна на отрезке [a; b] :
m · f(x) · M ; 8x 2 [a; b] :
8 ¹ 2 [m; M] 9 c 2 [a; b] такое, что f(c) = ¹ :
Доказательство
Нестрогое неравенство m · f(x) · M подразумевает, что значения m è M достигаются функцией f(x) на промежутке [a; b] ; òî åñòü, 9 A 2 [a; b] è 9 B 2 [a; b] такие, что f(A) = m ; è f(B) = M :
Пусть, например, A < B (случай B < A рассматривается аналогично).
По Теореме о промежуточных значениях непрерывной функции (теореме Коши) 9 c 2 [A; B] такое, что f(c) = ¹ :
На этом доказательство Теоремы можно считать законченным. "Недостаток" доказательства состоит в его неконструктивности, то есть, не сформулирован алго-
ритм поиска требуемого числа c 2 [A; B] : Этот и другие численные алгоритмы будут
представлены в документе "Численные методы".
Отметим, что поиск корня уравнения f(x) = ¹ равноценен поиску корня уравнения "стандартного вида" g(x) = 0 ; ãäå g(x) = f(x) ¡ ¹ :
Теорема о свойстве 12 определ¼нного интеграла Пусть f(x) непрерывна на [a; b] :
12
Тогда существует точка c 2 [a; b] |
такая, что |
|
||
Za b f(x) ¢ dx = f(c) ¢ (b ¡ a) : |
||||
Доказательство |
¹ = b ¡ a ¢ Za |
b |
||
По Теореме о среднем значении число |
f(x) dx подчиняется тре- |
|||
|
|
1 |
|
|
бованию m · f(x) · M; ãäå m è M есть, соответственно, наименьшее и наибольшее
значение непрерывной функции f(x) на промежутке [a; b] : |
f(x) dx : |
|
По теореме Бальцано Коши 9 c 2 [a; b] такое, что f(c) = ¹ = b ¡ a ¢Za |
||
1 |
|
b |
Доказательство закончено.
Теорема о производной определ¼нного интеграла по верхнему пределу интегрирования
Пусть |
f : [a; b] ! R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть f(x) непрерывна на [a; b]. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
0Zx f(t) dt10 |
= f(x) ; |
8x 2 [a; b]. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
@ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению производной |
x+Δx |
x |
|
|
x!0 |
x+Δx |
|
||||||||
0Z |
( |
) |
|
1 = |
x!0 |
Za |
|
x |
f(t) dt = |
Zx |
x |
|
|||
x f |
t |
|
dt |
0 |
lim |
f(t) dt ¡ Za |
lim |
f(t) dt : |
(11) |
||||||
@ |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По свойству 12 определ¼нного интеграла существует такое значение c = c(Δx) ,
c(Δx) 2 [x; x + x] , ÷òî |
xZ+Δx |
f(t) dt = f(c(Δx)) ¢ (x + x ¡ x) = f(c(Δx)) ¢ x : |
|
|
x |
13
Продолжим цепь преобразований (11):
|
|
|
|
|
x+Δx |
|
|
|
|
|
||
lim |
x f(t) dt |
0 |
= |
lim |
Zx |
f(t) dt = |
lim |
f(c(Δx)) |
x |
|
lim f(c(Δx)) = |
|
|
@ |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 0Z |
1 |
|
x!0 |
|
x |
x!0 |
x ¢ |
|
= |
x!0 |
ax
³´
= f lim c(Δx) = f(x) :
x!0
Последний шаг соверш¼н на основе теоремы о двух полицейских (для функций):
x |
· |
c |
(Δ |
x |
) · |
x |
+ |
x ; lim x = x ; |
lim (x + x) = x |
= |
lim c(Δx) = x : |
||||
|
|
|
|
x |
! |
0 |
x 0 |
) |
x 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
! |
|
|
Доказательство закончено. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теорема |
о замене переменной в определ¼нном интеграле |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Пусть f : [a; b] ! R, ' : [®; ¯] ! R. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Пусть: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1. |
f(x) |
непрерывна на [a; b] ; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2. |
