m0936
.pdfn , что все последующие члены последовательности с номера-
ми n n будут удовлетворять неравенству yn E.
Задачи к разделу 5.2
5.2.1. Построить график числовой последовательности (не менее десяти точек), используя данные таблицы; показать-окрестность заданного предела при 0,1; найти n при про-
извольном значении 0 и 0,1, если предел A известен; проверить правильность вычислений.
Вариант |
Общий член последовательности |
Предел A |
||||||||
1 |
|
|
2n3 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
n3 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 3n2 |
|
|
3 |
|
||||
|
|
4 5n2 |
5 |
|
||||||
3 |
|
3n2 2 |
|
|
3 |
|
|
|||
|
4n2 1 |
4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
2n 3 |
2 |
|
|
||||
|
|
n 5 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2.2. Дать геометрическую интерпретацию того, что последовательность имеет предел, равный бесконечности.
5.2.3. Сформулировать определение того, что lim yn .
n
5.2.4.Сформулировать определение того, что последовательность не имеет конечного предела.
5.2.5.Точкой сгущения последовательности в общем случае называется точка, в любой -окрестности которой имеется бесконечное количество членов последовательности. Составить последовательность с двумя точками сгущения. Что в этом случае можно сказать о пределе последовательности?
5.3.Основные свойства сходящихся последовательностей
Последовательности, имеющие конечные пределы, называ-
ются сходящимися.
Сходящиеся последовательности yn , zn обладают сле-
дующими свойствами:
11
1)предел сходящейся последовательности является единственным (т.е. последовательность не может иметь более одного предела);
2)если C const, то limC C;
n
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
смысл; 10)
limCyn |
C lim yn; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim yn |
zn |
lim yn |
lim zn; |
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
||||||
lim yn |
zn |
lim yn |
lim zn ; |
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
||||||
lim yn |
zn lim yn lim zn; |
|
|
|
|||||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|||||||
|
yn |
|
|
|
lim y |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
|
n |
, если lim z |
n |
0; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n zn |
|
|
lim zn |
|
|
n |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
limm |
|
|
|
m |
|
|
|
|
, если выражение m |
lim yn |
имеет смысл; |
||||||
yn |
lim yn |
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
||||||
limln yn ln (lim yn ), если |
выражение ln (lim yn ) имеет |
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
||||||
limayn |
|
|
|
lim |
y |
n при a 0; |
|
|
|
||||||||
an |
|
|
|
n
|
|
|
lim |
z |
n , если выражение ynzn имеет смысл. |
|||
|
11) lim ynzn (lim yn)n |
|
||||||
|
n |
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
Задачи к разделу 5.3 |
|
|
|||
|
5.3.1. Объяснить, почему предел |
последовательности |
||||||
yn |
1 |
1 n |
существует, а пределы lim4 |
|
, limln yn – нет. |
|||
yn |
||||||||
n |
||||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
5.3.2. Пусть yn – сходящаяся последовательность. Верны ли следующие равенства:
а) |
lim yn2 (lim yn)2 ; б) |
lim ynk (lim yn)k , k Z ; |
||
|
n |
n |
n |
n |
в) |
lim tg yn |
tg (lim yn)? |
|
|
|
n |
n |
|
|
5.3.3. а) Доказать, что если последовательность yn сходит-
ся, а последовательность zn – нет, то последовательностиyn zn , yn zn не сходятся.
12
б) Доказать, что если последовательность yn сходится к числу, не равному нулю, а последовательность zn – нет, то по-
y
следовательности yn zn и n не сходятся.
zn
5.3.4.Привести пример несходящихся последовательностей
yn , zn таких, что:
а) последовательность yn |
zn сходится; |
б) последовательность yn |
zn сходится; |
в) последовательность yn |
zn сходится; |
|
|
|
|
y |
n |
|
|
|
г) последовательность |
|
|
сходится. |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
zn |
|
|
||
5.3.5. Пусть |
lima b 0. |
Можно ли утверждать, что либо |
||||||
|
|
|
n |
n n |
|
|
|
|
lima |
n |
0, либо |
limb |
0? |
|
|
|
|
n |
|
n n |
|
|
|
|
|
5.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства
Последовательность n f n называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если ее предел при n равен
нулю: lim n 0.
n
В задачах наиболее часто встречаются пределы б.м.п. сле-
дующих видов: lim |
1 |
0; |
lim |
1 |
0 при |
p 0; |
limqn 0 при |
|||
|
|
|||||||||
|
q |
|
n n |
n np |
|
|
n |
|||
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Основные свойства б.м.п.:
1)сумма конечного количества б.м.п. является б.м.п.;
2)произведение конечного количества б.м.п. является б.м.п.;
3)произведение ограниченной последовательности на б.м.п. является б.м.п.;
4)произведение любого числа на б.м.п. остается б.м.п. Последовательность n называется бесконечно большой
(б.б.п.), если ее предел равен бесконечности: lim n .
n
13
Если n – б.б.п., то последовательность n 1 – б.м.п.
n
Свойства б.б.п. аналогичны свойствам б.м.п.
