Лекции и пособия / Расчёты при растяжении-сжатии

46

lt1 t l Nt1 l , lt2 t cos245l EFNtcos2 245l .

E2F

Уравнение равновесия ∑мом К = 0 и уравнение перемещений l1 2 l2 образуют систему следующих уравнений:

Отсюда вычисляем температурные усилия

Nt2 0,91 t EF 0,91 1,25 10 5 15 2 1011 2,4 10 4

8,19 103 Н 8,19кН,

Nt1 4Nt2 32,76кН.

Как видно, стержни АС и DВ испытывают сжатие, при котором возникают температурные напряжения

Задача 6. Проверочный расчёт ступенчатого бруса

Для ступенчатого бруса (рис. 1.9) известна внешняя нагрузка, заданы площади поперечного сечения и длины участков.

Требуется:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, относительных деформаций и продольных перемещений δ. Принять модуль упругости E=2∙ 5МПа.

47

2.Указать опасное сечение и значение σmax, проверить прочность при допускаемом напряжении [σ]=200МПа. Если условие прочности не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

3.Указать значения max и δmax, проверить жёсткость при допускаемой относительной деформации = 0,005 и допускаемом продольном переме-щении [δ] = 0,5 мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

4.Для опасного сечения бруса вычислить касательные τα и

нормальные α напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α = 450 к оси бруса.

Решение

1. Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений, относительных деформаций и продольных перемещений

В этой задаче использована унифицированная схема ступенчатого бруса при растяжении-сжатии, которая изображена на рис. 1.9. В ней в начале каждого участка приложены сосредоточенные силы Р, на каждом участке действует распределённая нагрузка интенсивности q.. Принимаем следующее правило знаков нагрузки: за положительное считаем растягивающее направление.

Рис. 1.9

Выполним расчёт при следующих значениях. Сосредоточенные силы в начале участков равны Р1=-60кН и Р2=0; интенсивность распределённой нагрузки по участкам q1=0 и q2=150кН/м; длины участков 11=0,5м и 12=0,6м, площади сечений участков F1=6см2 и F2=5см2.

Сначала по исходным данным изобразим в масштабе заданный брус и действующую на него нагрузку (рис. 1.10, б). Брус разделим на два грузовых участка, здесь нумерацию участков удобно брать со свободного края, поэтомуначало 1-го участка положим на торце бруса.

48

Для оценки прочности и жёсткости бруса, которые выполняются в 1-м, 2-м, и 3-м пунктах задачи, необходимо иметь значения продольных сил N, напряжений σ деформаций ε и перемещений δ на каждом участке. Запишем алгебраические выражения и подсчитаем значения этих величин, используя метод сечений и формулы напряжений и деформаций.

1-й участок: z1 1= 0,5м. Запишем для текущего сечения (рис.

1.10, а, б), удалённого от начала 1-го участка на расстоянии z1, продольную силу N1, напряжение σ1 и относительную деформацию ε1. Используя формулу продольной силы (1.2) для унифицированного нагружения, формулу напряжений (1.3) и закон Гука, по которому σ1=ε1 E , получаем

2-й участок: z2 2= 0,6м. В текущем сечении 2-го участка (рис.

1.10, а, б), удалённом от его начала на расстоянии z2, согласно (1.2), (1.3) и закона Гука, имеем

Используя полученные значения продольных сил, напряжений, относительных деформаций, построим эпюры этих величин непосредственно под брусом и подпишем их характерные значения (рис. 1.10, в, г, д).

Перейдём к перемещениям δ, необходимым для решения 3-го пункта задачи. Составим выражения продольных смещений δ характерных поперечных сечений А, В, С. Для этого необходимо знать абсолютные

49

а

б

в

г

д

е

Рис. 1.10

50

деформации участков li , которые вычисляются по формуле (1.6) как

Зная абсолютные деформации участков, подсчитаем продольные смещения указанных характерных сечений. Реальное перемещение сечения заделки отсутствует, поэтому запишем перемещение δА =0.

Первое сечение 2-го участка (сечение В) получило перемещение δВ, которое равно деформации этого участка: δВ = l2 0,09мм. Первое сечение 1-го участка (это сечение С) получило перемещение

δС = В l1 0,09 ( 0,25) 0,34мм.

В нашем примере наклонная прямая на эпюре N (рис. 1.10, в) пересекает ось на расстоянии zo от начала 2-го участков (обозначим это сечение К). Как известно, на эпюре перемещений в этом сечении ожидается экстремум − перегиб кривой перемещений. В сечении К сила N=60 150 z0 0. Отсюда абсцисса этого сечения равна

z0 Nq 15060 0,4м. Необходимое значение экстремального перемещения

δК (перемещения при z=zо) определяем на основании (1.7) как разницу между перемещением первого сечения и деформацией куска zо. При этом для деформации куска zо используем полученное ранее выражение деформации 2-го участка, но только в нём укажем пределы интегрирования от 0 до zо=0,4м. Вычисление в миллиметрах выглядит в следующем виде:

51

0,11 ( 0,60 0,4 1,50 0,42 /2) 0,09 0,12 0,03мм.

Отложив полученное значение от базисной линии на эпюре перемещений (рис. 1.10, е), проводим кривую с перегибом в сечении К.

