Литература и лекции / АлгебраГеометрия

вектора на число есть n¡мерный вектор.

Замечание Двумерным и тр¼хмерным векторам можно придать геометрический смысл.

Двумерный вектор X = (x1 ; x2) в двумерной декартовой прямоугольной системе координат Ox1x2 есть направленный отрезок с началом в точке O (в начале координат) и концом в точке M, имеющей координаты (x1 ; x2) (Ðèñ. 4(a)).

Тр¼хмерный вектор X = (x1 ; x2 ; x3) в тр¼хмерной декартовой прямоугольной системе координат Ox1x2x3 есть направленный отрезок с началом в точке O (в на- чале координат) и концом в точке M, имеющей координаты (x1 ; x2 ; x3) (Ðèñ. 4(á)).

Векторы большей, чем 3, размерности, геометрического смысла не имеют.

Определение

Пусть e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng базис линейного пространства E, и пусть g = fg1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gng ещ¼ один базис линейного пространства E.

Всякий элемент линейного пространства, а значит, и каждый элемент каждого из базисов, может быть разложен по другому базису.

41

Пусть такие разложения уже выполнены:

42

Без доказательства.

Определение

Пусть e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng базис линейного пространства E, и пусть g = fg1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gng ещ¼ один базис линейного пространства E. Пусть x произвольный элемент линейного пространства E.

Всякий элемент линейного пространства, а значит, и элемент x; может

быть разложен по любому из базисов. Пусть такие разложения уже выполнены:

x= x1ee1 + x2ee2 + x3ee3 + : : : + xneen ; x = x1gg1 + x2gg2 + x3gg3 + : : : + xnggn ;

ãäå x1e ; x2e ; x3e ; : : : ; xne коэффициенты разложения элемента x по базису e ; à x1g ; x2g ; x3g ; : : : ; xng коэффициенты разложения элемента x

есть столбцы (векторы) разложения элемента x по базисам e è g ñîîò-

различны.

Нельзя утверждать, что x = Xe ; хотя бы потому, что элемент x вовсе не обязан

быть элементом линейного векторного пространства. Аналогично, нельзя утверждать, что x = Xg :

43

будем называть простейшим, èëè тривиальным базисом.

Замечание

Разложение n мерного вектора 0 x1 1

B C

BB x2 CC

X = B x C BB 3 CC B . C @ A

xn e

по векторам простейшего базиса, как нетрудно убедиться, имеет вид

X = x1e1 + x3e3 + x3e3 + : : : + xnen ;

Без доказательства.

44

Замечание Начиная с этого места документа всюду далее речь будет идти о линейном âåê-

торном n мерном пространстве.

Теорема о линейной независимости n n¡мерных векторов

составлена из этих векторов, как из столбцов. В этом случае векторы g1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gn

только тогда, когда

det G =6 0 :

Доказательство Рассмотрим равенство нулю линейной комбинации

которое равносильно однородной системе уравнений

45

с главным определителем det G : Тривиальное решение у системы (18) есть всегда. Если det G =6 0 ; то, по теореме Крамера, это тривиальное решение является и

единственным, то есть, обеспечить выполнение равенства (17) возможно только тривиальной линейной комбинацией (¸1 = ¸2 = ¸3 = : : : = ¸n = 0).

И наоборот: теорема Крамера гласит, что если система (18) имеет единствен-

ное (а значит, тривиальное) решение, то главный определитель е¼ отличен от нуля,

det G =6 0 :

Доказательство закончено.

Теорема о базисе из n n¡мерных векторов

Набор из n линейно незвависимых n¡мерных векторов

46

Покажем, что этот вектор может быть разложен по базису, то есть, представлен в виде линейной комбинации

Согласно предыдущей теореме, главный определитель этой системы отличен от нуля, det G 6= 0 ; следовательно, по теореме Крамера, решение системы (20) набор

47

составлена из этих векторов, как из столбцов. В этом случае векторы g1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gk только тогда, когда ранг матрицы G равен k :

Без доказательства

Теорема о линейной зависимости (n + 1) n¡мерных векторов n¡мерные векторы

линейно зависимы. Доказательство

1. Пусть векторы g1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gn линейно зависимы. Тогда существует íåтривиальная (содержащая хотя бы один ненулевой коэффициент ¸i) линейная ком- бинация этих векторов, равная нулю:

Добавим в левую часть (21) нулевое слагаемое 0 ¢ gn+1 ; которое не изменит левую часть (21) и не нарушит равенство:

сутствует ненулевой коэффициент ¸i. Следовательно, векторы линейно зависимы. 2. Пусть векторы g1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gn линейно íåзависимы. Тогда существует

48

(24) есть равенство íóëþ такой линейной комбинации n + 1 векторов, в которой присутствует ненулевой коэффициент (¡1). Следовательно, векторы линейно зависимы.

Определение

Скалярным произведением двух n мерных векторов (столбцов)

называется число

(x; y) = x ¢ y = x1y1 + x2y2 + x3y3 + : : : + xnyn :

Всюду далее для скалярного произведения будет использоваться обозначе- ние x ¢ y.

Теорема о свойствах скалярного произведения векторов

Без доказательства.

49

Определение

Нормой вектора jjxjj , или, что то же самое, модулем вектора jxj называется

число jjxjj = jxj = px ¢ x = px21 + x22 + x23 + : : : + x2n .

Нормированным называется такой вектор, норма (модуль) которого есть единица.

Для ненулевого вектора x построение вектора jjx1jj ¢ x называется норми-

ровкой вектора, поскольку е¼ результатом является нормированный вектор.

Определение

Векторы x è y называются ортогональными, если x ¢ y = 0.

Векторы из набора n мерных векторов e1 ; e2 ; e3 ; : : : ; en называются по- парно ортогональными, если ei ¢ ej = 0 ; ïðè i 6= j ; i = 1; 2; 3; : : : ; n;

j = 1; 2; 3; : : : ; n .

неминуемо следует, что она тривиальна.

Домножим левую и правую части (25) скалярно на вектор ei : Получим:

(¸1e1 + ¸2e2 + : : : + ¸i¡1ei¡1 + ¸iei + ¸i+1ei+1 + : : : + ¸k¡1ek¡1 + ¸kek) ¢ ei = 0 ()

50