Литература и лекции / АлгебраГеометрия

2. Вертикальная асимптота есть прямая x1 = p ; ãäå p значение, при кото-

3. Кривая x2 = f(x1) может иметь две наклонные асимптоты (и в направлении x1 ! +1; и в направлении x1 ! ¡1) или только одну (в одном из этих направлений), или ни одной.

Определение

Эллипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Ðèñ. 5

Замечания 1. В литературе чаще всего рассматривается случай эллипса, вытянутого вдоль

61

îñè Ox1 (Рис. 5), что означает a > b : В таком случае a большая полуось эллипса,

d = a=e : Расстояние от любой точки эллипса до фокуса F2 = (¡c; 0) есть расстояние от этой точки эллипса до ближайшей к фокусу директрисы x = ¡d ; умноженное на e : На Рис. 6(а), по свойству директрисы,

F2K1 = F2L1 = F2M1 = e : K1K2 L1L2 M1M2

Аналогично, расстояние от любой точки эллипса до фокуса F1 = (c; 0) есть расстояние от этой точки эллипса до ближайшей к фокусу директрисы x = d ; умноженное на e :

3. Интересное свойство, которым обладает эллипс: если из одного фокуса по

62

всем направлениям расходятся световые лучи, то после отражения от эллипса все они сходятся во втором фокусе (Рис. 6 (б)).

4. Согласно первому закону Кеплера, каждая из планет солнечной системы вращается вокруг солнца по орбите в форме эллипса, в одном из фокусов которого располагается солнце. Разумеется, от этого закона имеются небольшие отклонения, при- чиной которых служит взаимное влияние планет.

5. В случае, если в уравнении (43) b > a (Рис. 7(а)), эллипс вытянут вдоль

случае, если в уравнении

Принято считать, что эксцентриситет окружности равен нулю, e = 0 : Директрис у окружности нет.

63

Определение

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

Замечания

1. Фокус параболы (33) находится в точке F = (p=2; 0) ; а директриса есть прямая x = ¡p=2 :

(à) (á) Ðèñ. 8

По определению параболы, F K1 = K1K2 ; F L1 = L1L2 ; F M1 = M1M2 (Ðèñ. 7 (à)).

2. Полезное свойство, которым обладает парабола: если из фокуса выходит световой луч в стороону параболы, то после отражения от не¼ луч направляется параллельно оси параболы (Рис. 5 (б)). Данное свойство используется в отражателях осве-

64

тительных приборов направленного действия (карманных фонарях, автомобильных фарах, прожекторах), осевое сечение которых имеет параболическую форму.

3. Парабола может, также, задаваться одним из альтернативных уравнений:

x22 = ¡2px1 ; x21 = 2px2 ; x21 = ¡2px2 :

Слушателям предлагается самостоятельно разобраться, как в этих случаях выглядит график. Тем более, что в средней школе параболе уделялось очень много внимания.

Определение

Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы в системе координат Ox1x2 имеет вид

Ðèñ. 9

65

По определению гиперболы, F2K ¡ F1K = F2L ¡ F1L = F2M ¡ F1M = 2a (Ðèñ. 9).

назыается эксцентриситетом гиперболы, прич¼м, e > 1 :

2. Гипербола (45) состоит из двух ветвей, осью симметрии для каждой из них служит ось Ox1 : Ближайшие друг к другу точки ветвей точки (a; 0) è (¡a; 0) :

4. Гипербола (45) имеет две директрисы, а именно, прямые x = d è x = ¡d ; ãäå d = a=e : Расстояние от любой точки гиперболы до фокуса F1 = (c; 0) есть расстояние от этой точки гиперболы до ближайшей к фокусу директрисы x = d ; умноженное на e : На Рис. 10(а), по свойству директрисы,

F1K1 = F1L1 = F1M1 = e : K1K2 L1L2 M1M2

Аналогично, расстояние от любой точки гиперболы (34) до фокуса F2 = (¡c; 0)

66

есть расстояние от этой точки гиперболы до ближайшей к фокусу директрисы x = ¡d ; умноженное на e :

5. Интересное свойство, которым обладает гипербола: если из одного фокуса по всем направлениям расходятся световые лучи, то после отражения от гиперболы они направлены так, будто источником всех этих лучей служил второй фокус (Рис. 10(б)).

Альтернативное каноническое уравнение гиперболы в системе координат Ox1x2

ïðè÷¼ì, e > 1 :

Ðèñ. 11

2. Гипербола (46) состоит из двух ветвей, осью симметрии для каждой из них служит ось Ox2 : Ближайшие друг к другу точки ветвей точки (0; b) è (0; ¡b) :

67

4. Гипербола (46) имеет две директрисы, а именно, прямые y = d è y = ¡d ; ãäå d = b=e : Расстояние от любой точки гиперболы до фокуса F1 = (0; c) есть расстояние от этой точки гиперболы до ближайшей к фокусу директрисы y = d ; умноженное на

e :

Замечание Распознать разновидность кривой второго порядка по общему уравнению (40)

затруднительно. Перейти от общего уравнения кривой к одному из канонических уравнений (43) (46) позволят два последовательных преобразования координат поворот

и параллельный перенос. Поворот

Пусть на одной плоскости совмещены своими началами в общей точке O две декартовы прямоугольные системы координат: первая, синяя система Ox1ex2e ; è вторая, фиолетовая система Ox1gx2g ; которая пов¼рнута относительно первой íà óãîë ° против часовой стрелки (Рис. 12).

Ðèñ. 12

68

Пусть имеется некая точка M; известная своими координатами Me = (x1e; x2e) â первой è Mg = (x1g; x2g) âî второй системах. Тогда взаимосвязь между координатами зада¼тся соотношениями

вектора OM по простейшему базису e = fe1; e2g ; состоящему из векторов (коорди-

а столбец Xg содержит коэффициенты разложения радиус-вектора OM по другому базису g = fg1; g2g ; состоящему из векторов (координатных ортов)

В качестве столбцов матрицы Sg!e служат столбцы g1 è g2 ; òàê ÷òî Sg!e можно с полным правом называть матрицей перехода от базиса g к базису e :

Аналогично, Se!g следует называть матрицей перехода от базиса e к базису g : Координаты точки M в системе Ox1ex2e ; совпдают с компонентами радиусвектора OM в базисе e = fe1 ; e2g : Координаты точки M в системе Ox1gx2g ; совпда-

ют с компонентами радиус-вектора OM в базисе

69

Параллельный перенос Пусть на одной плоскости имеются две декартовы прямоугольные системы коор-

динат: первая, фиолетовая система Ogx1gx2g ; è вторая, бирюзовая система Ohx1hx2h ; которая смещена относительно первой параллельным переносом на расстояние c1 вдоль координаты x1g и на расстояние c2 вдоль координаты x2g (Ðèñ. 13).

Ðèñ. 13

Пусть имеется некая точка M; известная своими координатами Mg = (x1g; x2g) â первой è Mh = (x1h; x2h) âî второй системах. Тогда взаимосвязь между координатами зада¼тся соотношениями

70