5.4. Дополнительные задачи и решения

Задача 5.1.ДОП в10,20,30

В новом магазине открыто справочное бюро, в котором рабо­тает один служащий. Известно, что люди подходят к бюро со скоростью 20 человек в час. Требуется в среднем 2 минуты для ответа на вопрос. Известно, что прибытия имеют распределение Пуассона, а время ответов распределено экспоненциально.

а) Найдите вероятность того, что служащий свободен.

б) Определите, какую часть времени служащий занят.

в) Найдите среднее число людей, обслуживаемых и ожидаю­щих в очереди.

г) Найдите среднее число людей в очереди к справочному бюро.

д) Найдите среднее время на человека, затраченное на спра­вочное обслуживание.

е) Найдите среднее время на человека, затраченное на ожида­ние в очереди, чтобы получить справочное обслуживание.

l = 20 / ч; m = 30 / ч.

а) P₀ = 1 – (l / m) = 1 – (20 / 30) = .33 = 33 %;

б) р = l / m = .66;

в) Ls = l (m – l) = 20 / (30 – 20) = 2 чел.;

г) Lq – l²/ [т (т – l)] = 20² / [30 (30 – 20)] = 1.33 чел.;

д) Ws = 1 / (т – l) = 1 / (30 – 20) = .1 ч;

е) Wq = l /[т (т – l)] = 20 / [30 (30 – 20)] = .0667 ч.

Задача 5.2.ДОП

В задаче 5.1.ДОП информационный служащий получает $ 5 / ч. Затраты ожидания в терминах покупательского недовольства оце­ниваются в $12 / ч времени ожидания в очереди. Найдите общие затраты за 8-часовой рабочий день.

а) В среднем покупатель ожидает .0667 часа и всего в день обслуживается в справочном бюро 160 человек. Тогда: общие затраты ожидания = (160) (.0667) = 10.67 часа, или в переводе на доллары при затратах $12 / ч составят $128 / день.

б) Заработная плата служащего равна $ 40 / день.

в) Общие затраты $128 + $40 = $168 / день.

Задача 5.3.ДОП

В новом магазине думают занять в справочном бюро не одно­го, а двух служащих. Известно, что покупатели обращаются за справками со скоростью 20 / ч и получают ответ в среднем за 2 минуты. Прибытия подчинены закону Пуассона. Время обслу­живания имеет экспоненциальное распределение.

а) Найдите вероятность того, что оба служащие свободны.

б) Найдите среднее число людей в системе.

в) Найдите время ожидания и обслуживания покупателя в справочном бюро.

l = 20 / ч; т = 30 / ч; М = 2 канала (сервера).

Задача 5.4.ДОП

Три студента в минуту подходят к кофейному автомату, кото­рый работает с постоянной скоростью четыре чашки кофе в минуту. Опишите параметры этой системы.

Задача 5.5.ДОП

Рассмотрим систему ремонта пяти сверлильных станков. Вре­мя ремонта в среднем – 10 мин. и распределено экспоненциально. Станки ломаются в среднем через 70 мин. согласно распреде­лению Пуассона. Опишите главные характеристики системы ре­монта.

N = 5;

М= 1 канал;

T = 10 мин.;

U = 70 мин.

Х = Т / (Т + U) =10 / (10 + 70) = .125.

Для X = .125 и М = 1

а) F = .920 и D =.473;

б) H – cреднее число ремонтируемых станков = FNX = (.920) (5) (.125) = .575 станка;

в) среднее число в очереди – L = N (1– F) = 5 (1– .920) = .4 станка;

г) среднее число работающих – J = NF (1 – X) = 5 (.920) (1 – .125) = 4.025 станка;

д) вероятность нахождения станка вне очереди равна 1 – D = 1 – .473 = .527.