Литература и лекции / МатАнализ20171220

(1 + x)k ¸ 1 + kx :

(9)

(1 + x)k+1 = (1 + x)k ¢ (1 + x) ¸ (1 + kx) ¢ (1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 ¸ 1 + (k + 1)x :

¸

|{z}

Неравенство |

{z

}

¸0

(1+kx)

(10)

доказано. Теорема, таким образом, тоже доказана.

Лемма 2

¶; монотонно возрастает.

Последовательность fangn2N , ãäå an = µ1 + n

1

n

Доказательство

ïðè n ¸ 1 . Однако, удобнее и проще

Можно было бы доказать, что an+1 ¸ an

доказывать неравенство am ¸ am¡1

ïðè m ¸ 2 ; ãäå m = n ¡ 1 :

Построим цепь равносильных неравенств:

()

µ

m

¶

¸ µm ¡ 1

¶

()

am ¸ am¡1 ()

µ1 + m¶ ¸

µ1 + m ¡ 1¶

1

m

1

m¡1

m + 1 m

m

m¡1

() µ

¶ ¸

¶ ()

m

µm ¡ 1

¶ µm ¡ 1¶

() µ

m

¶ µ

m

¶ ¸

µ

m

m + 1

m

m

m

m

¡1

m + 1

m

m ¡ 1 m

m ¡ 1

() µ

m

¢

m

¶ ¸

m

()

µ

m2

¶ ¸

m

()

m + 1

m ¡ 1

m

m ¡ 1

m2

¡ 1

m

m ¡ 1

m

1

1

() µ1 ¡

¶ ¸ 1 ¡

:

(11)

m2

m

Последнее из равносильных неравенств в (11) справедливо в силу Леммы Бер

1

1

нулли при x = ¡

: Заметим, что ¡

> ¡1 ; поскольку m ¸ 2 .

m2

m2

Лемма доказана.

Лемма 3

ãäå bn

= µ1 + n¶ ; монотонно убывает.

Последовательность fbngn2N ;

1

n+1

Доказательство

Можно было бы доказать, что bn+1 · bn ïðè n ¸ 1 . Однако, удобнее и проще

Построим цепь равносильных неравенств:

() µm 1

¶ ¸

µ

m

¶

()

bm¡1 ¸ bm ()

µ1 + m 1 1¶

¸

µ1 + m

¶

m

1

m+1

m

m

m + 1

m+1

()

µm ¡ 1¶

¸ µ

¡

µm ¡ 1¶

()

µm ¡ 1

¶

¡

µm + 1¶ ¸ m ¡ 1 ()

m

¶

m

m+1

m + 1

m+1

m

m

m+1

m

m+1

m

()

µm 1

¢ m + 1¶

¸ m 1

() µm2

1¶

¸ mm 1 ()

m

m

m+1

m

m2

m+1

¡

() µ1 +

¡

¶m+1¸ 1 +

¡

¡

1

1

:

(12)

m2

1

m

1

¡

¡

Неравенство (12) справедливо в силу леммы Бернулли при

m + 1 = n è ïðè

x =

1

> 0 > ¡1 :

m2

¡ 1

1

(m + 1)

1

|{z}

1

m+1

¸4

µ1 +

¶

¸ 1 + (m + 1) ¢

= 1 +

= 1 +

:

(13)

m2 ¡ 1

m2 ¡ 1

(m ¡ 1)(m + 1)

m ¡ 1

Теорема

о втором замечательном пределе (для последовательностей)

Существует и конечен предел

lim

1

n

µ1 + n¶ .

n!+1

n

1

Имеет место грубая оценка:

lim

¶ ·

4 .

Доказательство

2 · n!+1 µ1 + n

1

n

Последовательность fangn2N, ãäå

an = µ1 +

¶;

монотонно возрастает (по

n

Лемме 2) =) an > a1 = 2, 8n > 1.

1

n+1

Последовательность fbngn2N, ãäå

bn = µ1 +

¶

; монотонно убывает (по

n

Лемме 3) =) bn < b1 = 4, 8n > 1.

Справедливо неравенство (8n 2 N)

n+1

1

n

1

1

1

an < bn () µ1 +

¶ < µ1 +

¶

() 1 < 1 +

() 0 <

:

n

n

n

n

Таким образом, an < bn · b1 = 4,

òî åñòü

an < 4.

n!+1

µ

n

¶

его буквой :

n

e

1

lim

1 +

= e :

an · bn · cn :

(14)

Пусть существуют, конечны и равны пределы

lim an =

lim

cn = A .

n!+1

n!+1

Тогда существует и конечен предел lim bn ,

ïðè÷¼ì,

lim

bn = A .

n!+1

n!+1

A ¡ " < an < A + " :

(15)

A ¡ " < cn < A + " :

(16)

