1153
.pdfРис. 2. |
Рис. 3. |
|
|
Рис. 4. |
||
Рис. 2. Зависимость давления р от степени удлинения |
в окружном направлении Х2: Xi = |
|||||
= 1,05 (1,1')\ |
1,117 (2, 2')\ ф = 0,01 (1,2)\ 0,05 (/',2 '). |
|
||||
Рис. 3. Зависимость осевой растягивающей силы F от степени удлинения в продольном |
||||||
направлении Ль Х.2 = 1,10 (/); |
1,176 |
(2); |
1,188 (3); 1,20 (4). |
|||
Рис. 4. Зависимость крутящего момента М |
от |
относительного |
угла |
закручивания ф. |
||
Л-1= 1,05 (-----------) и |
1,117 ( --------- ). |
Значения |
Х2 те же, |
что на |
рис. 3. |
Для рассматриваемого типа артерии упругий потенциал был выбран
в виде: |
|
W= a\ [exp (а2ец2+азеце22+ а4б222 + ос5ец2е22 + |
|
+ абеце222) ~ 1] + [а?е22 ехр (а8в22) + a9^n + aio]ei22, |
(7) |
где аД i = 1+ 10) — упругие константы материала. Они были |
опреде |
лены с помощью алгоритма [10] так, чтобы наилучшим образом аппрок симировали экспериментально полученные зависимости производных W от деформаций. Средняя квадратичная относительная погрешность аппроксимации не превышала 5%. Были получены средние величины
упругих |
констант (формула |
(7) |
для общей сонной артерии человека |
||
(50—60 |
лет): |
а\ = 7,3 • 10-5 ±0,1 • 10-5 кгс/мм2, а2 = 5,168±0,832; а 3 = |
|||
=8,417± 1,031; |
а 4= 17,255±1,315; |
а 5 = 23,149±0,734; |
а 6 = 69,276+2,869; |
||
а7= 3,3 • 10-5± 0,08 • 10-5 кгс/мм2; |
аз = 39,024 ± 1,257; |
ад= —5,859 • 10_2± |
|||
±0,646-10-2 кгс/мм2; а ш = 7,823 • 10“3± 1,462 • 10~3 кгс/мм2. |
|||||
4. |
При исследовании |
влияния кручения на механическое поведение |
артериального сосуда выражения (5) и определенный потенциал (7) были использованы для получения следующих зависимостей: 1) р = р(Х2) при различных степенях растяжения Xi и относительном угле закручива ния ф; 2) F = F{'k\) при различных Л2 и ф; 3) М = Л1(ф) при различных К\ и Я2. Результаты представлены на рисунках 2—4 и позволяют сделать следующие выводы.
При одном и том же внутреннем давлении сосуд является более де формируемым в окружном направлении при меньших значениях степени
удлинения |
(кривые /, 2 и |
2') и относительном угле закручивания ф |
(кривые /, |
1' и 2, 2'). Величина растягивающей силы практически не за |
висит от величины относительного угла закручивания, а зависит от ве личины деформации в окружном направлении — Х2Величина крутя^- Щего момента при закручивании сосуда на определенный относительный
3. Tickner E. G., Sacks A. H. |
A |
theory for the |
static elastic behavior of blood ves- |
|||
sels. — Biorheology, |
1967, |
vol. 4, |
N |
4, |
p. 151— 168. |
|
4. Vaishnav R. |
N.. |
Young |
J. |
T., |
Janicki J. S., Paiel D. J. Non-linear anisotropic |
|
elastic properties of |
the canine aorta. — Biophys. J., |
1972, vol. 12, N 8, p. 1008— 1027. |
5.Касьянов В. А. Анизотропная нелинейно-упругая модель крупных кровеносных сосудов человека. — Механика полимеров, 1974, № 5, с. 874—884.
