Лекции и пособия / Расчёты при растяжении-сжатии

26

Нормальное напряжение σ вычисляем для каждого участка бруса по формуле (1.3) как

3. Нахождение σmax и условие прочности

Условие прочности ступенчатого бруса при растяжении-сжатии по допускаемым нормальным напряжениям имеет вид (1.5), согласно которому

Значит, нужно выбрать из полученных значений нормальных напряжений σ наибольшее по модулю значение, здесь имеем

Из этого условия вычислим требуемое значение F и назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.

Принимаем F 3,6см2 . Назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанные на схеме бруса соотношения между ними:

28

определяем с помощью (1.7):

B l3 0,053мм;

C l3 l 2 0,053 0,8 0,747 мм;

D l3 l 2 l1 0,053 0,8 0,6 1,347 мм.

На участке 2 эпюра продольных сил пересекает нулевую линию в точке K (рис. 1.6, д), в этом сечении будет перегиб на эпюре

0,9 10 3 м 0,9 мм.

Тогда продольное перемещение сечения K согласно (1.7) равно

29

K B l BK C l CK 0,747 0,9 0,153мм.

По полученным значениям построим эпюру продольных перемещений (рис. 1.6, ж).

Укажем max и проверим жёсткость при допускаемом продольном

перемещении.

Используем условие жёсткости (1.9), для которого выбираем из полученных значений наибольшее по модулю: max 1,347 мм. Тогда условие жёсткости принимает вид

δmax 1,347 мм δ 0,5мм.

Как видим, условие жёсткости не выполняется. Необходимо назначить новые площади сечений, чтобы соблюдалось условие жёсткости, которое в нашем примере должно иметь вид

δmax δ 0,5мм.

5. Касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательные и нормальные

30

напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом 45 к

оси бруса.

Напряжения подсчитаем по формулам (1.10), подставляя значения нормальных напряжений в опасном сечении C :

cos2 cos2 45 2 882,89 44,45МПа;

2 sin2 2 sin2 45 2 44,45МПа.

6.Определение силы P0

Определим, какую силу P0 нужно приложить к свободному торцу бруса, чтобы вернуть его в первоначальное положение. Сечение Д получило отрицательное перемещение δ D 1,347мм. Чтобы вернуть

сечение в первоначальное положение, нужно, очевидно, приложить растягивающую силу Р0, которая растянет брус на 1,347мм, т. е.

деформация всего бруса от силы Р0 составляет l(P0) 1,347мм. Записывая эту деформацию как сумму деформаций участков, получим уравнение

P0 EFl 176 1,347 мм.

Задача 4. Проектный расчёт ступенчатого статически неопределимого бруса

Стальной ступенчатый брус (рис. 1.7, а) жёстко закреплён с торцов. Задана конфигурация бруса и известна внешняя нагрузка: l 0,6 м; P ql;

q 80 кН/м.

Требуется:

1. Используя условие равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных сил, возникающих в жёстких заделках.

31

2.Построить эпюру продольных сил N.

3.Составить выражения для нормальных напряжений по всем участкам бруса, используя указанные на чертеже бруса значения площадей сечения через неизвестную величину F.

4.Установить max., составить условие прочности бруса по допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение

F при =200МПа и назначить площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.

5. Построить эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений δ, считая модуль упругости E=2∙ 5МПа. Указать δmax и проверить жёсткость при допускаемом продольном перемещении [δ] = 0,5 мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, назначить новые площади сечений.

6.Для опасного сечения бруса вычислить касательные τα и нормальные α напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом

α= 45°к оси бруса.

7.Вычислить температурные напряжения, возникающие при повышении температуры среды на 40°. Принять коэффициент линейного

удлинения =1,25∙10-5 1/град.

8. Как изменятся величины реактивных сил, если между правой заделкой и торцом бруса будет зазор величиной 0,0001∙L?

Решение:

1. Вычисление реактивных сил

Обозначим реактивные силы, возникающие в жёстких заделках под нагрузкой, как RA и RD (рис. 1.7, а). Их величины должны удовлетворять

поэтому брус является статически неопределимым. Для нахождения RA и RD необходимо составить еще одно уравнение – уравнение перемещений.

При растяжении-сжатии ступенчатого бруса уравнение перемещений записывают через продольные деформации участков li . Данный брус

состоит из трёх участков, поэтому

33

где выражения деформаций участков бруса l1, l 2 и l 3 составляем по

участке; где E – модуль упругости первого рода или модуль Юнга; Fi – площадь поперечного сечения; li – длина участка бруса. Заметим, что в

случае постоянной по участку продольной силы имеем li Ni li .

EFi

Сначала запишем для каждого участка бруса продольные усилия и абсолютные деформации. Продольные силы определяем методом сечений, рассматривая отсечённые части каждого участка (рис. 1.7, б, в, г), начиная со свободного конца. При этом продольную силу изображаем положительной, т.е. растягивающей рассматриваемый участок.

Используя уравнение равновесия отсечённой части пр z 0, записываем последовательно продольные силы для каждого участка:

Составим выражения деформаций участков бруса l1, l 2 и l 3 ,

причём площади сечения возьмём по конфигурации бруса через неизвестное значение F:

Подставляя в (1.17) эти величины, получим уравнение перемещений, записанное через RA :

34

Уравнение равновесия (1.16) и уравнение перемещений (1.18) составляют систему 2-х урвнений с двумя неизвестными RA и RD , решая

эту систему найдём величины этих реактивных сил. Уравнение (1.18) есть уравнение с одним неизвестным RA . Тогда, умножая его на EF, получаем

1,8 RA l 0,5ql2 RA l ql2 RA l 1,5ql2 0,

3,8RA l 3,4ql2 0, RA 3,34,8ql 0,89ql.

Из уравнения (1.16) RD -RA 2ql 0,89ql 2ql 1,11ql. 2. Построим эпюру продольных сил N.

Подставив найденную реакцию RA в выражения продольных усилий по участкам, получим их значения:

Откладывая от базисной линии эти значения, построим эпюру N

(рис. 1.7, в).

3. Выражения нормальных напряжений

Составим выражения нормальных напряжений для каждого

участка вала по формуле (1.3) как σi Ni :

Fi

35

4. Условие прочности бруса

Условие прочности ступенчатого бруса при растяжении-сжатии по допускаемым нормальным напряжениям запишем по (1.5):

Выбираем max из полученных выше значений нормальных напряжений σi как наибольшее по модулю,

max 0,89F ql ,

Теперь условие прочности получаем в виде

0,89F ql .

Найдём из этого условия требуемое значение F и назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.

Принимаем F 2,2см2 и назначаем площади всех участков бруса:

F1 F 2,2см2 , F2 F3 1,8F 1,8 2,2 3,96см2 .

5. Эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений

Вычислим значения нормальных напряжений по участкам бруса, используя полученные выше выражения.