Èç (15) è (14) следует, что 8n > N1(")

A ¡ " < an ; an < bn

=) A ¡ " < bn :

(17)

Èç (14) è (16) следует, что 8n > N2(")

bn < cn ; cn < A + "

=) bn < A + " :

(18)

Пусть N(") = max(N1("); N2(")) . Тогда 8n > N(") будут выполнены неравен-

ñòâà (17) è (18) вместе:

A ¡ " < bn ; bn < A + " =) A ¡ " < bn < A + " =) ¡" < bn ¡ A < " =)

=) jbn ¡ Aj < " :

(19)

Выполнение неравенства (19) 8n > N(")

по определению предела означает, что

lim

bn = A :

n!+1

jf(x) ¡ Aj < " .

Обозначение: lim f(x) = A ; èëè

f x

) ¡!

A :

x

!

a

(

x!a

Обозначение: lim f(x) = B ; èëè

f x

) ¡!

B :

x

!

b

(

x b

!

равный конечному

числу A ;

åñëè

8"

> 0 существует значение

± = ±(") > 0

такое, что из неравенства

0 < x ¡ a < ±(") вытекает спра-

ведливость неравенства jf(x) ¡ Aj < " .

Обозначение:

lim

f(x) = A ;

èëè f

(

x

)

¡!

A :

x

!

a+0

x!a+0

равный конечному

числу A ;

åñëè

8"

>

0 существует

значение

± = ±(") > 0

такое, что из неравенства ¡±(") < x ¡ a < 0

вытекает

справедливость неравенства jf(x) ¡ Aj < " .

Обозначение:

lim

f(x) = A ;

èëè

f(x)

¡!

A :

x

a

0

x

! ¡

a

0

! ¡

Теорема

о связи предела с односторонними пределами

Следующие два утверждения равносильны.

1. Существуют и равны односторонние пределы

lim

f(x) = lim f(x).

x!a¡0

x!a+0

Без доказательства.

Пример

lim p

Ещ¼ легче доказать, что lim p

Нетрудно доказать, что

= 0.

íå

x

x

существует.

x!+0

x!¡0

Пример

Доказать, что

lim

x ¡ 2

=

1

:

x ¡ 3

2

x!1

f(x) =

x ¡ 2

a = 1 , A =

1

x ¡ 3 ,

2 .

Зададим " > 0. Построим исходное неравенство

и целевое неравенство

jx ¡ 1j < ±(")

(20)

¯

¯ < " () ¡" <

x

2

1

x 1

jf(x) ¡ Aj < " ()

x

¡

¡

¡

< " :

(21)

3

2

2(3 x)

¯

¡

¯

¡

¯

¯

¯

¯

Не умаляя общности, можно наложить дополнительные ограничения:

±(") · 2 ;

(22)

" ·

1

:

(23)

4

x ¡ 1

< "

()

x

¡

1 < 2(3

¡

x)"

()

x

¡

1 < 6"

¡

2x"

()

x+2x" < 6"+1

()

2(3

¡

x)

6" + 1

4"

() x(1 + 2") < 6" + 1 () x <

() x ¡ 1 <

:

(24)

1 + 2"

1 + 2"

±©(") =

4"

:

1 + 2"

Несложно показать, что ±©(") · 2

ïðè " > 0 :

±©(") · 2

()

4"

· 2

() 4" · 2(1 + 2")

() 4" · 2 + 4"

() 0 · 2 :

1 + 2"

"Решим" относительно x ¡ 1 левую половину двойного неравенства в (21).

x ¡ 1

> "

()

x

¡

1 >

¡

6" + 2x"

()

x

¡

2x" > 6" + 1

()

2(3

¡

x)

¡

¡

¡6" + 1

4"

x(1

2") >

6" + 1

x >

x

1 >

:

(25)

()

¡

¡

()

1 ¡ 2"

()

¡

¡1 ¡ 2"

Соверш¼нные преобразования равносильны при соблюдении (23), поскольку

1 ¡ 2" > 0 () 1 > 2" ()

1

> " (=

1

1

¸ " :

>

2

2

4

Появился второй претендент на функцию ±("): Введ¼м обозначение:

±ª(") =

4"

:

1 ¡ 2"

Нетрудно убедиться в том, что

±ª(") · 2

при соблюдении (23):

±ª(") · 2

()

4"

· 2

() 4" · 2(1 ¡ 2")

() 4" · 2 ¡ 4"

() 8" · 2 () " ·

1

1

¡

2"

4

Далее следует собрать (24) è (25) в одно двойное неравенство

¡±ª(") < x ¡ 1 < +±©(") :

(26)

которое равносильно (21) при соблюдении ограничения (23).

Введ¼м функцию

±(") = min (±

("); ±

(")) = ±

(") =

4"

:

ª

©

©

1 + 2"