2294
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f z dz |
|
u iv dx i dy |
|
u iv xt i yt dt |
|
f z t z t dt |
|||||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. |
Вычислить |
I Im z dz , |
где L – полуокруж- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ность |
|
z |
|
1, 0 arg z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Комплексно параметрическое уравнение кривой L имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
вид z cos t i sin t . Используя формулу (3.4), получим: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I sin t sin t i cos t dt |
|
1 cos 2t |
dt i sin t cos t dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
sin 2t |
|
|
i |
|
sin |
|
t |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
n dz , где L – ок- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 2. Вычислить интеграл |
|
z |
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ружность с центром в точке z0 |
радиуса R. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Параметрические уравнения окружности L имеют вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x x0 |
R cos t , |
y y0 |
R sin t , |
0 t 2 . Следовательно, ком- |
плексно параметрические уравнение данной окружности есть z x iy x0 R cos t iy0 iR sin t
x0 iy0 R cos t sin t z0 R eit .
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
z z |
|
n dz |
2 |
R eit n |
iR eit dt i Rn 1 |
2 eit n 1 dt . |
|
0 |
|
|
|
|
|
L |
|
|
0 |
|
|
0 |
а) Если n 1, то
31
|
|
z z |
|
n dz i Rn 1 |
eit n 1 |
|
|
2 |
|
Rn 1 |
|
|
e2 i n 1 e0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
i n 1 |
|
n 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Rn 1 |
|
cos 2 n 1 i sin 2 n 1 1 |
|
Rn 1 |
1 0 1 0. |
|||||||||||||||||||
n 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|||||
б) Если n 1 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iR0 e0dt i dt 2 i . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z z |
0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dz |
|
2 i , |
|
z z |
|
n |
dz 0 , n – целое, n 1. |
||||||||||||||
|
z z |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
L |
0 |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3.3. Теорема Коши для простого и сложного контура |
||||||||||||||||||||||||
|
Простым контуром называется замкнутая кривая, не |
||||||||||||||||||||||||
имеющая точек самопересечения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Теорема Коши |
для |
простого |
контура. Если |
функция |
f z аналитична в замкнутой области D, ограниченной про-
стым контуром С (рис. 3.2), то |
|
f z dz 0 . |
(3.5) |
C |
|
Доказательство. Предположим, что производная |
f z |
непрерывна на контуре С и ограниченной им односвязной области. Напомним, что для того чтобы криволинейный интеграл
P x, y dx Q x, y dy не зависел от контура интегрирования
C
(т.е. чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, был равен нулю), необходимо и достаточно, чтобы вы-
полнялось равенство P Q .
y x
32
Y
С
D
O X
Рис. 3.2.
Согласно формуле (3.2) имеем:
f z dz u dx v dy i v dx u dy .
C |
C |
|
|
|
|
C |
|
|
Так как функция f z |
аналитическая, то для нее выполняются |
|||||||
условия Коши–Римана |
u |
|
v |
, |
v |
|
u |
, которые как раз и |
|
y |
|
x |
|
y |
|
x |
|
являются условиями равенства нулю криволинейных интегра-
лов u dx v dy |
и v dx u dy , взятых по замкнутому контуру |
L |
L |
С. Таким образом, каждый из двух интегралов в правой части формулы (3.2) равен нулю, и теорема Коши тем самым доказана.
Пусть D – многосвязная область, ограниченная внешним контуром С0 и внутренними контурами C1,C2 ,...,Cn (рис. 3.3).
Граница многосвязной области D называется сложным контуром и обозначается символом Г.
33
Y |
|
|
D |
С1 |
С0 |
|
||
|
Сn |
|
|
С2 |
|
O |
|
X |
|
Рис. 3.3. |
|
Положительным обходом контура Г называется такое движение по границе области, при котором точки области остаются слева. Для внешнего контура положительное направление нужно выбирать против часовой стрелки, для внутренних контуров – по часовой стрелке.
