- •Часть 1 Волновая оптика
- •1 Волновая теория света
- •1.1 Электромагнитные волны
- •1.2 Операторная запись уравнений Максвелла
- •1.4 Свойства электромагнитных волн
- •1.5 Шкала электромагнитных волн
- •1.6 Фазовая и групповая скорости
- •1.7 Основные фотометрические величины
- •2 Геометрическая оптика
- •2.1 Законы геометрической оптики
- •2.3 Показатель преломления
- •2.4 Принцип Ферма
- •2.5 Преломление света на сферических поверхностях
- •2.6 Фокус сферической поверхности
- •2.7 Центрированные оптические системы. Линзы
- •2.8 Формула тонкой линзы
- •2.9 Построение изображения в тонких линзах
- •2 .10 Плоские зеркала
- •2.11 Сферические зеркала
- •3 Интерференция света
- •3.1 Интерференция волн
- •3.2 Условия возникновения интерференции. Когерентность
- •3.3 Способы получения интерференции
- •3.4 Влияние размеров источника. Пространственная когерентность
- •3.5 Интерференция волн, испускаемых двумя точечными источниками
- •3.6 Классические интерференционные опыты
- •3.7 Интерференция в тонких пленках
- •3.8 Интерференция в тонких пленках переменной толщины
- •Кольца Hьютона являются классическим примером интерференционных полос от пластины переменной толщины. П ример. Кольца Ньютона
- •3.9 Интерферометр Майкельсона
- •3.10 Многолучевая интерференция
- •4 Дифракция света
- •4.1 Принцип Гюйгенса
- •4.2 Принцип Гюйгенса-Френеля
- •4.3 Зоны Френеля
- •4.4 Применение метода зон Френеля
- •4 .5 Дифракция Фраунгофера на щели
- •4.6 Дифракция от двух параллельных щелей
- •4.7 Дифракционная решетка
- •4.8 Оптические характеристики дифракционных решеток
- •4.9 Дифракция рентгеновских лучей
- •5 Поляризация света
- •5.2 Естественный и поляризованный свет
- •5.3 Поляризация при отражении и преломлении на границе раздела двух сред
- •5.4 Оптически одноосные кристаллы
- •5.5 Оптически активные вещества
- •6 Взаимодействие света с веществом
- •6.1 Электронная теория дисперсии света
- •6.2 Нормальная и аномальная дисперсии
- •6.3 Поглощение света
- •6.4 Рассеяние света
- •Часть 2 Квантовая оптика
- •7 Тепловое излучение
- •7.1 Равновесное излучение
- •7.2 Закон Кирхгофа. Абсолютно черное тело
- •7.3 Законы теплового излучения
- •7.4 Формула Планка
- •8 Корпускулярные свойства света
- •8.1 Фотон
- •8.2 Внешний фотоэффект
- •8.3 Уравнения Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
- •8.4 Внутренний фотоэффект
- •8 .5 Комптоновское рассеяние
- •8.6 Давление света
- •Часть 3 Основы атомной физики
- •9. Элементы квантовой механики
- •9.1 Гипотеза де Бройля
- •9.2 Соотношение неопределенностей
- •9.3 Уравнение Шредингера
- •9.4 Квантование атомных систем
- •9.5 Спин
- •10 Строение атомов и их оптические свойства
- •10.1 Модели атома Томсона и Резерфорда
- •10.2 Постулаты Бора. Опыт Франка и Герца
- •10.3 Теория водородоподобного атома
- •10.4 Принцип неразличимости тождественных частиц. Принцип Паули
- •10.5 Периодическая система химических элементов
- •Часть 4 Основы физики атомного ядра
- •11 Строение и свойства атомных ядер
- •11.1 Атомное ядро
- •11.2 Энергия связи ядра
- •11.3 Радиоактивность
- •11.4 Закон радиоактивного распада
- •11.5 Ядерные реакции
- •11.6 Термоядерный синтез
- •Содержание
- •Часть 1. Волновая оптика 3
- •1 Волновая теория света 3
- •1.1 Электромагнитные волны 3
- •1.2 Операторная запись уравнений Максвелла 4
- •3.1 Интерференция волн 36
- •Часть 2. Квантовая оптика 99
- •8 Корпускулярные свойства света 108
- •Часть 3. Основы атомной физики 119
- •Часть 4. Основы физики атомного ядра 139
2.4 Принцип Ферма
В основу геометрической оптики может быть положен принцип Ферма. Согласно принципу Ферма время, которое требуется свету для прохождения вдоль луча, отличается только на величины второго порядка малости от времени, которое требовалось бы свету для прохождения вдоль любого соседнего пути. Другими словами, действительный путь распространения света между двумя точками пространства есть путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время, по сравнению с другим мыслимым путем, между этими же точками.