Задачи к разделу 5.4
5.4.1. Сформулировать свойства б.б.п., обращая внимание на то, что не все они получаются простой заменой б.м.п. на б.б.п.
5.4.2. Пусть n – б.м.п. Показать, что равенство lim 1
n n
может оказаться неверным.
5.4.3.Пользуясь основными свойствами б.м.п., доказать, что разность двух б.м.п. также является б.м.п.
5.4.4.Составить две б.б.п. n и n такие, что:
а) последовательность |
n |
|
|
– б.м.п.; |
|||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) последовательность |
n |
|
– б.б.п.; |
||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) последовательность |
|
|
n |
|
– постоянна и равна заданному |
||||||||||||
|
|
n |
|
||||||||||||||
числу A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.4.5. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2n |
|||
а) lim |
|
|
; б) lim |
|
; в) lim |
|
; г)lim |
|
. |
||||||||
n n2 |
n 3n |
|
|
|
n 2n |
n n! |
5.5. Вычисление пределов числовых последовательностей. Раскрытие неопределенностей
При вычислении пределов последовательностей сначала в общий член последовательности yn вместо n подставляют знак бесконечности и проводят условные операции с бесконечностями. В математике бесконечность рассматривается как математический объект, описывающий неограниченную переменную величину (б.б.п.).
Чтобы выполнять математические операции с бесконечностями { , }, их добавляют к множеству действительных чисел
14
в качестве несобственных элементов этого множества. Такое расширение числовой системы действительных чисел позволяет установить определенные правила условных операций с конечными величинами, бесконечностями и нулями. При таких операциях под нулями следует понимать б.м.п., под бесконечностью – б.б.п. Поэтому при условных операциях с нулями и бесконечностями используют основные свойства б.м.п. и б.б.п.
В частности, при вычислении пределов последовательностей
принимают следующие равенства |
b const : |
b ; |
||||
b , если b 0, и b , если |
b 0; |
b |
0; |
b |
, |
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
знак выбирается в зависимости от знака b и знака б.м.п. в знаменателе; ; ;
, если b 0, |
, если |
b |
1, |
|||
b |
если b 0; |
b |
|
|
|
|
если 0 b 1. |
||||||
0, |
0, |
Некоторые формальные операции с нулями и бесконечностями приводят к неопределенностям, когда невозможно указать математический результат этих операций. В этих случаях производят тождественные математические преобразования с общим членом последовательности так, чтобы исключить неопределенности. Совокупность математических приемов и способов вычисления пределов последовательностей в случае неопределенностей называют раскрытием неопределенностей.
Для основных видов неопределенностей , 0, , 0 ,
0
0 , 00 , 1 разработаны специальные общие приемы раскрытия неопределенностей. Все другие виды неопределенностей сначала приводятся к основным неопределенностям с помощью тождественных преобразований общего члена последовательности под знаком предела.
Вычисления по раскрытию неопределенностей и нахождению предела прекращают, если получены следующие результаты:
15
A конечное число,
lim yn или ,
n
не существует.
Для раскрытия неопределенностей при необходимости числовую последовательность можно рассматривать как частный случай функции с непрерывным аргументом y f x , x R. При этом принимают, что дискретное множество значений непрерывной функции, определенное при x n, совпадает с соответствующими членами последовательности. Это позволяет распространять на числовые последовательности алгебраические и тригонометрические формулы, доказанные для функций с непрерывным аргументом.
Не существует единого правила вычисления пределов. Ниже рассмотрим правила, позволяющие вычислять пределы для некоторых видов последовательностей.
Правило 1. Рассмотрим предел вида
lim a1n 1 a2n 2 ... akn k , n b1n 1 b2n 2 ... bmn m
где a1,a2, , ak; b1,b2, ,bm; 1, 2, , k; 1, 2, , m– действи-
тельные числа, некоторые из которых могут быть равны нулю. В этом случае среди показателей степеней 1, 2, , k;
1, 2, , m находим наибольший (обозначим его ), выносим за
скобки в числителе и знаменателе n и сокращаем. В оставшихся выражениях выделяют б.м.п., пределы которых равны нулю. После исключения б.м.п. определяется значение предела.