Интегралом от функции f z по сложному контуру Г
называется сумма интегралов от этой функции по всем граничным контурам, причем интегрирование по всем контурам проводится в одном и том же направлении:
|
|
|
n |
|
|
f z dz f z dz f |
z dz . |
||
|
|
C |
k 1 C |
|
|
|
0 |
k |
|
Теорема Коши |
для сложного контура. Если функция |
|||
f z |
аналитична |
в замкнутой области D, ограниченной |
||
сложным контуром Г, то |
|
|
||
|
f z dz 0 |
|
n |
|
|
или f z dz f z dz 0 (3.6) |
|||
|
|
C |
k 1 C |
|
|
|
0 |
k |
|
Если направление интегрирования по внутренним контурам
34
изменить на противоположное, то равенство (3.6) примет вид:
|
n |
|
f z dz f z dz , |
(3.7) |
|
C |
k 1 C |
|
0 |
k |
|
где интегрирование по всем контурам проводится по часовой стрелке.
Доказательство. Пусть область D ограничена внешним контуром С0 и одним внутренним контуром С1 (рис. 3.4). Разобьем область D на две односвязные области D1 и D2. Постые
контуры, ограничивающие области D1 и D2: L1 AmBMnNA ,
L2 BpANqMB .
Y |
m |
С0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
M |
|
|
N |
|
|
||
B |
|
С1 |
A |
|
|
q |
|
|
|
|
p |
O
X
Рис. 3.4.
По теореме Коши для простого контура имеем:
f z dz f z dz f z dz f z dz
L1 AmB BM MnN
f z dz 0 ;
NA
35
f z dz f z dz f z dz f z dz
L2 BpA AN NqM
f z dz 0 .
MB
Сложив почленно полученные равенства, получим:
f z dz f z dz |
f z dz |
f z dz 0 . |
||
AmB |
BpA |
MnN |
NqM |
|
|
f z dz f z dz 0 . |
|
||
|
C0 |
C1 |
|
|
Теорема доказана. |
|
|
||
Теорема. |
Если |
f z – аналитическая функция в одно- |
||
связной области D, то интеграл от нее не зависти от формы пу- |
||||
ти интегрирования, |
а зависит лишь от начальной точки z1 и |
|||
конечной точки z2 пути интегрирования. |
|
Доказательство. Пусть L1 и L2 – две кривые в области D, соединяющие начальную и конечную точки z1 и z2 . По теоре-
ме Коши: |
f z dz 0 , т.е. |
|
L1 L2 |
|
|
|
f z dz f z dz 0 , |
|
|
L |
L |
|
1 |
2 |
или |
|
|
|
f z dz f z dz 0 , |
|
|
L1 |
L2 |
откуда |
|
|
|
f z dz f z dz . |
|
|
L1 |
L2 |
Теорема доказана. |
|
|
В таких случаях, |
когда интеграл зависит только от на- |
36
чальной и конечной точек пути интегрирования, пользуются
z2
обозначением f z dz f z dz . Если здесь зафиксировать
L |
z1 |
точку z1 , а верхний предел интегрирования z изменять, то функция
F z z f z dz
z1
называется первообразной для функции f z в области D. В этом случае F z f z .
Совокупность всех первообразных функции |
f z |
назы- |
|||
вается неопределенным интегралом от функции |
f z |
и обо- |
|||
значается |
|
|
|
|
|
|
f z dz F z C , |
|
|
||
где C const . |
|
|
|
|
|
Пусть функция F z z |
f z dz есть первообразная для |
||||
|
|
z1 |
|
|
|
f z . Следовательно, z |
f z dz F z C . Положив в этом |
||||
|
z1 |
|
|
|
|
равенстве z z1 , получим |
0 F z0 C . Отсюда C F z0 . |
||||
Положив теперь z z2 , получаем |
|
|
|||
z2 |
|
|
|
|
|
|
f z dz F z2 F z1 . |
|
(3.8) |
||
|
|
z1
Полученная формула называется формулой Ньютона– Лейбница.