'(t) |
è 't0(t) непрерывны на [®; ¯] ; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3. |
'(®) = a ; '(¯) = b ; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4. |
a · '(t) · b ; 8 t 2 [®; ¯] . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Тогда |
|
Za b f(x) dx = Z®¯ f('(t)) ¢ '0(t) ¢ dt = Z®¯ f('(t)) ¢ d('(t)) : |
(12) |
|||||||
Без доказательства. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1 Взять интеграл
Z9
dx
1 + px :
4
14
Решение. Применим (12) слева направо:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t2 =) t = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
Z |
1 + px = |
x = 4 =) t = p |
|
= 2 |
= Z |
1 + pt2 |
= 2 ¢Z |
1 ¢+ t = |
|||||||||||||||||||||
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(t ) |
|
|
|
|
t |
|
dt |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x = 9 =) t = p |
|
= 3 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 2 ¢Z2 |
|
t + 1¡ ¢ dt = 2 ¢Z2 |
µt + 1 ¡ t + 1¶ ¢ dt = 2 ¢Z2 |
µ1 ¡ t + 1¶ ¢ dt = |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
(t + 1) |
|
|
1 |
|
3 |
t + 1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
¢ |
@Z |
|
¡ Z |
3 |
|
|
A |
|
¢ ³ j ¡ |
|
|
|
|
j ´ |
¢ ¡ ¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
||||||||
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
dt |
|
|
|
d(t +1) |
= 2 |
|
t 23 |
ln(t + 1) 23 |
= 2 (3 |
2 (ln 4 |
|
ln 3)) = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t + 1 |
|
|
2 |
2 |
µ |
4¶ |
|
|
= 2 ¢ 1 ¡ ln 3 :
Пример 2 Взять интеграл
Z¼=4 dx
cos4 x :
0
Решение. Поменяем имя переменной интегрирования и применим (12) справа налево:
¼=4 |
|
|
¼=4 |
|
|
¼=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼=4 |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
|
dx |
|
= Z |
|
dt |
= Z |
1 |
1 |
|
|
|
|
Z |
|
1 + tg2t |
|
dt |
|
|||||||||||
|
cos4 x |
|
cos4 t |
|
cos2 t |
¢ |
cos2 t |
|
¢ dt = |
|
¢ |
cos2 t |
= |
|||||||||||||||||
|
¼=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = tg t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= Z |
1 + tg2t ¢ d(tg t) = |
|
t = 0 |
=) |
|
x = tg 0 = 0 |
|
= |
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
¡ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
t = ¼=4 = |
|
x = tg (¼=4) = 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
¯ |
1 |
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= Z (1 + x2) dx = |
µx + |
3 |
¶¯0 |
= 1 + |
3 |
= |
3 |
: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема
Справедлива формула интегрирования по частям для определ¼нного инте-
15
грала: Zb Zb
u(x) ¢ v0(x) ¢ dx = (u(x) ¢ v(x))jba ¡ v(x) ¢ u0(x) ¢ dx ;
a a
Zb Zb
u(x) ¢ dv(x) = (u(x) ¢ v(x))jba ¡ v(x) ¢ du(x) :
a a
Без доказательства.
Определение
Несобственный интеграл 1 го рода это интеграл по промежутку бесконечно большой длины.
Za |
= b!+1 Za |
|
|
|
||
+1 |
def |
|
b |
|
|
|
|
f(x) dx |
lim |
|
f(x) dx : |
(13) |
|
Z |
b |
|
|
b |
|
|
f(x) dx |
def |
lim |
|
f(x) dx : |
(14) |
|
|
= |
a!¡1 Z |
|
|
|
|
¡1 |
|
a |
|
|
|
|
Z |
= b!+1 Z |
|
|
|
||
+1 |
def |
|
b |
|
|
|
|
f(x) dx |
lim |
|
f(x) dx : |
(15) |
|
¡1 |
|
¡b |
|
|
Если предел в (13) или в (14) существует и конечен, то принято говорить,
что соответствующий несобственный интеграл сходится.
