m0936
.pdfОглавление |
|
Предисловие ......................................................................................................................... |
3 |
Введение ................................................................................................................................ |
5 |
Тема 5: Числовые последовательности и их пределы ............................................ |
6 |
5.1. Исходные положения............................................................................................. |
6 |
Задачи к разделу 5.1 ...................................................................................................... |
8 |
5.2. Предел числовой последовательности. Геометрическое представление |
|
предела последовательности ................................................................................. |
9 |
Задачи к разделу 5.2 .................................................................................................... |
11 |
5.3. Основные свойства сходящихся последовательностей.................................. |
11 |
Задачи к разделу 5.3 .................................................................................................... |
12 |
5.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности |
|
и их свойства.......................................................................................................... |
13 |
Задачи к разделу 5.4 .................................................................................................... |
14 |
5.5. Вычисление пределов числовых последовательностей. Раскрытие |
|
неопределенностей ............................................................................................... |
14 |
Задачи к разделу 5.5 .................................................................................................... |
18 |
5.6. Использование «замечательных» пределов для раскрытия |
|
неопределенностей ............................................................................................... |
18 |
Задачи к разделу 5.6 .................................................................................................... |
21 |
Ответы к задачам темы «Числовые последовательности и их пределы»........... |
22 |
Требования к практическому усвоению темы «Числовые последовательности |
|
и их пределы» ........................................................................................................ |
25 |
Тема 6: Пределы функций одной действительной переменной ......................... |
26 |
6.1. Исходные положения........................................................................................... |
26 |
Задачи к разделу 6.1 .................................................................................................... |
29 |
6.2. Элементарные и неэлементарные функции. Способы составления |
|
функций .................................................................................................................. |
30 |
Задачи к разделу 6.2 .................................................................................................... |
33 |
6.3. Пределы функций в точке и на бесконечности................................................ |
34 |
Задачи к разделу 6.3 ................................................................................................... |
36 |
6.4. Основные свойства пределов функций в точке и на бесконечности ........... |
37 |
6.5. Бесконечно малые функции и их свойства....................................................... |
38 |
6.6. Бесконечно большие функции и их свойства .................................................. |
39 |
6.7. Сравнение функций. Эквивалентная замена функций ................................... |
39 |
Задачи к разделу 6.7 .................................................................................................... |
41 |
6.8. Вычисление пределов функций одной действительной переменной. |
|
Раскрытие неопределенностей............................................................................ |
42 |
Задачи к разделу 6.8 .................................................................................................... |
49 |
Ответы к задачам темы «Пределы функций одной действительной |
|
переменной»........................................................................................................... |
51 |
Требования к практическому усвоению темы «Пределы функций одной |
|
действительной переменной» ............................................................................. |
54 |
Тема 7: Непрерывные и разрывные функции одной действительной |
|
переменной .................................................................................................................. |
56 |
7.1. Непрерывные функции в точке, на промежутке и в области ........................ |
56 |
Задачи к разделу 7.1 .................................................................................................... |
57 |
7.2. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функций ......... |
57 |
Задачи к разделу 7.2 .................................................................................................... |
60 |
7.3. Точечные разрывы функции ............................................................................... |
60 |
Задачи к разделу 7.3 .................................................................................................... |
62 |
7.4. Способы вычисления односторонних пределов ............................................. |
62 |
Задачи к разделу 7.4 .................................................................................................... |
66 |
7.5. Исследование непрерывности сложной функции ........................................... |
67 |
Задачи к разделу 7.5 .................................................................................................... |
69 |
Ответы к задачам темы «Непрерывные и разрывные функции одной |
|
действительной переменной».............................................................................. |
70 |
Требования к практическому усвоению темы «Непрерывные и разрывные |
|
функции одной действительной переменной» ................................................. |
73 |
Тема 8: Производная и дифференциал функции одной действительной |
|
переменной. Алгоритмы дифференцирования................................................. |
75 |
8.1. Исходные положения ........................................................................................... |
75 |
Задачи к разделу 8.1 .................................................................................................... |
77 |
8.2. Основной алгоритм нахождения производных элементарных функций .... |
78 |
Задачи к разделу 8.2 .................................................................................................... |
79 |
8.3. Табличные производные. Правила дифференцирования............................... |
79 |
Задачи к разделу 8.3 .................................................................................................... |
81 |
8.4. Способы вычисления производных сложных функций................................. |
82 |
Задачи к разделу 8.4 .................................................................................................... |
85 |
8.5. Логарифмическое дифференцирование............................................................ |
86 |
Задачи к разделу 8.5 .................................................................................................... |
88 |
8.6. Вычисление производных высших порядков .................................................. |