6.Corneliussen А. Н., Shield R. Т. Finite deformation of elastic membranes with
application to the |
stability of an inflanted and extended tube. — Arch. Rational Mech. |
Anal., 1967, vol. 7, |
p. 273—303. |
7.Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М., 1965. 455 с.
8.Ранее А. И. Распространение пульсовой волны в артериальных сосудах с уче том предварительных напряжений и мышечной активности. — Механика полимеров,
1978, № 2, с. 301—311.
9. Касьянов В. А., Цедерс Э. Э., Пуриня Б. А. Определение модуля сдвига стенки
кровеносных сосудов человека. — Механика полимеров, 1978, № 5, с. 927—929.
10.Крегерс А. Ф. Алгоритм отыскания минимума функции многих переменных мето дом спуска. — Алгоритмы и программы, 1974, № 2, с. 9.
11.Ранее А. И. Нелинейно механично поведение на эластнчнн ортотропнн мембранп.
Приложение в биомеханиката. — Биомеханика, София, 1979, кн. 9 (в печати).
Институт механики полимеров |
Поступило в редакцию 01.06.79 |
АН Латвийской ССР, Рига |
|
Институт механики и биомеханики |
|
Болгарской АН, София |
|
четыре длины. При «нулевой» длине отрезок артерии не нагружали осевой силой и при увеличении внутреннего давления одновременно изменялись его длина и диаметр. При остальных трех длинах, одна из которых совпадала с физиологической, осевая сила была отлична от нуля, и образец во время эксперимента имел постоянную длину. В этом случае внутренним диаметр артерии вычисляли из внутреннего объема и длины.
Экспериментальные напряжения в стенке артерии рассчитывали по формулам для тонкостенной трубки, подверженной внутреннему давлению и осевому растяжению:
F
S[F = |
2лRh |
( 1) |
|
||
|
|
В согласии с принятыми в литературе обозначениями индекс 1 соответствует осевому направлению, а индекс 2 — окружному. Радиус срединной поверхности цилиндрической оболочки обозначен через R.
В этой работе использованы только данные по нагружению кровеносных сосудов,
т. е. увеличению внутреннего давления при постоянной длине. Исследуемый |
материал — |
83 артерии — был разделен на две возрастные группы — первую (13—40 |
лет) и вто |
рую (41 год — 75 лет). |
|
3. Рассматриваем кровеносный сосуд как упругую тонкостенную ци линдрическую трубку из ортотропного, несжимаемого и однородного ма териала. Известно, что в осесимметричной ортотропной трубке осевое растяжение и внутреннее давление не могут привести к сдвиговым де формациям [1]. Следовательно, функцию энергии деформации (упругий потенциал), отнесенную к единице объема недеформированного мате риала, можно записать в виде [9]:
W = W (E U E2,E3), |
|
(2) |
|||
где Е1, Е2, Ег — компоненты тензора конечных деформаций Грина. |
|||||
Напряжения Кирхгофа Si |
для |
несжимаемого материала |
получаем |
||
в виде: |
„ |
dW |
_ dW |
|
|
я dW |
|
|
|||
—bp; |
S2= —=r-+p\ |
S3=- |
P- |
(3) |
|
dE. |
|
dE2 |
dE3 |
Неизвестную скалярную функцию p можно определить из условия S3 = =0, а производную dW/dE3 можно выразить через dW/dEi и dW/dE2, учитывая условие несжимаемости. В работе [10] показано, однако, что этот подход эквивалентен предположению, что вид (2) не зависит от Е3, т. е. W=W (Е\, Е2) , и, таким образом, неизвестная скалярная функция р уже не входит в определяющие уравнения (3).