Если предел в (15) существует и конечен, то принято говорить,
что несобственный интеграл |
Z |
f(x) dx сходится в смысле Коши. |
|
+1 |
|
|
¡1 |
|
Если предел бесконечен либо не существует, то несобственный интеграл
16
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
+1 |
@ |
|
|
|
|
b |
A |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||
Возможна ситуация, когда двойной предел |
a lim |
0b |
|
lim |
f(x) dx |
1 |
íå ñóùå- |
|||
|
|
! |
+ |
1 Z |
|
|
||||
|
Z |
!¡1 |
|
|
|
|
|
|||
ствует либо бесконечен, но, при этом, интеграл |
f(x) dx |
сходится в смысле Коши. |
||||||||
|
¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3 Взять интеграл Решение
Z+1
e¡x dx :
0
+1 |
|
|
0 |
b |
|
¡ |
|
|
¢¯ |
b |
¡ |
|
|
e0 |
¢ |
||
0 |
|
|
e¡x dx |
|
e¡x |
e¡b |
|
||||||||||
e¡x dx = |
|
lim |
lim |
|
¯ |
lim |
|
|
|||||||||
Z |
b!+1 Z |
|
= b!+1 ¡ |
|
|
|
0 |
= b!+1 ¡ + = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
e0 |
|
lim e¡b = 1 |
lim |
1 |
= 1 ¡ 0 = 1 |
: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
¡ b!+1 |
|
¡ b!+1 eb |
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 |
xn dx : |
|||
Установить, при каких значениях n (n 6= 1) сходится интеграл |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
+1 |
|
|
|
Z1 |
1 |
dx |
lim |
|
|||
xn |
|
= b!+1 |
Z |
b |
= b!+1 n + 1¯1 = ¡n 1 ¢ b!+1 xn¡1 ¯1 = |
|||||||||
1 |
|
|
|
x¡n+1 |
¯ |
b |
1 |
|
1 |
¯ |
b |
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
||||
|
x¡n dx |
lim |
|
|
¯ |
|
|
lim |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
= ¡n ¡ 1 |
¢ b!+1 |
µbn¡1 |
¡ 1n¡1 ¶ |
= +n ¡ 1 µ |
¡ b!+1 bn¡1 ¶ |
|
|||||
1 |
|
lim |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 lim |
1 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно убедиться в том, что |
= |
½ + |
|
; n < 1 |
¯ |
|
|
b!+1 bn¡1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
lim |
1 |
|
0; |
n > 1 |
¯ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
17
а значит, |
+1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; n > 1 |
¯ |
|
|||
|
|
n |
|
1 |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
Z |
xn |
dx = |
½ +¡ |
|
|
; n < 1 |
¯ |
: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
Пример 5 Установить, сходится ли интеграл Решение
Z+1
dxx :
1
+1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 |
dx |
= lim |
dx |
= lim |
ln x b |
= lim |
(ln b |
|
ln 1) = lim |
ln b |
|
ln 1 = + : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
b!+1 Z1 |
|
x |
b!+1 |
j1 |
b!+1 |
|
¡ |
b!+1 |
|
¡ |
1 |
Интеграл расходится.
Вывод из примеров 5 и 6: интеграл
+1 |
|
Z |
1 |
xn dx сходится при n > 1 и расходится |
ïðè n · 1 . |
1 |
|
Определение
Несобственный интеграл 2 го рода это интеграл по конечному промежутку, на одном из концов которого подынтегральная функция терпит разрыв второго рода.
Åñëè f(x) |
имеет разрыв 2 года в точке b , òî |
|
|||
|
b |
|
c |
|
|
|
f(x) dx |
def |
lim |
f(x) dx : |
(16) |
|
Za |
= |
c!b¡0 Za |
|
|
Åñëè f(x) |
имеет разрыв 2 года в точке a , òî |
|
|||
|
b |
|
b |
|
|
|
f(x) dx |
def |
lim |
f(x) dx : |
(17) |
|
Za |
= |
c!a+0 Zc |
|
|
18
Пример 6 Установить, сходится ли интеграл Решение
Z1
ln x
px ¢ dx :
0
Z |
px ¢ |
= c!+0 Z |
px ¢ |
c!+0 Z |
1 |
|
¢ |
¢ |
|
||||
1 |
ln |
x |
|
1 |
ln x |
c |
|
³ |
|
´ |
|||
0 |
|
c |
|
|
|
||||||||
|
|
dx |
lim |
|
|
|
dx = lim |
|
ln x |
|
x¡21 dx |
1 |
|
|
1 |
|
³ |
´ |
c |
|
|
|
|||
= lim |
ln x |
¢ |
1 |
¢ |
d x2 |
= |
c!+0 Z |
|
2 |
|
|
|
|
¢c!+0 Z |
|
|
¢ |
|
|
|
= 2 ¢c!+0 0 |
|
¢ |
|
|
|
|
c ¡ |
Z |
|
|
|
¢ |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
c |
1 |
|
|
|
|
³ |
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
´¯ |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
1 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
