- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
Оглавление |
|
Предисловие............................................................................................... |
3 |
Введение.................................................................................................... |
7 |
Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах |
|
строительных объектов............................................................................ |
17 |
1.1. Матрицы и векторы. Определения................................................. |
17 |
1.2. Матрицы специального вида................................................... |
19 |
1.3. Действия над матрицами............................................................... |
22 |
1.4. Нормы матрицы и вектора............................................................. |
24 |
1.5. Матрицы в задачах строительной механики.................................. |
25 |
1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил.......................................... |
26 |
1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм..... |
30 |
1.5.3. Матричная форма метода сил.................................................. |
32 |
1.5.4. Матричная форма метода перемещений................................. |
33 |
1.5.5. Связь между матрицей податливости и матрицей жесткости.. 34 |
|
1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей......................................... |
36 |
1.7. Функции Excel для операций над матрицами................................ |
40 |
Глава 2. Численные методы решения задач линейной алгебры................ |
41 |
2.1. Системы линейных алгебраических уравнений............................. |
41 |
2.2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических |
|
уравнений............................................................................................. |
44 |
2.2.1. Метод Гаусса........................................................................... |
44 |
2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами............... |
50 |
2.2.3. Метод прогонки...................................................................... |
51 |
2.2.4. Метод (схема) Холецкого........................................................ |
53 |
2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических |
|
уравнений............................................................................................. |
55 |
2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)........................................... |
55 |
2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя........................................................... |
59 |
2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса........................ |
61 |
2.3.4. Оценка погрешности приближенного решения и подсчет |
|
числа итераций.................................................................................. |
65 |
2.4. Некоторые рекомендации по использованию методов................... |
66 |
2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что |
|
получены правильные ответы.............................................................. |
68 |
2.6. Вычисление определителя............................................................. |
73 |
2.7. Вычисление обратной матрицы..................................................... |
77 |
2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов |
|
матриц.................................................................................................. |
79 |
2.8.1. Вводные замечания.............................................................. |
79 |
2.8.2. Методы развертывания вековых определителей...................... |
84 |
|
2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю |
||
собственного значения матрицы........................................................ |
|
87 |
2.9. Примеры решения задач линейной алгебры |
с |
|
использованием электронных таблиц Microsoft Excel........................... |
90 |
|
2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel...... |
90 |
|
2.9.2. Решение СЛАУ с помощью надстройки |
«Поиск решения».... |
92 |
2.9.3. Реализация метода Якоби средствами приложения Excel....... |
94 |
|
2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel..... |
97 |
|
Глава 3. Численные методы решения нелинейных уравнений................ |
99 |
|
3.1. Отделение корней......................................................................... |
|
101 |
3.2. Этап уточнения корня................................................................... |
|
103 |
3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)................................ |
|
104 |
3.2.2. Метод хорд........................................................................... |
|
107 |
3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных).................................... |
|
109 |
3.2.4. Модифицированный метод Ньютона..................................... |
|
111 |
3.3. Системы нелинейных уравнений.................................................. |
|
112 |
3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений |
|
|
средствами приложения Excel............................................................ |
|
113 |
3.4.1. Решение нелинейных уравнений с использованием надстройки |
||
«Подбор параметра»........................................................................ |
|
115 |
Глава 4. Аппроксимация......................................................................... |
|
117 |
4.1. Задача и способы аппроксимации................................................ |
|
117 |
4.2. Интерполирование функций......................................................... |
|
118 |
4.2.1. Постановка задачи интерполирования.................................... |
|
118 |
4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа................................... |
|
119 |
4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита.................................... |
|
122 |
4.2.4. Сплайн-интерполяция............................................................ |
|
123 |
4.3. Среднеквадратичное приближение функций................................ |
|
125 |
4.3.1. Метод наименьших квадратов................................................ |
|
127 |
4.3.2. Линейная эмпирическая формула........................................... |
|
129 |
4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение...................... |
131 |
|
4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод |
|
|
выравнивания.................................................................................. |
|
132 |
4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц |
|
|
Excel................................................................................................... |
|
134 |
4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом |
|
|
наименьших квадратов.................................................................... |
|
134 |
4.4.2. Построение линейной эмпирической формулы с |
|
|
использованием встроенных функций ЛИНЕЙН и ТЕНДЕНЦИЯ .136 |
4.4.3. |
Построение эмпирической формулы с использованием |
|
надстройки «Поиск решения»........................................................ |
138 |
|
Глава 5. Численное интегрирование...................................................... |
141 |
|
5.1. Квадратурные формулы прямоугольников................................... |
144 |
|
