1.6.4.Критерий Михайлова

Рис. 1.55. Кривые Михайлова

При фиксированном значении частоты со Я(усо) - вектор на комплексной плоскости (£/; jV). Если значения со изменять от 0 до °о, то вектор Н (jo) своим концом опишет кривую Михайлова

(рис. 1.55).

Оценка устойчивости системы производится по углу поворота характеристического вектора Н (jo) при изменении частоты со от О до ©о, то есть по приращению ( А ) аргумента вектора:

ср = Aarg H(jo) = arg Я (j<*>) - arg H(jO)

По критерию Михайлова, для устойчивости линейной САР не­ обходимо и достаточно, чтобы вектор H(jo) при изменении час­ тоты от 0 до °о повернулся последовательно на угол ц>= п(п/2)

против часовой стрелки, где п - степень характеристического урав­ нения системы. Кривая Михайлова для устойчивых систем имеет плавную спиралевидную форму, описывающую последовательно п квадрантов. Она начинается (при со = 0) в точке а0 на веществен­ ной оси, а при со —> о° уходит в бесконечность в п-м квадранте.

На рис. 1.55, а показана кривая Михайлова для устойчивой системы 4-го порядка. Признаком неустойчивости системы являет­ ся нарушение числа и последовательности прохождения квадран­ тов, вследствие чего угол поворота вектора Я(усо) оказывается

меньше, чем п(к12) (рис. 1.55, б). Если кривая Михайлова прохо­ дит через начало координат (рис. 1.55, в), то система находится на границе устойчивости.

1.6.5. Критерий Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) Wp(/co) разомкнутой системы. АФЧХ разомкнутой системы может быть получена как аналитически, так и экспериментально, в частности, по снятым опытным путем частотным характеристикам отдельных звеньев системы. Это обстоятельство является важным практическим преимуществом частотного критерия Найквиста.

По критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до оо не охватывала точку с координатами (-1; jO). Следует отметить, что АФЧХ или Wp(j(o) разомкнутой системы имеет различные формы на комплексной плоскости ({/; jV), в зави­ симости от того, какая система - статическая или астатическая. Ес­ ли в одноконтурной структурной схеме нет интегрирующих звень­ ев, то САР является статической. Если есть интегрирующие звенья, то САР будет астатической по отношению к входному (задающе­ му) воздействию. Число интегрирующих звеньев определяет поря­ док астатизма системы. АФЧХ статических систем начинается при со = 0 на положительной вещественной полуоси и имеет вид замк­ нутой кривой, которая при со = 0 заканчивается в начале координат (рис. 1.56, а).

Рис. 1.56. Кривые Найквиста:

а - 1 ^ устойчивая статическая система; 2 - статическая система, находя­ щаяся на границе устойчивости; 3 - неустойчивая статическая система; б - 1 " АФЧХ Wp(/(D) устойчивой астатической системы первого порядка; 2 - АФЧХ Wp(/co) неустойчивой астатической системы второго порядка

Это означает, что при частоте среза ЛАЧХ пересекает ось час­ тот и меняет знак (рис. 1.57, б). В свою очередь частоту, при кото­ рой АФЧХ пересекает отрицательную вещественную полуось, обо­ значают обычно сопср и называют частотой перехода. Значение фа­

зочастотной характеристики при со=сопср равно-180°:

фр(“ пор) = arg WP (у'сопср) = -180°

Согласно критерию Найквиста, замкнутая система устойчива, если АФЧХ не охватывает точки с координатами (-1у0 ). Это воз­ можно, если АФЧХ пересекает отрицательную вещественную по­ луось на участке (0 -М). Следовательно, фазовый сдвиг, равный -180°, должен быть при модулях меньших единицы:

Отсюда можно сформулировать условие устойчивости замкну­ той САР для случая одних значений соср и сопср. Замкнутая система

устойчива, если при достижении фазовой характеристики значения -180° ЛАЧХ отрицательна. Это же условие формулируется и в дру­ гом виде. Замкнутая система устойчива, если аэср < сопср. Если

(0ср=шпср’ то система находится на границе устойчивости, если соср> concp, то система неустойчивая. Для случая, когда ЛФЧХ неод­ нократно пересекает линию значения фр(а>) = -180°, число перехо­

дов фазовой характеристики сверху вниз должно равняться числу переходов снизу вверх в диапазоне частот, где ЛАЧХ положительна (рис. 1.58): в этом случае си­ стема также устойчивая. Если АФЧХ устойчивой системы расположена близко от точки (-1;/0), то при изменении па­ раметров системы в процессе производства и эксплуатации она может стать неустойчивой.

