2294
.pdf8.ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
8.1.Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом
Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
a0 x n a1x n 1 ... an 1x an x f t , |
(8.1) |
||||
удовлетворяющее начальным условиям |
|
|
|
||
|
|
n 1 |
0 xn 1 . |
|
|
x 0 x0 , x 0 x1 , …, x |
|
|
|||
Будем предполагать, что решение |
x t |
и его производ- |
|||
ные до n 1 -го порядка |
включительно, а |
также |
функция |
f t являются оригиналами. Тогда, применяя преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнения (8.1), получим:
|
|
n |
X p p |
n 1 |
x0 |
p |
n 2 |
x1 |
|
|
|
n 1 |
X p p |
n 2 |
x0 |
|||
a0 p |
|
|
|
|
|
... xn 1 a1 |
p |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n 3 |
|
|
|
|
|
|
... an X p F p |
|
|
|||||
|
|
|
p |
|
|
x1 |
... xn 2 |
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A p X p B p F p , |
|
|
(8.2) |
||||||||
где |
A p a pn a pn 1 |
... a |
– характеристический много- |
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
член уравнения (8.1), B p – многочлен, степень которого не превышает n–1, зависящий от начальных условий x0 , x1,..., xn 1 .
Полученное уравнение называют оператрным (или уравнением в изображениях).
Из уравнения (8.2) находим, что
X p |
B p F p |
. |
(8.3) |
|
|||
|
A p |
|
Полученное равенство называется операторным решением дифференциального уравнения (8.1). Отсюда с помощью обратного преобразования Лапласа находится искомое реше-
91
ние x t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Пример. Решить |
|
|
операционным методом |
дифференци- |
||||||||||||||
альное |
|
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
0 при начальных условиях |
||||||||||
|
x |
x |
6x |
|||||||||||||||||
x |
0 |
15 , |
|
|
0 2 |
|
0 56 . |
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
, x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Решение. Пусть x t =∙ X p . Тогда |
|
|
||||||||||||||||
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x t ∙= pX p x 0 pX p 15 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∙ |
2 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
X |
p 15p 2 , |
|||||
x |
t ∙= p |
p p x 0 x |
p |
|||||||||||||||||
x |
|
t ∙= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
X p 15p |
2 |
2p 56 . |
|
p X p p |
|
|
x 0 p x |
|
0 x |
0 p |
|
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получим операторное уравнение:
p3 X p 15p2 2 p 56 p2 X p 15p 2 6 pX p 90 0 .
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X p |
15 p2 13 p 36 |
|
15 p2 13 p 36 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
p3 p2 6 p |
p p 2 p 3 |
|||||||
Разложим дробь на сумму простейших дробей: |
|||||||||
|
X p |
6 |
|
5 |
|
4 |
. |
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|||||
|
|
p |
|
p 3 |
Отсюда по формулам (6.2), (6.3) и (6.4) получим: x t 6 5e 2t 4e3t .
8.2. Решение дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля
Если в дифференциальном уравнении (8.1) начальные условия нулевые, то в некоторых случаях решение уравнения (8.1) можно находить с помощью интеграла Дюамеля.