5.2. Квадратурная формула трапеций.................................................. |
146 |
|
5.3. Квадратурная формула Симпсона................................................. |
147 |
|
5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами |
|
|
приложения Excel............................................................................... |
149 |
|
Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с |
||
начальными и краевыми условиями....................................................... |
152 |
|
6.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения в расчетах |
|
|
строительных конструкций. |
152 |
|
6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи............................................. |
154 |
|
6.2. Дифференциальные уравнения в частных производных в расчетах |
||
строительных объектов....................................................................... |
158 |
|
6.2.1. |
Классификация уравнений и типы задач.............................. |
158 |
6.2.2. Примеры задач, описываемых, дифференциальными |
|
|
уравнениями в частных производных............................................. |
162 |
|
6.3. Численные методы решения задач Коши...................................... |
166 |
|
6.3.1. Метод Эйлера (геометрический метод решения задачи |
|
|
Коши).............................................................................................. |
|
168 |
6.4. Численные методы решения краевых задач.................................. |
172 |
|
6.4.1 Метод конечных разностей решения краевых задач............... |
173 |
|
6.5. Вариационный подход к решению краевых задач......................... |
189 |
|
6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления...................... |
189 |
|
6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума |
|
|
функционала................................................................................... |
191 |
|
6.5.3. Метод Ритца........................................................................... |
195 |
|
6.6. Решение дифференциальных уравнений с использованием |
|
|
электронных таблиц Microsoft Excel................................................... |
198 |
|
6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера................................. |
198 |
|
6.6.2. Решение задачи Коши методом Рунге - Кутта....................... |
200 |
|
6.6.2. Решение краевой задачи методом конечных разностей......... |
201 |
|
Глава 7. Метод конечных элементов...................................................... |
207 |
|
7.1. Основные положения МКЭ.......................................................... |
208 |
|
7.2. Дискретизация области................................................................ |
213 |
|
7.2.1. Классификация конечных элементов.................................... |
213 |
|
7.2.2. Определение аппроксимирующей функции элемента........... |
217 |
|
7.2.3. Интерполирование векторных величин.................................. |
222 |
|
7.2.4. Разбиение области на конечные элементы............................. |
225 |
|
7.2.5 Нумерация узлов и элементов................................................. |
227 |
7. 3. Основные соотношения МКЭ................................................... |
230 |
7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской |
|
задачи теории упругости................................................................. |
230 |
7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета |
|
строительных объектов.................................................................. |
235 |
7.4. Другие типы конечных элементов................................................ |
241 |
7.4.1. Элементы Эрмита................................................................... |
241 |
7.4.2. Изопараметрические, субпараметрические и |
|
суперпараметрические элементы..................................................... |
243 |
7.4.3. Некоторые рекомендации по выбору конечного элемента.... |
244 |
7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ......................... |
245 |
7.6. Программные комплексы на основе МКЭ для расчета строительных |
|
объектов............................................................................................. |
249 |
7.6.1. Специализированные программные комплексы.................... |
249 |
7.6.2. Универсальные программные комплексы.............................. |
254 |
Глава 8. Численные методы оптимизации............................................. |
259 |
8.1. Общие сведения........................................................................... |
260 |
8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации........................ |
260 |
8.1.2.Необходимые и достаточные условия экстремума функции ..262
8.1.3.Классификация задач математического программирования...266
8.2. Постановка задачи оптимального проектирования...................... |
268 |
8.2.1. Определение входных и выходных параметров..................... |
268 |
8.2.2. Выбор целевой функции........................................................ |
270 |
8.2.3. Назначение ограничений....................................................... |
275 |
8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров.......... |
277 |
8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования ... |
278 |
8.3. Задачи линейного программирования.......................................... |
285 |
8.3.1. Общая постановка задачи ЛП................................................ |
285 |
8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя |
|
неизвестными................................................................................. |
286 |
8.3.3. Геометрический метод решения задач линейного |
|
программирования.......................................................................... |
288 |
8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного |
|
программирования.......................................................................... |
295 |
8.3.5. Применение моделей ЛП в задачах управления |
|
производством................................................................................ |
296 |
8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании.......... |
307 |
8.4. Нелинейные задачи оптимизации................................................. |
312 |
8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции.......................... |
312 |
8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач |
|
оптимизации................................................................................... |
313 |
8.4.3. Численные методы одномерного поиска............................... |
318 |
8.4.4. Безусловная минимизация функций многих переменных..... |
324 |
8.4.5. Методы нелинейного программирования (задачи с |
|
ограничениями).............................................................................. |
331 |
8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц |
|
Excel................................................................................................... |
338 |
8.5.1. Решение задачи планирования производства........................ |
339 |
8.5.2. Решение транспортной задачи............................................... |
341 |
Литература............................................................................................. |
343 |
Оглавление............................................................................................. |
347 |