В работе [11] сообщается экспериментальный факт, что при физиоло гической длине осевая сила не изменяется при изменении внутрисосудис того давления и что, если длина артерии отличается от физиологической, осевая сила нарастает или падает по мере увеличения внутрисосудис того давления. Следовательно, композиционная структура стенки арте рии организована таким образом, что физиологическая длина является оптимальной по отношению к осевому напряжению. Исходя из этих со ображений функция W была выбрана в следующем виде:
W=AEl4 + B(El- E 0)2E2*+c(<eD(E'i2+EJ - ^ E l- D E 2- l ) |
(4) |
Очевидно, что при отсутствии деформации W(0,0) =0. Согласно (3) напряжения Кирхгофа будут:
CD
S l= AAEl^ 2 B (Еj- Е 0) £ 22+ — {eD^ 2+E^ - 1);
S2= 2В (Ei - Е0)2Е2+ CD ( e ^ l ^ - 1).
(S|
Коэффициент D. Значения коэффициента между обеими возрастными г р уп па м и различаются во всех локализациях. В первой возрастной группе значения коэффициента для подвздошных и бедренной артерий совпа дают, а во второй — для IE и F статистически не различаются.
Коэффициент EQ. Значения коэффициента по возрастным группам различаются во всех локализациях. В первой возрастной группе разли чаются его значения для 1C и F, во второй возрастной группе значения коэффициента для бедренной артерии статистически отличаются от его значения для внешней подвздошной артерии.
5. В настоящей работе рассмотрены результаты двухмерных экспери ментальных исследований четырех видов больших артерий человека. Ма териал стенки сосуда предполагался упругим, ортотропным и однород ным. Экспериментальные напряжения рассчитывались по формулам тон костенной трубки.
В работе предлагается вид функции энергии деформации смешанного полиномиально-экспоненциального типа, который учитывает эксперимен тальный факт, что физиологическая деформация артерии в осевом на правлении является оптимальной по отношению к напряжению в осевом направлении. В работе [7] предлагается упругий потенциал для кожи по линомиально-экспоненциального типа, коэффициенты которого опреде ляются из эксперимента и проверяются в независимом эксперименте. Однако описание независимого эксперимента не всегда получается удов летворительным и поэтому в работе заключают, что вид W выбран пра вильно, но кожу нельзя считать упругим материалом. В нашем случае коэффициенты упругого потенциала определялись из экспериментальных зависимостей для 5[ и проверялись на зависимостях для 5г. Как было уже отмечено, совпадение теоретических и экспериментальных значений S2можно считать хорошим, что свидетельствует об удачном выборе упру гого потенциала (5). Таким образом, мы считаем, что с помощью этого потенциала можно описать механические свойства различных по воз расту и локализации артерий только за счет изменения значений пяти коэффициентов потенциала.
Исходя из этого предположения исследованные артерии были рас пределены на восемь групп (четыре по локализации и две по возрасту), п коэффициенты упругого потенциала для всех групп одновременно были подвергнуты статистическому анализу. Анализ включал исследование распределения коэффициентов по группам, сравнение средних значений н дисперсий с помощью критерия Стьюдента—Фишера и корреляцион ный анализ. Результаты показали, что выборки всех коэффициентов по тенциала в обеих возрастных группах не принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т. е. надо считать, что по возрасту они разные во всех локализациях. Это означает, что с увеличением возраста механи ческие свойства кровеносных сосудов в продольном и окружном направ лениях изменяются с вероятностью 95%.
Разброс значений коэффициентов особенно велик во второй возраст ной группе, для которой значение доверительного интервала в некото рых случаях оказывается шире среднего значения самого коэффициента. Разброс данных при исследованиях механических свойств биологичес ких тканей не оказывается неожиданным. В [13] констатирован большой разброс данных для некоторых трансплантатов, а в [14] приведены боль шие различия в значениях секущего модуля, полученные в одномерном эксперименте на аорте собаки, которые объясняются индивидуальными отличиями. Известно, что с возрастом в кровеносных сосудах наступают патологические изменения, поэтому в экспериментальный материал не включались артерии с явными атеросклеротическими изменениями, а также взятые от лиц, умерших от болезней, поскольку в этом случае со суды, как известно, изменяют свои механические свойства. Возрастные