Пусть требуется найтии решение уравнения a0 x n a1x n 1 ... an 1x an x f t ,
92
удовлетворяющее начальным условиям
x 0 0, |
|
0 0 , …, x |
n 1 |
0 0 . |
(8.4) |
x |
|
Для этого найдем решение вспомогательного уравнения
n |
n 1 |
|
|
1, |
|
|
a0 x1 |
a1x1 |
... an 1x1 an x1 |
(8.5) |
|||
удовлетворяющее нулевым начальным условиям (8.4). |
|
|||||
Применяя преобразование Лапласа к уравнениям (8.1) и |
||||||
(8.5), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
A p X p F p , |
|
|
|||
|
A p X p |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p |
|
|
Разделим почленно полученное первое уравнение на второе:
|
|
X p |
pF p . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
X p pX1 p F p . |
|
|
|
||||
Отсюда с помощью интеграла Дюамеля находим оригинал: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
t , |
|
|
|
x t x1 t |
f t f t x1 |
|
|
||||
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
t |
d . |
x t x1 f t d f x1 |
||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.6) |
Применение интеграла |
Дюамеля целесообразно в |
тех |
случаях, когда решается дифференциальное уравнение для
различных функций f t или тогда, когда трудно найти F p |
|
– изображение функции |
f t . |
Пример. Найти |
решение задачи Коши x x e t2 , |
x 0 0, |
|
0 0 . |
|
|
x1 |
|
|
||
Решение. Составим вспомогательное уравнение: |
||||
|
|
|
1 , |
x1 0 0 , x 0 0. |
|
|
x1 x1 |
Решим его операционным методом:
93
|
|
|
p2 X1 p X1 p |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
Отсюда X p |
|
|
1 |
|
, т.е. |
x t =∙ |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
p |
|
|
1 |
∙ |
|
|
p |
p2 |
|
|
|||||||
|
p2 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
По формуле (6.16) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∙ |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x1 |
t = |
p2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t sh t . |
|
|||||||
Отсюда по формуле (6.7), получаем: x1 |
|
|||||||||||||||||
В силу (8.6) следует, что x t e t2 |
sh t t |
e 2 |
sh t d . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
8.3. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
Аналогично применяется преобразование Лапласа к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пример. Найти решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений
y 4 y 4z 0z 2 y 6z 0
при начальных условиях y 0 3, |
z 0 15 . |
|
|
Решение. Пусть y t =∙ Y p , |
z t =∙ |
Z p . Применим |
|
∙ |
|
∙ |
|
преобразование Лапласа к каждому уравнению системы:
pY p 3 4Y p 4Z p 0
pZ p 15 2Y p 6Z p 0 ,
p 4 Y p 4Z p 3
2Y p p 6 Z p 15
94
Выразим из первого уравнения Y p :
|
|
|
|
Y p |
|
3 4Z p |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
p 4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим это выражение во второе уравнение: |
||||||||||||||
|
|
2 3 4Z p |
p 6 Z p 15 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
p 4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z p |
|
15 p 54 |
15 p 54 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
p2 10 p 16 |
p 2 p 8 |
||||||||||||
Найдем отсюда Y p : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 4 |
|
15 p 54 |
|
|
|
|
|||
|
3 4Z p |
|
|
|
|
|
||||||||
Y p |
|
p 2 p 8 |
|
3 p 42 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
p 4 |
|
|
p 4 |
|
|
p 2 p 8 |
Разложим эти дроби на суммы простейших дробей:
Y p |
|
3 p 42 |
|
|
8 |
|
|
|
|
11 |
|
|
, |
|||
p 2 p 8 |
|
|
|
|
|
p 8 |
||||||||||
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|||||||||
Z p |
15 p 54 |
|
|
|
4 |
|
|
|
11 |
. |
|
|||||
p 2 p 8 |
|
p |
2 |
|
p 8 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда по формулам (6.3) и (6.4) получим: y t 8e 2t 11e 8t ,
z t 4e 2t 11e 8t .
8.4. Решение интегральных уравнений операционным методом
Интегральным уравнением называется уравнение, со-
держащее искомую функцию под знком интеграла. Например, решение задачи Коши y f x, y , y x0 y0 , как известно, сводится к решению интегрального уравнения:
95
x
y f x, y x dx y0 .
x0
Если искомая функция y входит в уравнениеилинейно, то интегральное уравнение называется линейным. Среди линейных уравнений выделяют два основных типа уравнений.
1. Уравнения Фредгольма.
b
– первого рода: K x,t y t dt f x (искомая функция
a
входит только под знак интеграла);
b
– второго рода: y x f x K x,t y t dt .
a
Здесь a и b – постоянные, K x,t , f x – заданные функции,
|
b |
y t |
– искомая функция. Выражение K x,t y t dt называ- |
|
a |
ется интегральным оператором, действующим на функцию y t , а функция K x,t называется ядром интегрального опе-
ратора. Функция f x называется свободным членом. Если f x 0 , то уравнение называется однородным.
2. Уравнения Вольтеррá.
x
– первого рода: K x,t y t dt f x ;
a
x
– второго рода: y x f x K x,t y t dt .
a
Уравнения вида
96
x |
|
y x f x K x t y t dt |
(8.7) |
a
с ядром K x t , зависящим только от разности аргументов,
представляют собой важный класс уравнений Вльтерра. Они называются уравнениями типа свертки.
