scherbo-sp2

Предельная растягивающая сила не зависит от длины стержня, в то время как при сжатии она быстро падает с увеличением длины.

Продольный изгиб сжатых стержней особенно опасен потому, что он наступает внезапно, и поэтому его трудно предупредить в тех конструкци- ях, в которых неправильно назначены размеры сжатых элементов. В растя- нутых стержнях признаки опасного состояния часто наступают задолго до разрушения, а в сжатых стержнях каких-либо заметных признаков возмож- ной потери устойчивости, как правило, установить не удается.

Все сказанное заставляет обратить особое внимание на устойчивость сжатых стержней.

При выводе формулы Эйлера было установлено, что стержень, шар- нирно опертый по концам, изгибается по синусоиде, а найти численные значения прогибов не удалось. (Величина постоянной интегрирования В ос- талась неопределенной.) Это связано с тем, что было использовано прибли- женное уравнение

d 2v + k 2v = 0. dz2

Если применить точное дифференциальное уравнение

то при Р > Ркр можно найти прогибы стержня. Интегрирование уравнения (14.6) проводится с помощью сложных специальных функций. Изучение этого вопроса выходит за рамки нашего курса.

14.3. Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы

На рис. 14.9 показаны различные случаи закрепления концов сжатого стержня. Для каждой из этих задач необходимо проводить свое решение аналогично тому, как это сделано в предыдущем пункте. Для шарнирно опертого стержня. Решение показывает, что для всех случаев, изображен- ных на рис. 14.9, критическую силу можно определять по обобщенной формуле

где μ – так называемый коэффициент приведенной длины, а величина μl = l0

называется приведенной (свободной) длиной.

151

Критическое напряжение

σкр = Ркр = 5079 = 166 кгс/см2. F 30,6

Как видно из полученного расчета, стержень теряет устойчивость при напряжениях, значительно меньших предела упругости и меньших основных допускаемых напряжений. Для обеспечения устойчивости стержня необхо- димо допускаемую силу брать меньше критической. Поэтому для данного стержня сжимающие напряжения должны быть меньше 166 кгс/см2.

Применяя формулу Эйлера для определения критических сил сжатых стержней, следует считаться с возможностью различных форм потери ус- тойчивости в главных плоскостях, которые зависят от способов закрепления стержня.

Если стержень закреплен так, что его свободная длина при изгибе в обеих главных плоскостях инерции одинаковая, то, вычисляя Ркр, необхо- димо брать наименьший момент инерции. Так, например, для колонны, за- деланной одним концом и свободной на другом, потеря устойчивости про- изойдет в плоскости наименьшей жесткости, так как критическая сила, со- ответствующая изгибу в этой плоскости, будет наименьшей.

Если же стержень закреплен так, что при изгибе в одной плоскости коэффициент свободной длины μ1 отличается от коэффициента свободной длины µ 2 при изгибе в другой плоскости, то необходимо определять две критические силы:

Здесь J1 и J2 – главные моменты инерции, взятые относительно глав- ных осей.

Из двух найденных по формуле (14.8) критических сил для расчета принимается наименьшее значение.

В связи с этим возникает вопрос о рациональных типах поперечных сечений для сжатых стержней. Для случаев, когда μ1 = μ2 , т.е. когда способ закрепления стержня обеспечивает одинаковую форму потери устойчиво- сти в двух главных плоскостях инерции, рациональным сечением будет та- кое, у которого два главных момента инерции одинаковы. Так, например, если сечение состоит из двух швеллеров (рис. 14.11), то расстояние между их центрами тяжести должно быть определено из условия

J x = J y .

153

Если для одного швеллера моменты инерции J x1 и

J y1 , а площадь сечения F1, то для определения рас-

стояния а можно написать следующее уравнение:

Однако практически при назначении размеров сжатых стержней при- нимается во внимание целый ряд соображений конструктивного характера, поэтому условие равноустойчивости стержня в двух направлениях учиты- вается по мере возможности.

В некоторых (редких) случаях встречаются такие способы закрепле- ния концов стержня, при которых может произойти потеря устойчивости с одновременным изгибом оси стержня в двух плоскостях. Например, если по концам стержня поставлены цилиндрические шарниры, оси которых повер- нуты по отношению друг к другу на некоторый угол, не равный 90°, то по- теря устойчивости сопровождается пространственной формой изгиба стержня. Подобного рода задачи обычно решаются в специальных курсах устойчивости сооружений.

14.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

Формула Эйлера, полученная более 200 лет назад, долгое время яв- лялась предметом дискуссий. Споры длились около 70 лет. Одной из глав- ных причин споров явилось то обстоятельство, что формула Эйлера для некоторых случаев не подтверждалась экспериментами. Объясняется это тем, что формула Эйлера выводилась в предположении, что при любом значении стержень работает в пределах упругих деформаций с использо- ванием закона Гука.