Пример. Найти lim 4n3 2n 1 . n 2n3 3n2 2
Решение. Подставляем в общий член последовательности вместо n знак и, используя свойства б.б.п., полученную неопределенность общего вида приводим к основному виду неопределенности.
16
|
4n3 2n 1 |
|
|
|
4 3 2 1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 1 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
3n |
2 |
2 |
|
|
|
3 |
3 |
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
n 2n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
lim4 2lim |
1 |
lim |
1 |
|
|
|
|
4 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
n2 |
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n n2 |
n n3 |
|
|
2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
2 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
lim2 3lim |
1 |
2lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n n3 |
|
|
n |
|
n n |
|
n n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Для сокращения записи вычислений б.м.п. целесообразно заменять нулями, так как их пределы по определению равны нулю. При определении вида неопределенности можно опускать конечные слагаемые и конечные множители, так как они не изменяют б.б.п.
Правило 2. Если в общем члене последовательности имеются корни различных степеней, то в зависимости от вида общего члена можно использовать либо замену переменной, либо избавление от иррациональности путем умножения на сопряженные математические выражения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n 2 1 |
|
|
|
|||
Пример 1. Найти lim |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
n |
n 1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 2 |
|
|
|
|
|
|
n 2 t |
3 |
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Сделаем замену переменной |
|
, |
|||||
|
n 1 |
|
|
|||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда n t3 2 |
и t при n . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
1 |
|
|
t 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
||||||||||||
n |
t t3 1 |
|
t t2 |
|
|
||||||||||||||||
Пример 2. Найти lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
n |
n 1 |
n |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
lim n n 1 n [ ] [ ]
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
lim |
|
n |
n 1 |
n |
n 1 |
n |
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
n |
|
n 1 |
|
n |
17
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n n 1 n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 1 1 |
|
1 0 1 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи к разделу 5.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.5.1. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
lim |
4n 1 |
; б) |
|
|
lim |
2n2 5n3 6n 1 |
; в) lim |
n3 n4 3n 2 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n3 n2 7 |
|
|
|
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 2 5n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2n3 n2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) |
lim |
|
2n2 5n3 6n 1 |
; д) |
lim |
|
n2 5n6 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n5 n2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n3 8n2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.5.2. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
3n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
lim |
n |
n |
; б) lim |
|
n |
n |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
n n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
5 n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.5.3. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
n 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3n 2 2n 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
в) |
lim |
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3n 2 2n 3
5.6. Использование «замечательных» пределов для раскрытия неопределенностей
Эффективным способом раскрытия неопределенностей является способ приведения общего члена последовательности к виду, позволяющему использовать известные пределы. Некоторые из этих пределов называют «замечательными» и широко используют при решении задач.
Первый «замечательный» предел limn sin 1 1.
n n
18
При n |
1 |
, где n n – б.м.п., получим |
lim |
sin n |
1 |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
n 0 |
|
n |
||
|
|
|
|
|
||||
или lim |
n |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n 0 sin n |
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти lim 1 cos2 n .
n 0 n sin n
Решение:
lim |
1 cos2 |
n |
lim |
2sin2 |
|
n |
2 lim |
sin |
n |
2. |
n sin n |
|
|
|
|
n |
|
||||
n 0 |
|
n 0 n sin n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
||||
Второй «замечательный» предел lim 1 |
|
|
|
e 2,71828. |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|||
Пусть |
1 |
n , тогда n |
0 и получим другую форму второ- |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
го «замечательного» предела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
lim 1 n |
|
|
|
|
e. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При замене n на общий член б.б.п. n получим |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. Найти lim 1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 2n 3 |
|
1 |
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
||||||||
lim 1 |
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
e 1 e. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|||||||||||||||
n |
2n 1 |
n |
2n 1 |
|
|
n |
|
|
|
Пределы показательно-степенных последовательностей вида
lim f n n приводятся ко второму «замечательному» пределу,
n
если lim f n 1, lim n .
n n
19
|
|
3n |
2 |
2n 1 |
n |
|||
Пример. Найти lim |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
3n |
1 |
. |
|||||
n |
|
|
||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3n |
2 |
2n 1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3n |
2 |
2n |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
2 |
|
2n 1 3n |
2 |
1 |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
3n |
1 |
|
1 |
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
3n2 1 |
n |
|
|
|
|
|
3n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 1 n 3n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3n |
|
|
1 |
n |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
e3
n 2
Пример. Найти lim n n 3
3e2 .
2n 1
.
Решение. Используем второй способ вычисления предела:
n 2 2n 1 lim n n 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2n |
||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
lim |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
n 1 |
|
|
|
|||
n |
|
|||||
lim |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
n |
3 |
|
||||
n 1 |
|
|
|
|
||
|
n |
|
||||
|
|
|
|
20