Интегралы от элементарных функций комплексного пе-
37
ременного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и интегралы от функций действительного переменного.
Пример 1. i |
|
z3 |
|
i |
|
3z2 dz 3 |
|
i3 i . |
|||
|
|||||
0 |
3 |
|
0 |
||
|
|
|
Пример 2. Вычислить интеграл i z cos z dz .
0
Функции z и cos z аналитичны всюду. Применяя формулу интегрирования по частям, получим
i |
z cos z dz z sin z |
|
i0 i |
sin z dz i sin i cos z |
|
i0 sh1 ch1 1 |
1 e |
. |
||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
e |
|||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3.4. Интегральная формула Коши |
|
|
|||||||||
|
Теорема. Пусть функция |
f z аналитична в замкнутой |
||||||||||
односвязной области D и L – граница области D. Тогда имеет |
||||||||||||
место формула |
|
|
|
f z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f z0 |
1 |
|
dz , |
(3.9) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 i z z0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
где z0 – любая точка внутри области D, а интегрирование по
контуру L производится в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки).
Интеграл, стоящий в правой части равенства (3.9) назы-
вается интегралом Коши, а сама эта формула – интегральной формулой Коши.
Доказательство. Построим окружность l с центром в точке z0 , взяв радиус окружности столь малым, чтобы данная окружность была расположена внутри области D. Получим двусвязную область D1 , ограниченную контурами L и l, в которой
38
функция |
|
f z |
|
аналитична (рис. 3.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отсюда следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
f z |
|
dz |
1 |
|
f z |
dz |
1 |
|
|
|
f z0 f z f z0 |
|
dz |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 i |
|
z z |
0 |
|
2 i |
z z |
0 |
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
z z |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f z0 |
|
dz |
|
|
1 |
|
f z f z0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
z z |
0 |
2 i |
|
|
|
z z |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как |
|
|
dz |
|
|
|
2 i (см. пример из раздела 3.3), то |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z z |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
f z |
|
dz |
1 |
|
f z0 |
2 i |
|
1 |
|
|
f z f z0 |
|
dz |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 i z z0 |
2 i |
2 i |
|
z z0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z f z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dz |
f z0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dz . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 i z z0 |
|
|
2 i |
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
Оценим разность в левой части последнего равенства. Так как аналитическая функция f z непрерывна в точке z0 , то для любого числа 0 найдется число r 0 такое, что при
|
z z0 |
|
r (на окружности |
|
l) |
справедливо |
неравенство |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
f z f z0 |
|
|
. Применяя свойство 6 об оценке модуля ин- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
теграла, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
f z |
dz f z0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
f z f z0 |
dz |
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 i |
z z0 |
|
2 i |
|
z z0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f z f z0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
r 2 r |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
z z |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как число может быть выбрано сколь угодно малым, а левая часть полученного неравенства не зависит от , то она равна нулю:
1 |
|
f z |
dz f z0 0 . |
|
|
|
|
||
|
2 i z z0 |
|||
|
|
L |
||
Отсюда следует формула (3.9). Теорема доказана. |
||||
Интегральная формула Коши позволяет находить значе- |
ния аналитической функции f z в любой точке z0 , лежащей
внутри области D, через ее значения на границе этой области. Эта формула справедлива и для многосвязной области:
каждый из контуров обходится так, чтобы область D оставалась слева.
Следствие. Для всякой дифференцируемой в точке z0 функции f z существуют производные всех порядков, причем n-я производная вычисляется по формуле
f n z0 |
n! |
|
f |
|
z |
|
dz . |
(3.10) |
|
|
|
||||||||
2 i |
z z0 n 1 |
||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
Формула (3.10) может быть получена из формулы Коши
40