Переходные процессы в электродвигательной нагрузке систем промышлен
..pdfпродольной |
оси; |
G(p) — операторный |
коэффициент |
участия |
|||||
напряжения |
на |
обмотке |
возбуждения |
U, в поперечной |
сос |
||||
тавляющей |
напряжения |
на статорной |
обмотке |
Uq, |
U,(p) = |
||||
= .‘Utlp — операторное напряжение |
на |
обмотке |
возбуждения, |
||||||
соответствующее схеме |
замещения |
СД |
по продольной |
оси |
|||||
(рис. 2.1,a); |
Zq{p) — операторное |
сопротивление СД по |
по |
||||||
перечной оси; Iq(p) =1д/ р — операторный |
ток |
статорной |
об |
мотки по поперечной оси, соответствующий схеме замещения СД по поперечной оси (рис. 2.1,6).
Операторное сопротивление Zd(p) является входным (соб ственным) сопротивлением операторной схемы замещения СД по продольной оси. По правилам вычисления эквивалент ного входного сопротивления схемы (рис. 2.1,о) имеем
Zd (р) = Р*0 +
PXad
+ |
(2.3) |
PXof + Rj ' |
PXald+ Rid |
После выполнения необходимых преобразований получим •Jfr
(х/ xld—xad) р2-\- (xfRij |
\-xu Rf }p +R, Rld |
(2.4) |
||||
Zd {p) = pxd |
|
|
|
|
|
|
(xf xld—x2ad) p24 (x) Rld Yxld Rj) p + R f Rld |
|
|
||||
Разделим числитель |
и знаменатель |
выражения |
(2.4) на |
|||
RfRia• |
|
|
|
|
|
|
°'T'f T[d p2 + ( T f+T[d)’ |
p + 1 |
D ' (Р) |
|
(2.5) |
||
Zd(Р) = pxd ° o T f o T ldo P2+ ( T /о+ Т ido) Д + ' |
= PXd D{p) • |
|
||||
|
|
|||||
Уравнение схемы замещения СД по продольной оси |
(рис. |
|||||
2.1, а) при разомкнутой статорной обмотке |
|
|
||||
D (р) = ОоТюТыоР2+ (?'/о+ 7 ’ыо)Р + 1 —0 |
|
(2.6) |
||||
является характеристическим и имеет два корня |
|
|
||||
|
Рх= — \/Т'м; |
|
|
|
|
(2.7) |
|
p2 = - l / T "d0, |
|
|
|
|
(2.8) |
которые определяют постоянные времени переходного |
(T'd0) |
|||||
и сверхпереходного |
(T"dQ) процессов |
по |
продольной |
оси ро |
тора СД при разомкнутой статорной обмотке. Для этих по стоянных времени справедливы следующие соотношения, вы
текающие из свойств |
корней квадратного |
уравнения: |
|||
_ |
т |
Т |
__ Т / |
Tfr . |
(2.9) |
OQI |
/ 0 ' |
l d O ------1 |
d0* dOy |
Т п + Т 1Л= Т ’л + Г \ |
( 2. 10) |
Для постоянных времени переходного и сверхпереходного процессов по продольной оси ротора СД справедливо нера венство
T"d0<&T'd0, |
(2.11) |
которое позволяет упростить выражения для |
определения |
постоянных времени: |
|
T'dO~ T l0+ T ldO; |
(2.12) |
f do = °llu>Iido. |
(2.13) |
T’/0+T’ld' |
|
Уравнение |
|
D'(p) =a'T'lT'up2+ (T'l+ T 'ld) p + 1= 0 |
(2.14) |
является характеристическим уравнением схемы замещения СД по продольной оси при короткозамкнутой статорной об мотке. Его корни
Pi------ |
1IT's, |
(2.15) |
p2= - l / T " d |
(2.16) |
определяют постоянные времени переходного (T'd) и сверх переходного (T"d) процессов по продольной оси ротора СД при короткозамкнутой статорной обмотке. Для этих постоян ных времени справедлива следующая система уравнений, аналогичная системе (2.9), (2.10):
а'Т',Т'\d= T 'dT"d\ |
(2.17) |
T',+T'ld*=T'd+T"d. (2.18)