Поэтому естественно, что ее нельзя применять в случаях, когда крити- ческие напряжения больше предела пропорциональности. Для установления предела применимости формулы Эйлера найдем

154

Приравнивая это напряжение пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости

l0 = 10 × 2,1×106 »100. 2000

Если l > l0, то можно применять формулу Эйлера. Если же l < l0, то формулой Эйлера пользоваться нельзя. Для стали Ст. 3 sпц » 2000 кгс/см2, Е = 2,1 × 106 кгс/см2. Приняв p2 » 10, получим

l0 = 10 × 2,1×106 »100. 2000

Для стали Ст. 5 l0 = 90.

Для случая, когда стержень работает за пределами упругих деформа- ций, теоретические выводы сильно усложняются. Поэтому были проведены экспериментальные исследования. На основе опытных данных Ф.С. Ясин- ский предложил эмпирическую формулу для определения критических на-

пряжений

σкр = а − bλ,

где а и b – постоянные, зависящие от материала. Так, например, для стали Ст. 3

σкр = 3100 −11,4λ;

для дерева

σкр = 293 −1,94λ.

На рис. 14.12 схематически показан полный график зависимости кри- тических напряжений от гибкости для стали Ст. 3. Гипербола Эйлера, по- строенная по уравнению (14.9), при l < l0 показана пунктиром, так как ею пользоваться на этом участке нельзя.

При гибкостях, равных от 0 до 40 – 50, стержень настолько короткий, что практически разрушается при потере прочности, поэтому критическое

155

напряжение может быть принято равным пределу текучести (или пределу прочности). При гибкостях, лежащих в интервале 50 ≤ λ ≤ λ0 , стержень те- ряет устойчивость, деформируясь в упругопластической области, поэтому график очерчен по прямой Ясинского.

Рис. 14.12

На этом же рисунке нанесены точки, показывающие значения крити- ческих напряжений, полученных экспериментальным путем. Многочислен- ные экспериментальные исследования, проведенные в разных странах, по- казывают хорошее совпадение опытных данных с полным графиком крити- ческих напряжений.

Применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решить задачу ус- тойчивости сжатых стержней на всем интервале гибкостей, которые встре- чаются в строительной практике.

Помимо чисто экспериментальных результатов для случаев, когда стержень работает в упруго-пластической области, имеются теоретические исследования, в которых для критических сил предлагаются формулы, по- добные формуле Эйлера. К числу таких исследований, прежде всего, необ- ходимо отнести работу Ясинского, где предлагается определенике критиче- ской силы с использованием так называемого приведенного модуля

Идея применения приведенного модуля Еr заключается в том, что пер- воначально сжатый стержень при последующем изгибе начинает работать как стержень с различными модулями упругости при растяжении и сжатии.

Представим себе, что стержень центрально сжат и напряжения превы- шают предел упругости, а сила, действующая на стержень, близка к критиче- ской. При достижении ею критического значения стержень начинает изги- баться. От изгибающего момента в одной части поперечного сечения появят- ся дополнительные сжимающие напряжения, а в другой дополнительные на- пряжения будут растягивающими. Следовательно, в этой части поперечного

156

стержня с прямоугольным поперечным сечением приведенный модуль, или, как его иначе называют, модуль Ясинского, определяется следующей фор- мулой:

Er = 4E1E2 2 ,

( E1 + E2 )

где Е1 – модуль упругости при разгрузке, равный начальному модулю (на- пример, для стали Е1 = Е = 2,1 × 106 кгс/см2);

Е2 = Еτ – модуль упругости, взятый для соответствующего осевого напряжения. Он равен тангенсу угла наклона касательной к кривой сжатия, поэтому часто называется касательным модулем.

Формула Ясинского (14.10) довольно хорошо совпадает с результата- ми, полученными экспериментальным путем.

14.5. Выпучивание упруго-пластического центрально-сжатого стержня

вусловиях возрастающей нагрузки (понятие о теории Ф.Р. Шенли)

Впредыдущем параграфе указывалось, что при теоретическом опре- делении критической силы для стержня, сжатого за пределом пропорцио- нальности, можно пользоваться формулой Эйлера с заменой модуля упру- гости Е так называемым приведенным модулем Еr [см. формулу (14.10)]. Указанная методика применялась в работах Ф.С. Ясинского, Т. Кармана и других с конца прошлого века и получила название теории приведенного модуля. Критическую силу, определяемую по формуле (14.10), называют

приведенно-модульной и обозначают Рr.

