- •1.1. Предмет механики жидкости и её задачи
- •1.2. Математическое моделирование
- •2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •2.1. Начальные понятия, свойства жидкости
- •2.2. Гипотеза сплошности
- •2.2.1. Понятия: плотность, удельный вес, модуль упругости
- •2.3. Силы, действующие в жидкости
- •2.3.1. Объёмные (массовые) силы
- •2.3.2. Поверхностные силы
- •2.3.2.1. Касательные силы
- •2.3.2.2. Нормальные силы
- •2.3.2.2.1. Давление
- •2.3.2.2.3.Тензор напряжения поверхностной силы
- •3. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ В ГИДРОДИНАМИКЕ
- •3.1. Тензоры
- •3.1.1. Правила действия над тензорами
- •3.2. Гидромеханический смысл некоторых операций векторного анализа
- •3.2.2. grad Р (градиент давления)
- •3.3. Символическое исчисление
- •3.3.1. Оператор Гамильтона
- •3.3.2. Правила символического исчисления
- •3.3.3. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.3.4. Оператор Лапласса (Лапласиан)
- •3.4. Представление дифференциальных операций векторного анализа в декартовой системе координат
- •3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.6. Дифференциальные тензоры
- •3.7. Безвихревые и соленоидальные векторные поля
- •4. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •4.1. Способы описания движения жидкости
- •4.2. Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде)
- •4.3. Виды движения жидкости
- •4.3.1. Субстанциональная производная бесконечно малой частицы жидкости
- •4.3.2. Обобщение понятия субстанциональной производной бесконечно малой частицы жидкости
- •4.3.2.1. Ускорение жидкой частицы
- •4.4. Субстанциональное изменение количественного параметра конечной массы вещества
- •4.5. Интегральная запись законов сохранения материи, количества движения и момента количества движения
- •4.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения материи (уравнение сплошности или неразрывности)
× – есть векторное произведение вектора набла на вектор скорости, что дает производный вектор получившийся в результате определенным образом проведенного дифференцирования векторной функции по объёму.
Замечание: в векторном анализе в основном действуют все те правила, которые справедливы для дифференциального исчисления обычных скалярных функций, однако имеется и некоторое отличие.
3.3.2. Правила символического исчисления
1. Оператор Гамильтона, примененный к сумме или разности каких-то скалярных или векторных функций, равен сумме или разности соответствующих операций, проведенных над отдельными функциями.
2. Применяя операцию дифференцирования в символическом исчислении к произведению скалярных или векторных функций, нужно поступать так же, как это делается при обычном дифференцировании, т.е. произведение дифференцируется столько раз, сколько в нем содержится переменных сомножителей.
При этом каждый раз только один из сомножителей рассматривается как переменный, а остальные принимают-
не |
|
|
|
|
|
|
ся постоянными. |
|
|
|
|||
|
|
3. |
Постоянный множитель можно вынести за |
|||
знак . |
|
|
|
|
||
|
|
Однако выносить можно лишь постоянный скаляр, а |
||||
|
вектор. Если под знаком |
|
оказывается постоянный век- |
|||
тор, то |
произведение символического вектора набла на |
|||||
данный вектор надо так |
преобразовать по правилам дейст- |
|||||
|
|
|
вия над векторами, чтобы этот вектор оказался перед зна-
49
ком и оператор Гамильтона ( ) действовал бы только на переменную величину, стоящую за ним.
4. Операция деления на вектор отсутствует. Операция деления на скаляр всегда можно представить как умножение на скаляр, обратный данному.
Примечание: Ньютон: «… при изучении наук примеры бывают полезнее правил».
3.3.3. Примеры, имеющие самостоятельное значение
1. ∙ = ∙ , (3.25)
(операция дивергенции, примененная к произведению скаляра на вектор, каждый из которых есть переменная величина).