88 |
Задачи к разделу 8.6 .................................................................................................... |
89 |
8.7. Дифференцирование параметрически заданных функций............................ |
89 |
Задачи к разделу 8.7 .................................................................................................... |
90 |
8.8. Производные неявных функций ........................................................................ |
91 |
Задачи к разделу 8.8 .................................................................................................... |
92 |
8.9. Вычисление пределов функций с помощью производных |
|
(правило Бернулли – Лопиталя) ................................................................................ |
93 |
Задачи к разделу 8.9 .................................................................................................... |
96 |
8.10. Некоторые геометрические приложения производных ............................... |
97 |
8.10.1. Определение уравнений касательной и нормали к кривой................ |
97 |
8.10.2. Определение угла между пересекающимися кривыми .................... |
100 |
Задачи к разделу 8.10 ................................................................................................ |
102 |
8.11. Прикладной смысл производных................................................................... |
103 |
8.12. Дифференциал функции и его приложения ................................................. |
104 |
Задачи к разделу 8.12 ................................................................................................ |
108 |
Ответы к задачам темы «Производная и дифференциал функции одной |
|
действительной переменной. Алгоритмы дифференцирования»................ |
109 |
Требования к практическому усвоению темы «Производная функции одной |
|
действительной переменной. Алгоритмы дифференцирования» ............... |
115 |
Тема 9: Основные свойства функций...................................................................... |
117 |
9.1. Исходные положения ......................................................................................... |
117 |
9.2. Общие свойства функций.................................................................................. |
118 |
9.2.1. Четность и нечетность функции ............................................................ |
118 |
9.2.2. Периодичность функции ......................................................................... |
119 |
9.2.3. Ограниченность функции ....................................................................... |
120 |
Задачи к разделу 9.2 .................................................................................................. |
121 |
9.3. Частные свойства функций ............................................................................... |
122 |
9.3.1. Знакопостоянство функции..................................................................... |
122 |
9.3.2. Монотонность функции........................................................................... |
123 |
9.3.3. Выпуклость функции ............................................................................... |
123 |
Задачи к разделу 9.3 .................................................................................................. |
124 |
9.4. Локальные свойства функций .......................................................................... |
125 |
9.4.1. Нули функции............................................................................................ |
125 |
9.4.2. Экстремумы функции .............................................................................. |
125 |
9.4.3. Перегибы функции ................................................................................... |
129 |
9.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции.................................... |
130 |
9.4.5. Асимптотические свойства функций..................................................... |
131 |
Задачи к разделу 9.4 .................................................................................................. |
135 |
9.5. Приближенные методы нахождения корней уравнений .............................. |
136 |
Задачи к разделу 9.5 .................................................................................................. |
139 |
9.6. Определение экстремальных значений функции в прикладных задачах...... |
140 |
Задачи к разделу 9.6 .................................................................................................. |
143 |
Ответы к задачам темы «Основные свойства функций» ..................................... |
144 |
Требования к практическому усвоению темы «Основные свойства |
|
функций» .............................................................................................................. |
146 |
Тема 10: Полное исследование функции и построение графика ..................... |
148 |
10.1. Исходные положения....................................................................................... |
148 |
10.2. Общая схема полного исследования функции и построение графика |
|
в области существования ................................................................................... |
148 |
10.3. Пример полного исследования гладкой функции и построение |
|
графика.................................................................................................................. |
155 |
10.4. Пример полного исследования функции с особой точкой и построение |
|
графика.................................................................................................................. |
159 |
10.5. Пример полного исследования разрывной функции и построение |
|
графика.................................................................................................................. |
164 |
Задачи к теме 10 ......................................................................................................... |
169 |
Ответы к задачам темы «Полное исследование функции и построение |
|
графика»................................................................................................................ |
171 |
Требования к практическому усвоению темы «Полное исследование |
|
функции и построение графика» ...................................................................... |
178 |
Тема 11: Производные вектор-функции и их приложения ............................... |
180 |
11.1. Исходные положения ....................................................................................... |
180 |
Задачи к разделу 11.1 ................................................................................................ |
183 |
11.2. Производные вектор-функции ....................................................................... |
|
184 |
Задачи к разделу 11.2 ................................................................................................ |
|
186 |
11.3. Геометрический смысл векторной производной. Уравнение касательной |
||
к годографу радиус-вектора............................................................................... |
|
187 |
Задачи к разделу 11.3 ................................................................................................ |
|
189 |
11.4. Физический смысл векторных производных по скалярному аргументу |
|
|
(времени) .............................................................................................................. |
|
190 |
Задачи к разделу 11.4 ................................................................................................ |