Ф. Энгессер предложил определять критическую силу в упруго- пластической стадии по формуле Эйлера, подставляя в нее вместо модуля

157

упругости величину касательного модуля Eτ = dσ (рис. 14.14). Эту силу на- dε

зовем касательно-модульной и обозначим Рτ. Следовательно,

Со времени предложения Ф.С. Ясинского и до недавнего времени правильной считалась теория приведенного модуля, теория же касательного модуля рассматривалась как неверная, что в свое время было признано и ее автором. Однако спустя полвека после работ Энгессера и Ясинского появи- лись новые представления по этому вопросу, позволяющие объяснить воз-

можность выпучивания стержня при касательно-модульной нагрузке Pτ. Впервые они были высказаны в 1946 г. Ф.Р. Шенли и в дальнейшем обсуж- дались в литературе рядом авторов. Рассмотрим сущность этих новых пред- ставлений.

В теории приведенного модуля существенным моментом является на- личие зоны разгрузки, образующейся в момент выпучивания стержня, о чем было сказано в предыдущем пункте. Однако глубина этой зоны в каком- либо сечении стержня в общем случае зависит от двух факторов: изгибаю- щего момента dM, возникающего в сечении при бесконечно малом искрив- лении стержня, и от приращения силы dP, сопровождающего это отклоне- ние. При этом момент dM способствует появлению зоны разгрузки, в то время как приращение силы dP противодействует этому.

Теория приведенного модуля соответствует тому случаю, когда в мо- мент выпучивания сжимающая сила остается неизменной, т. е. dP = 0. В этом случае глубина зоны разгрузки оказывается одинаковой для всех попе- речных сечений по длине стержня, как это показано на рис. 14.14, а. После- довательность развития деформаций в элементе, вырезанном из стержня двумя поперечными сечениями показана на рис. 14.14, б. Вначале элемент центрально сжимается силой, возрастающей от Р = 0 до Р = Рr. Затем при не- изменной силе происходит относительный поворот сечений элемента, воз- никший вследствие изгиба стержня. При этом для части элемента деформа- ция сжатия продольных волокон, предшествующая изгибу, сменяется неко- торым удлинением. Эта часть элемента и составляет зону разгрузки.

Сопротивление указанного элемента изгибу слагается из сопротивле- ния двух частей – догружаемой и разгружаемой, работающих соответствен- но с модулями Еτ и Е. В целом сопротивление изгибу всего элемента опре- деляется, как говорилось в п. 14.4, модулем Еr, величина которого заключе-

на между Еτ и Еr. Величина силы, при которой начинается описанное ис- кривление стержня, составляет критическую нагрузку Pr.

158

На рис. 14.15, б показана схема деформации стержня, который начи-

нает выпучиваться при силе Pτ. Как видим, в начальный момент искривле- ния ни одно волокно не удлинилось по сравнению с предшествующим пря- молинейным состоянием стержня. После того как стержень получит хоть и малый, но конечный прогиб, на части длины стержня также появляется зона разгрузки, как это изображено на рис. 14.15, в.

Таким образом, существенным моментом искривления стержня при си- ле Рτ является необходимость догружения стержня в момент начала выпучи- вания, роль которого состоит в том, чтобы ликвидировать зону разгрузки.

Для дальнейшего роста прогибов нагрузка также должна увеличи- ваться до некоторого значения Рmах, что показано на рис. 14.16 (кривая 1).

Последующее падение нагрузки связано с развитием в стержне больших пластических деформаций. Кривая 2 на том же рисунке изображает поведение стержня, выпучивше- гося при силе Рr. В этом случае сила остается неизменной (dP = 0) только в начальный мо- мент, а затем с ростом прогибов она резко падает. Ординаты указанных кривых дают значения сил, которые могут быть уравно- вешены стержнем при данном прогибе. Если же, например, внешняя сила, достигнув зна- чения Рmах (кривая 1), с ростом прогиба не сможет уменьшаться, то это приведет к на- рушению равновесия и к ускоренному про- цессу разрушения стержня. На рис. 14.16 пунктиром по оси ординат показан участок,

на протяжении которого в любой точке может начаться искривление цен- трально нагруженного упругопластического стержня при возрастающей си- ле сжатия. Если с помощью каких-либо закреплений принудительно обес- печить прямолинейное состояние стержня в процессе возрастания нагрузки вплоть до некоторой силы Р, промежуточной между Рτ и Рr, а затем осво- бодить стержень от этих закреплений, то он сможет выпучиться (кривая 3) подобно тому, как это описано выше для касательно-модульной силы. Раз- ница будет лишь та, что в начальный момент выпучивания появится некото- рая зона разгрузки, причем тем большая, чем Р ближе к Рr. В пределе, если искривление начинается при силе Р = Рr, эта зона разгрузки, возникающая в начальный момент искривления, совпадает с указанной на рис. 14.14. При этом чем ближе сила Р к Рr, тем меньше догрузка в начальный момент выпу- чивания, характеризуемая величиной dP/df (см. рис. 14.15). При силе Р = Рr догрузка dP и производная dP/df равны нулю.

160