20. Правило Лопиталя. Первое правило Лопиталя

Рассмотрим функции  , которые бесконечно малЫ в некоторой точке  . Если существует предел их отношений  , то в целях устранения неопределённости   можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом:  , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел   тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.

Второе правило Лопиталя

Брат-2 борется с двумя спящими восьмёрками  . Аналогично:

Если существует предел отношения бесконечно больших в точке   функций:  , то в целях устранения неопределённости   можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом:  , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел   должен существовать

Опять же, в различных практических примерах значение   может быть разным, в том числе, бесконечным. Важно, чтобы была неопределённость  .

<Вернуться назад>

21. Многочлен Тейлора, формула Тейлора.

Рассмотрим многочлен  -й степени

Его можно представить в виде суммы степеней  , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его  раз по переменной  , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке  :

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена   степени  .

Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен   по степеням разности  , где   - любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена   в окрестности точки  .

Пример

Задание. Разложить в ряд Тейлора функцию   в точке  .

Решение. Найдем производные:

Итак,  ,  ,  . Значение функции в точке

Таким образом,

Ответ. 

Для произвольной функции  , не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки  принимает вид:

Последнее слагаемое   называется остаточным членом в форме Пеано.

Замечание

Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора при  .

<Вернуться назад>

22. Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и Лагранжа.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Пусть функция f: [a, b] → R имеет в точке x0 производную n-го порядка. Тогда при x → x0

Если x0 = a или x0 = b, то под производными понимаются соответствующие односторонние производные.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

<Вернуться назад>

23. Локальный экстремум функции одного переменного. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Определение

Точка   называется точкой локального максимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности выполняется неравенство:  .

Точка   называется точкой локального минимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности  .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция   имеет экстремум в точке  , то ее производная   либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю:  , называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения  ), либо это точки, в которых производная   не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки  ;

2.  или   не существует;

3. производная   при переходе через точку   меняет свой знак.

Тогда в точке   функция   имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная   при переходе через точку   не меняет знак, то экстремума в точке   нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию   на экстремум, необходимо:

1. найти производную  ;

2. найти критические точки, то есть такие значения  , в которых   или   не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию   на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение  :

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку  . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку   производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем  .

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале  производная  , то на этом интервале функция   является убывающей; на интервале   производная  , значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. 

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки  ;

2. первая производная   в точке  ;

3.  в точке   .

Тогда в точке   достигается экстремум, причем, если  , то в точке   функция  имеет минимум; если  , то в точке   функция   достигает максимум.

<Вернуться назад>