Для постоянных времени переходного и сверхпереходного процессов по оси d при короткозамкнутой статорной обмотке в большинстве случаев также справедливо неравенство
Т"л< Т ’й, |
(2.19) |
которое позволяет упростить расчетные выражения для оп ределения постоянных времени:
Г „ « Г ,+ Г ы ; |
(2.20) |
( 2. 21)
т',+т'и
Выражение (2.5) для операторного сопротивления Zd(p) с учетом соотношений (2.9), (2.10) и (2.17), (2.18) можно преобразовать к виду
Zd(p) = pxd |
T’d Tdp*+{T'd + T"d)p + 1 |
(2. 22) |
|
T«0 TdOp2 + [TdO+Tdo) P+ l |
|
Постоянные времени |
переходного и сверхпереходного про |
цессов при разомкнутой и короткозамкнутой статорной об мотке связаны через следующие соотношения, которые могут быть получены с учетом (1.28) и (1.47) путем деления ра венств (2.17) на (2.9) и (2.18) на (2.10) соответственно:
(2.23)
Tdo Tdо
Td+' T d
(2.24)
T d 0 + T d0
С учетом неравенств (2.11) и (2.19) из этих соотношений могут быть получены следующие приближенные выражения:
(2.25)
(2.26)
Операторное сопротивление Zq(p) является входным соп ротивлением операторной схемы замещения СД по попереч ной оси (рис. 2.1,6), и, следовательно,
Zq {р) = рх, + |
1 |
1 |
(2.27) |
|
Рха<! • + PXa\q-\rRiq |
||||
|
||||
После выполнения необходимых преобразований получим |
||||
Zq (р) = pXq ■ T'lqP+l |
|
(2.28) |
||
|
T±qo Р+ 1 |
|
||
Постоянные времени демпферной обмотки по поперечной |
||||
оси Тiq0 и T'\q являются |
одновременно |
постоянными времени |
электромагнитных переходных процессов в СД по попереч ной оси ротора соответственно при разомкнутой и короткозамкнутой статорной обмотке.
Операторное уравнение электромагнитных переходных процессов по продольной оси (2.1) можно преобразовать к виду
Uq( p ) - Z d(p)Id(p)=>G(p)Uf ( p ) = E qвын, |
(2.29) |
|
где £ дВын — вынужденная составляющая синхронной |
ЭДС, |
|
обусловленная вынужденным током в обмотке |
возбуждения |
|
If выю вызванным напряжением Uf на обмотке |
возбуждения |
СД.
Операторный коэффициент G{p), как следует из уравне ния (2.29), определяет закон изменения в переходных про
цессах |
вынужденной составляющей |
синхронной ЭДС. В |
со |
||
ответствии со схемой замещения СД по продольной оси |
|
(рис. |
|||
2.1, а) |
его можно выразить через параметры схемы замеще |
||||
ния в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
р Xgd |
XaU |
\ |
|
|
|
Ryt |
I |
|
|
|
|
Rf |
(2.30) |
|||
|
G(P) = |
|
|
||
|
D(P) |
|
|
|
|
Операторные параметры схем замещения СД по продоль ной оси Zd(p) и G(p) и по поперечной оси Zq(p) являются важнейшими характеристиками, определяющими электромаг нитные переходные процессы в СД.
2.2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Операторные схемы замещения СД являются электричес кими цепями и отличаются от исходных схем замещения СД в синхронном установившемся режиме (рис. 1.4) только мно жителем р при индуктивных сопротивлениях схемы и множи телем 1/р при токах и ЭДС схемы. Применительно к опе раторным схемам СД могут быть выполнены те же преобра зования, что и с исходными схемами замещения при приве дении их к эквивалентным схемам.