A |
|
|
|
= 2 |
|
lim |
|
ln x |
|
d |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ln x x |
2 |
|
¯ |
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
= |
|
|
||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(ln x) |
|
|
|
||||||||||||||||||
¢c!+0 0 |
³ |
|
¢ |
|
´¯ |
c ¡ Z |
|
|
|
¢ |
|
¢ |
|
1 = 2 ¢c!+0 0 ¡ |
|
|
¢ |
|
|
¡ Z |
|
¢ |
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
c |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
c |
1 |
|
|
|
||||
= 2 lim |
@ |
|
ln x |
|
x2 |
¯ |
|
1 |
|
x |
|
|
1 |
|
1 |
A |
lim |
|
@ |
0 |
1 |
|
|
|
c2 |
|
1 |
|
|
A |
= |
|||||||||
|
|
¯ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
ln c |
|
|
x¡2 dx |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
¢c!+0 µln ¢ |
|
¡ 2 ¢ |
|
|
|
¯c¶ |
= 2 ¢c!+0 ³ |
|
|
|
|
¢ |
|
¡ |
|
|
|
|
¢ |
´ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
= 2 lim |
|
|
c |
c2 |
|
|
|
|
x2 |
¯ |
|
|
|
lim |
|
ln c |
|
c2 |
|
2 + 2 |
c2 |
= |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³´
= 2 |
lim |
|
c |
¢ |
1 |
|
|
1 |
= |
¡ |
4 : |
||
ln |
c2 |
lim c2 |
|||||||||||
|
¢c |
! |
+0 |
|
|
¡ 4 + 4 ¢ c |
! |
+0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
В предыдущей строке присутствовал "простой" предел lim c2 = 0 и чуть более
c!+0
сложный предел
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln c |
|
|
1 |
|
|
(ln c)c |
|
|
|
|
c |
1 |
|
|
lim |
c2 |
|
ln c |
= [0 |
|
] = lim |
= |
|
= lim |
= lim |
c |
|
= lim |
|
= 0 : |
||||||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
c!+0 ³ |
|
¢ |
|
´ |
¢ 1 |
c!+0 c¡2 |
|
h1i |
c!+0 |
³ |
´c |
c!+0 |
¡21 ¢ c¡2 |
c!+0 ¡21 |
|||||||
|
|
|
c¡21 |
0 |
Пример 7 |
Z0 |
xn dx : |
|
Установить, при каких значениях n (n 6= 1) сходится интеграл |
|||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
19
Решение
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
x1¡n |
¯ |
b |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
dx = lim |
x¡n dx = lim |
|
|
|
|
|
lim x1¡n |
b |
= |
||||||||||||||
0 |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|||||
Z |
xn |
|
c!+0 Z |
|
|
c!+0 1 n |
¯ |
|
= |
1 n ¢ c!+0 |
¯ |
c |
|
|||||||||||
|
|
|
¯c |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¶ |
|
|
|
= 1 ¡ n ¢ c!+0 |
¡ |
|
|
|
|
1 ¡ n ¢ µ |
¡ c!+0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
lim |
11¡n |
|
c1¡n |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
lim c1¡n |
: |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно убедиться в том, что
|
|
|
|
|
½ |
|
1 |
|
¯ |
|
|||
|
lim c1¡n = |
|
0; |
|
|
n < 1 |
¯ |
; |
|||||
а значит, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c!+0 |
+ |
|
|
; |
n > 1 |
¯ |
|
|||||
|
Z |
xn dx = ½ |
+¡ |
|
|
; n > 1 ¯ |
: |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
; |
n < 1 |
¯ |
|
||
|
0 |
|
|
n |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
Пример 8 Установить, сходится ли интеграл Решение
Z1
dxx :
0
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
dx |
= lim |
dx |
= lim |
x 1 |
lim (ln 1 |
|
ln c) = 0 |
lim ln c = |
( |
) = + |
|
: |
|
|
|
|
||||||||||
x |
c!+0 Zc |
x |
c!+0 ln |
jc |
=c!+0 |
¡ |
|
¡c!+0 |
¡ ¡1 |
|
1 |
|
Интеграл расходится.
Вывод из примеров 7 и 8: интеграл
Z1
1
xn dx сходится при n < 1 и расходится
ïðè n ¸ 1 . |
0 |
|
Замечание При взятии интеграла
Z |
p |
|
= ¡ |
Z |
1 |
p |
¡ |
|
|
= ¡ (1 ¡ x)¡ |
2 |
¢ d(1 ¡ x) = ¡ |
|
¡ |
|
¯ |
= 2 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
1 x |
1 |
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
2 |
1 |
|
0 |
|||
1 |
¡ |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
¯ |
1 |
|||
0 |
|
¡ |
|
0 |
1 |
|
(1 |
|
x)2 |
|
|||||||
|
|
dx |
|
|
d( |
x) |
|
|
|
¯ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
20