Поэтому САР Должна иметь запас устойчивости. Запас ус­ тойчивости замкнутой систе­ мы тем больше, чем дальше

расположена АФЧХ разомкРис. 1.58. Оценка устойчивости по ЛАЧХ

Р е ш е н и е . Передаточная функция разомкнутой системы:

___________ Р(1 + ТоР)

Wp( р) =

(Т0Р + 1)( Тгр + 1)(1 + Тдр)р + кгк0т0р-

:_____________________ РП+т0р)_____________________

ТгТдТ0рЛ+(ТГТД + ТгТ0+ТдТ0 )рг +(ТГ +ТД+ Г0 + КГК0Т0 )р~ + р

где D = КСПКГ

Заменив р на ую и подставив численные значения парамет­ ров, получается:

при Т0= 0,01 с

wfim - 49'8(1+0'0''ш)

(0,0003co4 -0,58со2) + у(со-0,0337со2) при Т0 =0,025 с

49,8(1 + 0,025 у'со)

WpO'cо) = (0,00075to4 -0,895©2) + y(to-0,0393co2) ’ при Т0=0,5 с

Wp(y<o) = _________49,8(1 +0,5 уш)_________

(0,015оо4 —10,9со2) + у((о-0,215(о2) '

Задавая в трех последних выражениях ряд значений to, можно получить три амплитудно-фазовых частотных характеристики разомкнутой системы, построенных на рис. 1.60:

при Го = 0,01 с следящая система, неустойчива, так как АФЧХ охватывает точку с координатами (-1 у'О);

при Го = 0,025 с АФЧХ проходит через эту точку, то есть сис­ тема находится на границе устойчивости;

при Го = 0,5 с следящая система устойчива.

Для определения запаса устойчивости по фазе провести окружность радиусом, равным единице, с центром в начале коор­ динат и соединить отрезком прямой начало координат с точкой пе­ ресечения амплитудно-фазовой частотной характеристики с окружностью единичного радиуса. Угол Дер, образованный отрезком пря-мой с отрицательной вещественной осью, определяет запас устойчи-вости по фазе или избыток фазы. Для устойчивой системы (Т0 = 0,5 с)

имеется положительный избыток фазы Д<р = 30°(ф тап=30°); при

Т0 = 0,01 с - отрицательный избыток фазы Acp = -18°(<p = - ;

при Т0 = 0,025 с - избыток фазы Д(р = 0(ср зап= 0).

Рис. 1.60. Частотные характеристики разомкнутой системы

Запас устойчивости по модулю для устойчивой системы (Т0 = 0,5 с) определяется как выраженное в процентах отношение отрезка вещественной оси, заключенного между точкой (-1у0 ) и точкой пересечения амплитудно-фазовой частотной характеристи­ ки с вещественной осью к отрезку, равному единице:

4 ^ 1 0 0 % = 52%, или Ь^п = 201gА,ап = 20lg0,52>6дБ .

Если САР не удовлетворяет требование устойчивости по любо­ му выбранному критерию или имеет недостаточные запасы устой­ чивости, то существует несколько способов (практических приемов) для повышения устойчивости, основным из которых являются:

-введение местных обратных связей. Этот прием использует­ ся, как правило, для охвата отрицательной жесткой обратной свя­ зью интегрирующего звена, которое дает постоянное запаздывание -90° и определяет в основном неустойчивое состояние системы;

-уменьшение или увеличение коэффициента усиления разо­ мкнутой системы, то есть изменения в нужном направлении моду­ лей векторов АФЧХ в неодинаковое число раз в зависимости от ча­ стоты со путем введения звеньев с определенной шириной полосы пропускания частот. Это приводит к смещению определенных участков АФЧХ вправо или развороту против часовой стрелки, что улучшает показатели устойчивости;

-введение дополнительных звеньев в прямой тракт для созда­ ния определенных фазовых соотношений. Обычно большинство реальных звеньев САР создает фазовое запаздывание. Для компен­