В соответствии с правилами производная от произ- |
||||||||||||||
|
|
|
∙ = + |
|
|
|
|
|
|
|||||
ведения равна сумме производных, т.е. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменные, |
(3.26) |
||||
здесь малые буквы (m и |
|
) обозначают |
вели- |
|||||||||||
чины, а большие буквы ( |
M и ) – величины, которые вре- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
менно рассматриваются как постоянно |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вынесем скаляр M за знак |
(дифференцирования), |
|||||||||||||
а во втором слагаемом оператор |
|
|
∙ |
|
|
|
||||||||
(Гамильтона) будем рас- |
||||||||||||||
сматривать как обычный вектор. |
Тогда |
|
|
|
есть просто |
|||||||||
скалярное произведение двух векторов, величина |
которого |
|||||||||||||
не меняется от перестановки сомножителей. |
= |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и по- |
Значит, в процессе преобразования |
|
|
|
|||||||||||
стоянный вектор |
|
оказался как бы вынесенным за знак |
||||||||||||
производной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т.о. в результате такого преобразования получили |
||||||||||||||
новый оператор дифференцирования ( |
|
)… , который в |
||||||||||||
отличие от |
|
является скалярным, а не векторным. |
|
50
|
|
Примечание: для преобразования членов |
|
|
|
|||||
|
|
( |
) и |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) необходимо искать формулы в векторной алгебре, ко- |
||||||||||
торые |
включали бы комплексы типа |
( |
|
). |
× × + |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Оказывается, что такой комплекс |
есть в разложении |
|||||||
∙ |
|
( )= |
|
|
|
|
||||
двойного. векторного произведения: |
|
|||||||||
|
|
После |
проведения преобразований величины, |
при- |
нятые временно как постоянные, можно снова считать пе- |
|||||||||||||||||||||
ременными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= + ( ) = + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Т.о. равенство (3.26) можно записать: |
|
|
. |
|
(3.27) |
||||||||||||||||
величина, то скобки, |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Замечание: т.к. после введения нами нового операто- |
|||||||||||||||||||||
ра дифференцирования |
|
|
стоит переменная скалярная |
||||||||||||||||||
(скобки) были бы |
охватывающие этот оператор, можно |
||||||||||||||||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
не ставить. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если бы за знаком |
|
|
… следовал вектор, то они |
||||||||||||||||||
векторами |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
В |
противном |
случае |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
обязательны. |
|||||||||||||||
|
( ) ≠ ( ) |
|
, а про правилам действия над |
||||||||||||||||||
выражение |
|
|
, и так: |
|
|
|
|||||||||||||||
Таким |
образом, |
окончательно |
выражение |
|
(3.27) |
||||||||||||||||
2. Найдем = + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
можно записать: |
|
|
|
|
|
|
|
( ∙ ) |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
первый шаг: запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.28) |
||
|
|
|
|
выражение для |
|
|
|
, где |
|
и |
|
пе- |
|||||||||
ременные векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∙ = ∙ = ∙ + ∙ |
|
|
(*) |
||||||||||||||||||
Здесь мы не |
имеем права |
, как в предыдущем |
|
|
|||||||||||||||||
.приме- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
∙ = |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ре, делать преобразования вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
|
|
|
|
≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
т.к. знаки равенства в этих выражениях незаконны из-за |
|||||||||||||||||||||
справедливости |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= ∙ ∙ + |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Из векторной |
алгебры известно |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Заменив в этом отношении |
вектор |
.на оператор |
||||||||||||||||||
Гамильтона , получим для первого слагаемого |
равенства |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= + ∙ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(*) такое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ = ∙ + ∙ ( ∙ ) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Аналогично представляется и второе |
слагаемое (*): |
|
|
|||||||||||||||||
|
Наконец, считая |
все векторы |
вновь |
|
переменными. |
, |
|||||||||||||||
|
Замечание= ( 1:) |
в+дальнейшем∙ + нас будет+ ∙интересовать |
|||||||||||||||||||
запишем следующую зависимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (3.29) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|||
лишь частный случай этой формулы, когда оба вектора |
|||||||||||||||||||||
|
равны вектору |
|
скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, |
из выражения (3.29) |
|
автоматически |
||||||||||||||||||
получаем: |
|
2 |
= |
( ) + ∙ |
. |
|
|
|
|
(3.30) |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Замечание 2: введенные нами величины |
… и |
( )
… являются дифференциальными операторами первого порядка, причем один из этих операторов векторный, а другой – скалярный. Они как бы символизируют первую производную от функции пространственных переменных.
Примечание: рассмотренные рассуждения о лапласиане, дивергенции, градиенте и т.д. (полезно) необходимо помнить при чтении основных уравнений гидродинамики.
52