Решим уравнение типа свертки операционным методом. |
||
Пусть y x =∙ Y p , |
f x =∙ F p , K x =∙ L p . Применяя к |
|
∙ |
∙ |
∙ |
обеим частям уравнения (8.7) преобразование Лапласа и поль-
зуясь теоремой об умножении изображений (7.7), получим:
Y p F p L p Y p ,
откуда
Y p |
|
F p |
, L p 1. |
|
L p |
||
1 |
|
Для функции Y p с помощью обратного преобразования Лапласа находим оригинал y x .
Пример. Решить интегральное уравнение
x
y x cos x x t y t dt .
0
Решение. Переходя к изображениям и рассмартивая интеграл как свертку функций, получим:
|
Y p |
|
|
p |
|
|
1 |
|
|
Y p , |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
p2 1 |
p2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y p |
|
|
p3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
p |
2 |
1 p |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
p |
2 |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
Находя оригинал по формулам (6.6) и (6.8), получим решение интегрального уравнения:
97
y x 12 cos x ch x .
Аналогично решаются интегральные уравнения Вольтерра первого рода с ядром K x,t , зависящим только от разности x t , т.е. уравнения вида
x |
|
|
K x t y t dt f x . |
(8.8) |
|
a |
|
|
При этом мы предполагаем, что K x, x 0 . |
|
|
Пусть y x =∙ Y p , |
f x =∙ F p , K x =∙ L p . При- |
|
∙ |
∙ |
∙ |
меняя к обеим частям уравнения (8.8) преобразование Лапласа и используя теорему об умножении изображений (7.7), будем
иметь:
L p Y p F p ,
откуда
Y p F p , L p 0 . L p
Оригинал для функции Y p будет решением y x ин-
тегрального уравнения.
Операционный метод решения интегральных уравнений можно применить также к системам интегральных уравнений Вольтерра вида:
|
n |
|
yi x fi x Kik x t yi |
t dt , ( i 1, 2,...n ). |
|
|
k 1 |
|
Применяя к обеим частям системы преобразование Лап- |
||
ласа, получим: |
|
|
|
n |
|
Yi p |
Fi p Lik p Yk |
p , ( i 1, 2,...n ). |
|
k 1 |
|
Решая эту систему уравнений, линейную относительно |
||
Yi p , найдем |
Yi p ( i 1, 2,...n ), оригиналы для которых и |
98
будут решением исходной системы интегральных уравнений.
8.5. Решение задач электротехники операционным методом
Рассмотрим колебательный контур, в котором последовательно включены сопротивление R, индуктивность L и емкость C (рис. 8.1).
|
R |
V |
L |
|
C |
Рис. 8.1
Уравнение, описывающее состояние колебательного контура, имеет вид:
L |
di t |
Ri t |
1 |
t |
i |
d v t . |
(8.9) |
|
|
||||||
|
dt |
C |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя преобразование Лапласа к уравнению (8.9) и |
|||||||
предполагая, что i 0 0 , получим: |
|
|
|||||
LpI p RI p |
I p |
V p . |
|
||||
Cp |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Отсюда находим, что
99
I p |
V p |
|
V p |
, |
(8.10) |
||
1 |
Z p |
||||||
|
|
|
|
||||
|
R Lp |
|
|
|
|
|
|
|
Cp |
|
|
|
|
где функция Z p R Lp Cp1 называется операторным со-
противлением цепи. Формула (8.10) является оператоной формой закона Ома. Из формулы (8.10) с помощью обратного пре-
образования Лапласа можно найти силу тока i t .
Например, пусть v t E – в цепь включается постоян-
ное напряжение. Тогда V p |
|
E |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I p |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
Lp2 Rp |
1 |
|
|
|
L |
|
p2 |
|
R |
|
p |
1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
||
Возможны следующие случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
Rt |
|
|
|
||
|
1 |
|
R |
|
|
|
то i t |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. Если |
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
2 L sin t . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
CL |
L |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
, то i t |
E |
t e |
Rt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. Если 0 |
2 L |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то i t |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
Rt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. Если 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
2 L sh t |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В первом случае в цепи наблюдаются затухающие гармонические колебания, во втором и третьем случае – непериодический затухающий процесс.
Мы рассмотрели случай, когда i 0 0 , q 0 0. Рас-
смотрим теперь случай, когда в начальный момент времени t 0 в контуре есть ток i0 и на обкладках конденсатора есть
начальный заряд q0 .Тогда состояние контура описывается дифференциальным уравнением
100