Время прохождения светом пути l, заполненного средой с показателем преломления n, пропорционально оптическому пути
L = ln.
Если среда неоднородна, то
, (2.4.1)
а в случае с непрерывно меняющимся показателем преломления
. (2.4.2)
Поскольку , то можно сказать, что принцип Ферма есть принцип наименьшей оптической длины пути. Условие экстремальности оптической длины пути сводится к требованию, чтобы была равна нулю первая вариация интеграла (2.4.2). Действительно,
.
Тогда
или .
В однородной среде принцип Ферма приводит к закону прямолинейного распространения света, так как прямая есть кратчайшее расстояние между точками.
Принцип Ферма можно проиллюстрировать на простом примере. Рассмотрим, как за кратчайшее время свет может дойти от точки А до точки Б, отразившись от плоского зеркала. При перемещении точки отражения В ближе к А отрезок АВ уменьшается, но отрезок ВБ увеличивается и наоборот. Воспользуемся простым геометрическим приемом. Построим вспомогательную точку Б, лежащую на перпендикуляре к плоскости зеркала и проходящем через точку Г, причем . Если среда однородна, то свет в отсутствии зеркала будет двигаться по прямой АБ. Но длинна отрезков ВБ и ВБ одинакова. Кроме того, из построения видно, что и , а, следовательно . Таким образом, принцип Ферма приводит к закону отражения.
В случае перехода светового луча через границу раздела двух различных прозрачных сред, принцип Ферма приводит к закону преломления. Докажем это утверждение. Пусть свет из точки А приходит в точку Б, преломляясь на плоской границе S. Любой путь, лежащий вне плоскости АВБ, будет пройден светом за большее время. Действительно, либо AГ = AВ, а БГ > БВ, либо AГ > AВ, а ГБ = БВ.
Исследуем, как изменяется время прохождения пути в зависимости от положения точки В. Время распространения света по пути AВБ есть
,
где V1 и V2 – скорости распространения света до границы раздела и после нее. Из точек A и Б опустим перпендикуляры AА' и ББ' на плоскость S. Введем обозначения ВA' = x, AА' = h1, ББ' = h2 и А'Б' = р. Тогда
.
Условие минимума по принципу Ферма имеет вид .
Следовательно:
.
Из треугольников AВA' и БВБ' видно, что
; .
Откуда
или . (2.4.3)
2.5 Преломление света на сферических поверхностях
Д ля практических целей наиболее важным примером преломления световых лучей на границе раздела двух сред является преломление на границе, представляющей часть сферы. Поверхность S является частью сферы радиуса R. Слева от поверхности S находится оптически однородная среда с показателем преломления n1, а справа – с показателем преломления n2.
Рассмотрим лучи, исходящие из точки A под углом к линии соединяющей точку А и центр сферической поверхности O. Будем считать, что этот угол настолько мал, что AВAM. Все лучи, преломившись на границе раздела, соединятся в точке Б. Учитывая предыдущее предположение, можно считать, что БМБB.
Из треугольников AAВ и AAO видно, что AA = AВsin = = AOsin . Откуда получаем
.
Из треугольников ББВ и ББO имеем ББ = БBsin = БOsin . То есть
.
Таким образом,
.
Учитывая вышеизложенное предположение, обозначим AВ AM = – a, БB БM = b, БO = MO = R. Знак "–" показывает, что начало координат помещено в точку M. Тогда AO = – a + R, БO = b – R.
или . (2.5.1)
Преобразуем выражение (2.5.1) к виду
.
Разделив правую и левую части равенства на R, получаем
. (2.5.2)
Из формулы (2.5.2) видно, что величину b можно найти, если известны величины n1, n2, R и a. Если первые три параметра заданы, то b однозначно определяется величиной a и не зависит от . Таким образом, все лучи, выходящие из точки A под малыми углами , придут в точку B, которая является ее изображением. Используя закон обратимости световых лучей, легко показать, что при преломлении на вогнутой поверхности формула (2.5.2) будет иметь тот же вид, но величину R необходимо взять со знаком "–" . Точно так же можно рассмотреть различные варианты, когда a и b будут иметь разные и одинаковые знаки. В рассмотренном случае a отрицательно, а b положительно. В этом случае изображение называют действительным. Подобная ситуация будет, если R < 0 и b < 0, а a > 0. Если же a и b имеют одинаковый знак, то изображение называется мнимым.