scherbo-sp2

Интеграл, входящий в числитель (12.24), является геометрической характеристикой поперечного сечения стержня. По аналогии со статиче- ским моментом площади он обозначается через Sω и называется сектори-

альным статическим моментом сечения. Измеряется Sω в сантиметрах в четвертой степени (см4).

Так же как и обыкновенный, статический момент Sω какой-либо площади может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Ве- личина и знак его зависят от выбора начальной точки отсчета. Так, если для сечения, профиль которого изображен на рис. 12.13, а, точку М0 распо- ложить слева, то секториальные координаты ω в соответствии с принятым для них правилом знаков будут положительными для всех точек сечения. Для удобства вычислений обычно строят эпюру ω, в которой их значения откладывают по нормали к средней линии сечения.

Рис. 12.13

Для данного случая такая эпюра изображена на рис. 12.13, б.

При положении точки М0 справа все точки сечения будут иметь от- рицательные ω, и эпюра последних имеет вид, показанный на рис. 12.13, в.

111

Если точку М0 расположить в каком-либо промежуточном положе- нии, то эпюра ω будет двузначной (рис. 12.13, г).

Из рассмотрения этих эпюр следует, что Sω для всего сечения при со- ответствующем выборе положения точки М0 может быть равен нулю. Ус- ловимся в дальнейшем так выбирать точку М0, чтобы

Эта формула выражает закон распределения нормальных напряже- ний σω в сечении стержня, который принято называть законом сектори-

альных площадей.

Так как Е и Θ" для определенного сечения являются постоянными, то эпюра σω всегда имеет вид, подобный эпюре ω. Точку M0 называют

главной векториальной нулевой точкой.

Из формулы (12.26) следует также, что если Θ' является постоянной величиной, как, например, при свободном кручении, то Θ′′ = 0 и, следова- тельно, нормальные напряжения в этом случае не возникнут.

Для определения касательных напряжений τω в поперечном сечении стержня поступим так же, как и при выводе формулы Журавского, т. е. найдем сперва напряжения τω, которые возникают в продольных сечениях стержня. Для этого вырежем из стержня двумя поперечными сечениями элемент dz и отсечем от него часть amm1a1 (рис. 12.14). По боковым гра- ням am и a1m1 этой части будут действовать нормальные напряжения σω и

σω + ∂σω dz. В связи с этим в продольном сечении mm1 возникнут каса-

∂z

тельные напряжения τω, которые примем равномерно распределенными по толщине δ. Напряжения τω, действующие в продольном сечении рассмат- риваемой отсеченной части, будем считать положительными, если они направлены в сторону, противоположную оси z.

По грани am отсеченной части, лежащей в плоскости поперечного сечения стержня, касательные напряжения возникнут по закону парности. Наружные кромки аа1 и bb1 элемента dz будем считать свободными от на- пряжений.

Используем условие равновесия части amm1a1 и приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось z:

112

откуда получим

Рис. 12.14

Подставляя значение σω из (12.26), после сокращения на dz можно

Формула (12.32) выражает закон распределения напряжений τω в се- чении стержня. Так как множитель ЕΘ"' для определенного сечения явля- ется величиной постоянной, то, следовательно, τω изменяются по закону

Sωотс δ.

113

Следует также заметить, что Sωотс в формуле (12.32) можно брать для любой из отсеченных частей, т. е. как для части сечения ma, так и mb. Это обстоятельство вытекает из условия, что для всего сечения Sω = 0.

12.6. Расчетные формулы для напряжений и соответствующих им внутренних силовых факторов

Полученные в предыдущих параграфах формулы для σω и τω целе- сообразно привести к более удобному для практического применения ви- ду. Это преобразование сначала выполним для касательных напряжений.

Рассмотрим сечение стержня с произвольным очертанием профиля

(рис. 12.15).

Произведение, стоящее в прямых скобках, обращается в ноль, потому что Sωотс для точек а и b равен нулю. Для точки а отсеченная площадь рав-

на нулю и поэтому Sωотс = 0 , а для точки b в качестве отсеченной площади берется все сечение стержня, для которого соблюдается условие Sω = 0.

Дифференциал dSωотс получим, давая дуге s приращение ds. Так как в этом случае отсеченная площадь уменьшается, то в выражении дифференциала dSωотс следует поставить знак минус:

114

dSωотс = −ωδds = −ωdF.

Подставляя это значение dSωотс в (12.38), получим

Здесь интеграл в правой части является геометрической характери- стикой сечения, которая по аналогии с осевым моментом инерции обозна- чается через Jω и называется секториальным моментом инерции, который измеряется в сантиметрах в шестой степени (см6).

Таким образом, имеем

Напомним, что положительному значению τω на продольной пло- щадке отсеченной части стержня (см. рис. 12.14) (для которой вычис- лялся Sωотс ) соответствует вектор этого напряжения, направление ко- торого не совпадает с положительным направлением оси z. В поперечном сечении стержня направление вектора устанавливается на основании за- кона о парности касательных напряжений.

