3 Метод трапеций
Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис. 1) ломаной линией (рис. 7), полученной следующим образом. Из точек a = x0, x1, x2,…, xn = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f(x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.
Рис. 7
Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке [xi, xi+1] длины h = , равна h , то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу трапеций:
I= Iтр =h = ( 7)
Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:
| I – Iтр | h2, ( 8)
где M2 = |f "(x)|.
Пример 2.
Вычислим значение интеграла по формуле трапеций ( 7) и сравним полученный результат с результатом примера 1.
Используя таблицу значений функции e из примера 1 и производя вычисления по формуле трапеций ( 7), получим: Iтр = 0.74621079.
Оценим погрешность полученного значения. В примере ( 1) получили оценку: | f "(x)| M2 = 2. Поэтому по формуле ( 8)
I – Iтр | (0.1)2 1.7 10-3.
Сравнивая результаты примеров 1 и 2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.
4 Метод Симпсона (метод парабол)
Заменим график функции y = f(x) на отрезке [xi, xi+1], i = 0, 2, … , n – 1, параболой, проведенной через точки (xi, f(xi)), (x ,f(x )), (xi+1, f(xi+1)), где x - середина отрезка [xi, xi+1]. Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L2(x) с узлами xi, x , xi+1. Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:
y = L2(x) =
f(x ) + (x – x ) + (x - x )2, ( 9)
где h = .
Проинтегрировав функцию ( 9) на отрезке [xi, xi+1], получим
Ii = = ( f(xi) + 4f(x ) + f(xi+1)). ( 10)
Суммируя выражение ( 10) по i = 0, 1, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):
I = IС = ( f(x0) + f(xn) + 4 + 2 ). ( 11)
Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть функция f имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную четвертого порядка f (4)(x). Тогда для формулы Симпсона ( 9) справедлива следующая оценка погрешности:
| I – IС | h4, ( 12)
где M4 = | f (4)(x)|.
Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок [a, b], четно , т.е. n = 2m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка [xi, xi+1] длины h рассматривать отрезок [x2i, x2i+2] длины 2h. Тогда формула Симпсона примет вид:
I (f(x0) + f(x2m) + 4 + 2 ), ( 13)
а вместо оценки ( 10) будет справедлива следующая оценка погрешности:
| I – IС | h4, ( 14)
Пример 3.
Вычислим значение интеграла по формуле Симпсона ( 11) и сравним полученный результат с результатами примеров 1 и 2.
Используя таблицу значений функции e из примера 1 и производя вычисления по формуле Симпсона ( 11) , получим:
IС = 0.74682418.
Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f (4)(x).
f (4)(x) = (16x4 – 48x2 + 12) e , | f (4)(x)| 12.
Поэтому
| I – IС | (0.1)4 0.42 10-6.
Сравнивая результаты примеров 1, 2 и 3, видим , что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций.