- •А.В. Аттетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Задания для самопроверки
- •ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
- •Буквы латинского алфавита
- •Буквы греческого алфавита
- •1. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Некоторые простые примеры
- •1.3. Задачи оптимального проектирования
- •1.4. Задачи оптимального планирования
- •1.5. Классы задач оптимизации
- •Вопросы и задачи
- •2. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
- •2.1. Предварительные замечания
- •2.3. Оптимальный пассивный поиск
- •2.4. Методы последовательного поиска
- •2.5. Сравнение методов последовательного поиска
- •2.6. Методы полиномиальной аппроксимации
- •2.7. Методы с использованием производных
- •Вопросы и задачи
- •3. МИНИМИЗАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
- •3.2. Выпуклые функции
- •3.4. Условия минимума выпуклых функций
- •3.5. Сильно выпуклые функции
- •ф{t) = (grad/(а; + th), h)
- •3.6. Примеры минимизации квадратичных функций
- •3.7. Минимизация позиномов
- •Qj = '%2aijci = Q> J = !.*»•
- •Вопросы и задачи
- •4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
- •4.1. Релаксационная последовательность
- •4.2. Методы спуска
- •4.4. Минимизация квадратичной функции
- •4.5. Сопряженные направления спуска
- •5. АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
- •|iufc|
- •5.3. Метод Ньютона
- •5.4. Модификации метода Ньютона
- •5.5. Квазиньютоновские методы
- •Вопросы и задачи
- •6. АЛГОРИТМЫ ПРЯМОГО ПОИСКА
- •6.1. Особенности прямого поиска минимума
- •6.2. Использование регулярного симплекса
- •6.4. Циклический покоординатный спуск
- •6.5. Метод Хука — Дживса
- •Щ + bjej,
- •6.6. Методы Розенброка и Пауэлла
- •Вопросы и задачи
- •7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •7.2. Минимизация при ограничениях типа равенства
- •7.4. Седловая точка функции Лагранжа
- •7.5. Двойственная функция
- •7.6. Геометрическое программирование
- •Вопросы и задачи
- •8. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •8.1. Метод условного градиента
- •8.2. Использование приведенного градиента
- •8.5. Метод проекции антиградиента
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Математика в техническом университете Выпуск XIV
- •Аттетков Александр Владимирович Галкин Сергей Владимирович Зарубин Владимир Степанович
- •МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
имеющей четыре точки минимума. Для испытания алгоритмов используют также унимодальную функцию Пауэлла
f(x ) = (xi+10x2)2 + 5(хз-Х 4)2 + (х2- 2х3)4+ 10(х1 - х 4)4, (5.34)
достигающую минимума в точке х* —(0, 0, 0, 0).
Вопросы и задачи
5.1.Покажите, что функция Розенброка (5.32) и функция Пауэлла (5.34) являются унимодальными.
5.2.Решите задачу
—х2 —х2 + Х\Х2 — xi + 2x2 -> min,
выбрав начальную точку (0, 0). Используйте алгоритмы мето да сопряженных направлений и метода Давидона — Флетче ра — Пауэлла. Покажите, что реализуемые алгоритмы приво дят к одной и той же траектории поиска точки минимума, если в алгоритме ДФП-метода направление спуска из начальной точки совпадает с направлением антиградиента. Графически проиллюстрируйте полученные результаты.
5.3. Решите задачу
/(х 1,хг) = Юх2 - 4X IX2 + 7х2 - 4\/5(5xi + хг) - 16 ->• min,
выбрав в качестве начальной точку ®° = (0, —\/5).
Найдите уравнение линии уровня целевой функции, прохо дящей через точку х°. Ортогональным преобразованием при ведите найденное уравнение к каноническому виду и постройте линию уровня в исходной системе координат.
Проведите поиск минимума целевой функции из заданной начальной точки с точностью е = 0,01, применяя алгоритмы ме тода градиентного спуска, метода сопряженных направлений, метода Ньютона и метода Давидона — Флетчера — Пауэлла.
Сравните полученные результаты по количеству итераций, не обходимых для достижения заданной точности, дайте графиче скую иллюстрацию процесса поиска точки минимума. Перечи слите методы, гарантированно приводящие к точке минимума целевой функции за конечное число шагов при удачно выбран ной начальной точке. Является ли таковой точка (0, —л/5) ?
5.4. Решите задачу
х\ + 2x1 + ех*+х* m i n?
выбрав в качестве начальной точку (1 , 0) и параметр точности поиска € = 1(Г3. Проведите сравнительный анализ различных методов первого и второго порядков, дайте графическую ил люстрацию полученных результатов.
5.5. Решите задачу
10(т2 - Х2 )2 + (х\ - I)2 -> min,
выбрав в качестве начальной точку (—1 , 1 ) и параметр точ ности поиска е = 10“ 3. Для решения задачи используйте метод Ньютона и его модификации, метод сопряженных направлений, один из квазиньютоновских методов. В алгоритмах, включа ющих одномерную минимизацию для выбора шага исчерпы вающего спуска, используйте различные методы одномерной минимизации: дихотомии, золотого сечения, квадратичной и кубической интерполяции. Установите, какой из использован ных алгоритмов самый эффективный по количеству итераций. Дайте графическую иллюстрацию полученных результатов.