|
192 |
11.5. Первая производная векторной функции по дуговой координате (длине |
|
|
дуги кривой)......................................................................................................... |
|
193 |
11.6. Кривизна кривой и ее вычисление ................................................................ |
|
194 |
Задачи к разделу 11.6 ................................................................................................ |
|
198 |
11.7. Естественная система координат и ее применение |
в кинематике |
|
точки...................................................................................................................... |
|
199 |
Задачи к разделу 11.7 ................................................................................................ |
|
203 |
Ответы к задачам темы «Производные вектор-функции |
и их приложения» .. |
203 |
Требования к практическому усвоению темы «Производные |
|
|
вектор-функции и их приложения».................................................................. |
|
208 |
Тема 12: Интегральное исчисление функций одной переменной. |
|
|
Общие методы вычисления неопределенных интегралов.......................... |
210 |
|
12.1. Исходные положения....................................................................................... |
|
210 |
Задачи к разделу 12.1 ................................................................................................ |
|
210 |
12.2. Основные свойства неопределенных интегралов ....................................... |
|
211 |
Задачи к разделу 12.2 ................................................................................................ |
|
212 |
12.3. Табличные интегралы...................................................................................... |
|
212 |
Задачи к разделу 12.3 ................................................................................................ |
|
215 |
12.4. Общие методы интегрирования ..................................................................... |
|
215 |
12.4.1. Метод интегрирования с помощью поправок.................................... |
|
216 |
12.4.2. Метод подведения части подынтегральной функции под знак |
|
|
дифференциала ............................................................................................. |
|
217 |
12.4.3. Метод разложения подынтегральной функции ................................. |
220 |
|
12.4.4. Метод разложения интегралов, содержащих произведения |
|
|
синусов и косинусов..................................................................................... |
|
222 |
12.4.5. Метод интегрирования с прямой заменой переменной |
|
|
(с прямой подстановкой) ............................................................................. |
|
224 |
12.4.6. Метод интегрирования с обратной заменой переменной |
|
|
(с обратной подстановкой) .......................................................................... |
|
225 |
12.4.7. Простейшие интегралы, содержащие квадратичную функцию |
|
|
(квадратный трехчлен) ................................................................................. |
|
226 |
12.4.8. Метод интегрирования по частям........................................................ |
|
228 |
Задачи к разделу 12.4 ................................................................................................ |
|
230 |
12.5. Графическое интегрирование......................................................................... |
|
232 |
Задачи к разделу 12.5 ................................................................................................ |
|
234 |
Ответы к задачам темы «Интегральное исчисление функций одной |
|
|
переменной. Общие методы вычисления неопределенных интегралов»...... |
235 |
Требования к практическому усвоению темы «Интегральное исчисление |
|
функций одной переменной. Общие методы вычисления |
|
неопределенных интегралов»............................................................................ |
239 |
Тема 13: Вычисление неопределенных интегралов от некоторых классов |
|
элементарных функций......................................................................................... |
241 |
13.1. Исходные положения....................................................................................... |
241 |
Задачи к разделу 13.1 ................................................................................................ |
242 |
13.2. Интегрирование дробно-рациональных функций (рациональных |
|
дробей) .................................................................................................................. |
242 |
13.2.1. Общие сведения...................................................................................... |
242 |
13.2.2. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие |
|
дроби............................................................................................................... |
244 |
13.2.3. Методы нахождения коэффициентов простейших дробей.............. |
246 |
13.2.4. Общая методика интегрирования дробно-рациональных |
|
функций.......................................................................................................... |
248 |
Задачи к разделу 13.2 ................................................................................................ |
250 |
13.3. Интегрирование с рационализацией подынтегральных функций............ |
251 |
13.4. Вычисление рациональных интегралов от тригонометрических |
|
функций ................................................................................................................ |
252 |
Задачи к разделу 13.4 ................................................................................................ |
259 |
13.5. Вычисление рациональных интегралов от функций, содержащих |
|
радикалы ............................................................................................................... |
259 |
Задачи к разделу 13.5 ................................................................................................ |
260 |
13.6. Вычисление рациональных интегралов от функций, содержащих |
|
квадратные радикалы из квадратных двучленов............................................ |
260 |
Задачи к разделу 13.6 ................................................................................................ |
263 |
Ответы к задачам темы «Вычисление неопределенных интегралов |
|
от некоторых классов элементарных функций»............................................. |
263 |
Требования к практическому усвоению темы «Вычисление неопределенных |
|
интегралов от некоторых классов элементарных функций»........................ |
267 |
Библиографический список ........................................................................................... |
269 |
Приложение А. Основные элементарные функции, их графики и свойства ....... |
270 |
Приложение Б. Гиперболические функции ............................................................... |
280 |
Учебное издание
Вылегжанин Игорь Альбертович Пожидаев Александр Васильевич Остроменский Петр Иванович Шандаров Леонид Гаврилович
ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
Часть II
Редактор А.О. Квач Компьютерная верстка Ю.В. Борцовой
Дизайн обложки А.С. Петренко
Изд. лиц. ЛР № 021277 от 06.04.98 Подписано в печать 23.04.2014
18,25 печ. л. |
12,7 уч.-изд. л. |
Тираж 200 экз. |
Заказ № 2756 |
Издательство Сибирского государственного университета путей сообщения 630049, Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191
Тел./факс: (383) 328-03-81. Е-mail: bvu@stu.ru