2 и 3. Проверка условий прочности и жёсткости бруса

Теперь для ответа на пункты 2 и 3 назовём максимальные напряжения σmax, деформации εmax, перемещения δмах и сделаем выводы о прочности и жёсткости бруса при заданных величинах допускаемых напряжений [σ]=200МПa, деформаций [ε]=0,005 и перемещений [δ]=0,5мм.

Условие прочности имеет вид

σmax = 100МПа < [σ] =200MПa,

и, следовательно, прочность бруса обеспечена; запишем условие жёсткости:

εmax= < [0,0006]= 0,005, δmax= 0,34мм < [δ] = 0,5мм,

значит, жёсткость бруса обеспечена.

4. Вычисление напряжений в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательные τα и нормальныеα напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α=450 к оси бруса. Опасным сечением является сечение, в котором нормальные напряжения максимальны по абсолютной величине: в нашем примере равноопасны все сечения 2-го участка и σmax=100МПа. Вычислим напряжения в наклонной площадке по (1.10):

Как видно, эти напряжения не превышают допускаемых значений, и прочность в наклонной площадке под углом α=450 к оси бруса обеспечена.

Задача 7. Проверочный расчёт ступенчатого статически неопределимого бруса

Стальной ступенчатый брус (рис. 1.11) жёстко защемлён с торцов и несёт нагрузку известной величины. Площади поперечного сечения и длины участков заданы.

Требуется:

52

1.Используя условие равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных сил, возникающих в жёстких заделках.

2.Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ,

относительных деформаций и продольных перемещений δ.

3.Указать опасное сечение и значение σmax, проверить прочность при допускаемом напряжении [σ]=200МПа. Если условие прочности не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

4.Указать значения max и δmax, проверить жёсткость при допускаемой относительной деформации = 0,005 и допускаемом продольном перемещении [δ] = 0,5мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

5.Для опасного сечения бруса вычислить касательные τα и

нормальные α напряжениявнаклоннойплощадке,проведеннойпод угломα= 450 косибруса.

6. Вычислить температурные напряжения, возникающие в брусе при повышении температуры среды на 500 С. Принять коэффициент линейного удлинения =1,25∙10-5 1/град.

7. Как изменятся величины реактивных сил, если между левой заделкой и торцом бруса будет зазор величиной 0,0001∙L1?

Рис. 1.11

Решение 1. Вычисление реактивной силы заделки

В этой задаче так же использована унифицированная схема ступенчатого бруса при растяжении-сжатии. Пусть в нашем примере заданы следующие величины: сосредоточенная сила Р=-30кН; интенсивность распределённой нагрузки по участкам: q1=60кН/м, q2=0;

длины участков 11=0,5м, 12=0,6м; площади сечений участков F1=5см2,

F2=3см2.

53

Сначала по исходным данным изобразим в масштабе заданный брус и действующую на него нагрузку (рис. 1.12, б). Брус имеет два грузовых участка (нумерацию участков начинаем справа) и две заделки, в которых возникают реактивные силы RA и RВ. Для решения задачи необходимо найти величины этих сил. Составим уравнение равновесия бруса по (1.1)

пр z 0:

RA 30 60 0,5 RB 0.

Как видно, в уравнении имеем два неизвестных, и задача отыскания реакций является статически неопределимой. Составим дополнительное уравнение − уравнение перемещений, записав перемещение правой заделки и приравняв его нулю. Используем (1.6), запишем перемещение как сумму деформаций от каждого воздействия, начиная с левого торца бруса. Получим

Отсюда RA =5кН, а из уравнения равновесия найдём вторую реакцию:

RВ=5кН.

2. Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений, относительных деформаций и продольных перемещений

Для оценки прочности и жёсткости бруса необходимо найти значения и построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, относительных деформаций и продольных перемещений δ. Запишем требуемые алгебраические выражения и вычислим значения, используя метод сечений и известные формулы.

1-й участок: z1 1= 0,5м. В текущем сечении 1-го участка на расстоянии z1, продольная сила N1, напряжение σ1 и относительная деформация ε1 согласно (1.2), (1.3) и закона Гука, по которому σ1 E ε1 ,

получаем

N1 RB 60 z1 5 60 z1,

54

а

б

в

г

55

По полученным значениям продольных сил, напряжений, относительных деформаций непосредственно под брусом построим эпюры этих величин и подпишем их характерные значения (рис. 1.12, в, г, д).

Перейдём к перемещениям. Составим выражения продольных смещений δ характерных поперечных сечений А, В, С. Для этого вычислим

0,5 10 4м 0,05мм.

Реальное перемещение сечения заделки отсутствует, поэтому запишем перемещение δВ =0. Последнее сечение 1-го участка (сечение С) получило перемещение δС, которое равно деформации этого участка: δС= l1 0,05мм.Последнее сечение 2-го участка (сечение А) не имеет

смещения, так как в нём заделка. Действительно, получаем

δÀ = l1 l2 0,05 ( 0,05) 0.

На эпюре сил N наклонная прямая пересекает ось (рис. 1.12, б) на расстоянии zo от начала 1-го участка (это сечение К). В этом сечении на эпюре перемещений ожидается экстремум (перегиб кривой перемещений). Используя выражение продольной силы на 1-м участке, запишем уравнение NК = 0:

5

5 60 z0 0 , отсюда z0 60 0,083 м.

Зная абсциссу zо сечения К, найдём значение экстремального перемещения δК (перемещения при z=zо) на основании (1.7) как сумму перемещения δВ и деформации куска zо