Глава 15. Операционное исчисление.
§ 1. Преобразование Лапласа.
Пусть - функция (которая, вообще говоря, может принимать и комплексные значения) действительного аргумента , такая, что:
1) она кусочно-непрерывна на , т.е. непрерывна на данном промежутке, за исключением конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода; 2) существуют положительные числа и такие, что для всех справедливо неравенство .
Преобразованием Лапласа функции называется функция комплексного переменного , , определяемая равенством :
.
При этом функция называется оригиналом, а функция - его изображением. Соответствие между оригиналом и его изображением символически записывается в виде или .
Если функция задана на всей числовой прямой (), то вместо неё всюду в дальнейшем, без специальных оговорок, будем рассматривать функцию , где - единичная функция Хевисайда, т.е. будем считать при , причём .
При нахождении изображений и оригиналов широко применяются таблица изображений преобразования Лапласа и его свойства, а также формулы: ; ; ; .
В задачах 15.1-15.4 пользуясь определением преобразования Лапласа, найти изображения следующих функций:
15.1 15.2
15.3 15.4
Таблица изображений преобразования Лапласа
|
||
1. |
1 |
1/p |
2. |
||
3. |
||
4. |
||
5. |
||
6. |
||
7. |
||
8. |
||
9. |
||
10. |
||
11. |
||
12. |
||
13. |
||
14. |
||
15. |
||
16. |
||
17. |
||
18. |
||
19. |
||
20. |
Cвойства преобразования Лапласа.
1.Аддитивность:
2.Однородность:
3.Теорема смещения:
4.Теорема запаздывания:
5.Теорема о свертке: где
6.Теорема о дифференцировании изображения:
7.Теорема о дифференцировании оригинала:
8.Теорема об интегрировании оригинала:
9.Теорема об интегрировании изображения:
В задачах 15.5-15.22 используя таблицу изображений преобразования Лапласа, найти изображения следующих функций:
15.5 15.6
15.7 15.8
15.9 15.10
15.11 15.12
15.13 15.14
15.15 15.16
15.17 15.18
15.19 15.20
15.21 15.22
В задачах 15.23-15.28 используя теорему смещения, найти изображения следующих функций:
15.23 15.24 15.25
15.26 15.27 15.28
В задачах 15.29-15.34 используя теорему о дифференцировании изображения, найти изображения следующих функций:
15.29 15.30 15.31
15.32 15.33 15.34
В задачах 15.35-15.40 используя теорему об интегрировании изображения, найти изображения следующих функций:
15.35 15.36 15.37
15.38 15.39 15.40
В задачах 15.41-15.46 используя теорему об интегрировании оригинала, найти изображения следующих функций:
15.41 15.42 15.43
15.44 15.45 15.46
В задачах 15.47-15.52 используя теорему о свёртке, найти изображения следующих функций:
15.47 15.48
15.49 15.50
15.51 15.52
В задачах 15.53-15.62 используя теорему запаздывания, найти изображения следующих функций:
15.53 15.54
15.55 15.56
15.57 15.58
15.59 15.60
15.61 15.62
В задачах 15.63-15.74 используя таблицу изображений преобразования Лапласа, найти оригиналы для изображений:
15.63 15.64 15.65
15.66 15.67 15.68
15.69 15.70 15.71
15.72 15.73 15.74
В задачах 15.75-15.80 используя теорему запаздывания, найти оригиналы для следующих изображений:
15.75 15.76
15.77 15.78
15.79 15.80