Переходя к преобразованию формулы нормальных напряжений, вве- дем понятие о бимоменте, который выражается в виде интеграла:

Выражение бимомента имеет внешнюю аналогию с выражением из- гибающего момента. Отличие состоит лишь в том, что здесь плечо, на ко- торое умножается элементарная внутренняя сила σωdF , заменено секто-

риальной координатой ω.

Подставляя в выражение (12.43) σω, определяемое формулой (12.26), получим

115

Эта расчетная формула аналогична формуле нормальных напряже- ний при изгибе

σ = M x y.

J x

Путем дифференцирования выражения (12.45) можно установить сле- дующую зависимость между бимоментом и изгибно-крутящим моментом:

Полученная зависимость также имеет внешнюю аналогию с диффе- ренциальной зависимостью между изгибающим моментом и поперечной силой:

dM = Q. dz

Из рассмотрения приведенных выше формул следует, что определе- ние Bω и Мω, а следовательно, и напряжений σω и τω не может быть осуще- ствлено исходя только из уравнений равновесия.

Для вычисления всех указанных факторов требуется иметь уравне- ние угла закручивания Θ = f (z). Это обстоятельство также является одной из характерных особенностей расчета тонкостенных стержней, работаю- щих в условиях стесненного кручения.

12.7. Дифференциальное уравнение угла закручивания стержня и его интегрирование

Для составления уравнения угла закручивания стержня используют условие (12.7), связывающее внешние и внутренние моменты при стеснен- ном кручении:

M кр = M ω + M 0 = M ,

где М – момент внешних сил относительно центра изгиба А.

116

Подставляя в приведенное равенство значение Мω из формулы

(12.40) и значение М0 из формулы (12.2), найдем

−EJωΘ′′′ + GJd Θ′ = M ,

или

Производная в правой части уравнения (12.50) представляет собой (рис. 12.16) интенсивность m внешнего распределенного по стержню вдоль оси oz крутящего момента:

Рис. 12.16

Эту зависимость легко понять из условия, что внешний момент на участке z может быть выражен так:

EJω

Решение (12.54) представляется в виде суммы двух решений, первое из которых составляет решение однородного уравнения, т. е. когда m = 0, а второе является частным решением уравнения (12.54), зависящим от пра- вой части последнего.

Рассмотрим вначале решение однородного уравнения, которое соот- ветствует наиболее часто встречающемуся на практике случаю, когда на стержень действуют не распределенные по его длине, а сосредоточенные крутящие моменты.

117

Подставляя найденные значения производных в выражения (12.2), (12.45) и (12.40) для М0, Вω и Mω, получим:

Для определения коэффициентов C1, C2, C3 и С4 применим метод на- чальных параметров, который использовался при выводе универсального уравнения прогибов.

Для этого рассмотрим стержень постоянного сечения (рис. 12.17).

Рис. 12.17

Пусть при z = 0 имеются начальные параметры: Θ0 – угол поворота начального сечения; Θ' – первая производная от угла поворота; В0 – бимо- мент и Мко – момент в начале координат. Кроме этого, пусть в сечениях 1, 2, ..., i действуют сосредоточенные моменты М1 , M2,..., Mi, которые, так же как и Мко, принимаются положительными.

118

Подставляя z = 0 в уравнение (12.56), в первое из уравнений (12.57), а также в уравнения (12.59) и (12.61), получим:

Вводя найденные значения постоянных в (12.56) и выполнив преоб- разования, получим следующее уравнение угла закручивания для участка I стержня:

Подставляя те же значения постоянных из (12.63) в первое из урав- нений (12.57), а также в уравнения (12.59) и (12.60) и вводя вместо k2 его значение (12.53), найдем:

дого из этих параметров на величину Θ1, Bω1 и Мω1 и называются функ-

циями влияния.

Полученные уравнения (12.64), (12.66) и (12.67) позволяют при из- вестных начальных параметрах построить эпюры Θ1, Bω1 и Мω1 и, следова- тельно, иметь значения указанных факторов для любого сечения участка I.

Уравнение угла закручивания для какого-либо n-ногo участка стерж- ня составляется аналогично тому, как это делалось при составлении уни- версального уравнения прогибов. В данном случае также вместо абсциссы z в уравнение (12.64) вводится (z - аi), при этом через аi обозначается рас- стояние от левого конца стержня до начала п-ного участка.

119

Таким образом, имеем

Как видно, в правой части уравнения (12.68) учитывается влияние на величину Θn всех сосредоточенных факторов, действующих слева от сече- ния с абсциссой z – аi.

Здесь следует отметить, что в тонкостенных стержнях, наиболее час- то встречающихся на практике, изменение бимомента скачком, или дейст- вие сосредоточенного бимомента Bi, входящего в уравнение (12.68), встречается редко. В частности, это имеет место, если в каком-либо сече- нии стержня действует сосредоточенная сила, параллельная оси стержня, или система таких сил (рис. 12.18).

Влияние указанных сил в этом случае учитывается не интегралом (12.43), а суммой:

В соответствии со сказанным условимся в дальнейшем не рассматри- вать случаи действия в промежуточных сечениях стержня сосредоточенных

В случае когда к стержню приложены непрерывно распределенные по его длине моменты, требуется дополнительно найти частное решение уравнения (12.54).

120