В качестве примера рассмотрим преобразование оператор |
||
ной схемы замещения СД по продольной оси |
(рис. 2.1,а) к |
|
эквивалентной синхронной схеме. Представляя обмотку воз |
||
буждения и демпферную обмотку по продольной оси соот |
||
ветственно |
источниками токов If ( p ) = I f/p и |
I u ( p ) = I ]d/p и |
преобразуя |
источники тока в источники ЭДС, |
получаем, что |
ЭДС эквивалентной схемы |
|
Eq= p x ad(If (p)+ I]d(p)) =Xa<i( //+ /ы), |
(2.31) |
т. e. синхронная ЭДС операторной схемы замещения СД оп ределяется по тому же выражению (1.21), что и ЭДС в ис ходной схеме замещения.
Уравнение, полученное из эквивалентной синхронной опе раторной схемы замещения СД по продольной оси,
Eq=\Uq—pxJd(p) = Ug— XdId |
(2.32) |
также совпадает с уравнением (1.65), соответствующим ис ходной схеме.
Аналогичным образом могут быть выполнены преобразо вания операторных схем замещения к эквивалентным сверх переходной и переходной схемам, причем эквивалентные опе раторные схемы замещения (синхронная, переходная и сверх переходная) совпадают с эквивалентными схемами (см. рис. 1.5, 1.6), соответствующими синхронному установившемуся режиму. Далее можно сделать вывод, что эквивалентные схе мы замещения СД и полученные с их помощью соотношения, например (1.65) —(1.69), (1.76) —(1.83), и векторные диаг раммы (рис. 1.8, 1.10) в рамках принятых допущений спра ведливы не только в синхронном установившемся режиме, но и в любой момент времени переходных процессов. Различие проявляется лишь в том, что в синхронном установившемся режиме все эквивалентные ЭДС являются постоянными вели чинами, а в переходных процессах— функциями времени. Из менение во времени магнитных потоков в СД и соответствую щих им ЭДС определяется уравнениями электромагнитных переходных процессов.
Операторное уравнение электромагнитных переходных процессов по продольной оси СД после подстановки в урав нение (2.1) выражений (2.5), (2.30) может быть преобразо вано к виду
|
(2.33) |
С учетом соотношений (1.65) —(1.67) |
и (2.9) —(2.10) это |
уравнение примет вид |
|
Тл T"d0E'qр2+ (rio + Tdo)E'qp + E„ |
(1 + TaUp)Uf. (2.34) |
Операторное уравнение электромагнитных переходных процессов по продольной оси (2.34) является уравнением вто
рого порядка и содержит три ЭДС, характеризующие различ ные эквивалентные схемы замещения СД по оси d. С помо щью соотношений (1.78) — (1.80) две из этих ЭДС могут быть исключены. Поскольку начальные условия-при внезапных из менениях режима гораздо проще определить для сверхпере ходной ЭДС E"q, из уравнения (2.34) целесообразно исклю чить переходную Е'п и синхронную Еч ЭДС. После исключе ния с учетом (1.75) имеем
TdO тdo EqP2-f- {тdo-f- Tdo) — Eqp Л--- |
--- Eq = |
|
||
|
х ’и |
|
X . |
|
XA— X j |
Xd— Xq |
^ f 4 l +Toid)Uf. |
(2.35) |
|
{Тdo + Tdo) |
■P + ~ ~ \ U q - ] - |
|||
|
■} |
Rf |
постоянных |
вре |
С помощью соотношений (2.23)— (2.24) от |
мени T'dо переходного и T"dQсверхпереходного процессов при разомкнутой ста'горной обмотке можно перейти к постоян ным времени Т'л и T"d при короткозамкнутой статорной об мотке, после чего операторное уравнение электромагнитных переходных процессов по продольной оси примет вид
[T'dT'dP2 + |
(Td + T d )P +l]E'q = |
|
|
xd-xd| |
|
|
P + Xd J |
|
+ ^ Г |
1 7 (1 + T'"P )u f- |
(2.36) |
Операторное выражение для сверхпереходной ЭДС E"q сле
дует из уравнения |
(2.36): |
|
|
|
|
|
|
||
|
xd—хd |
Xd-X |
Vo + |
Xgd |
Xd |
|
|
||
|
|
—Р + ---- |
Rf |
xd |
('+T,idP)Vf |
||||
|
|
|
|
xd |
|||||
|
|
|
|
D'(P) |
|
|
|
(2.37) |
|
|
|
|
|
|
|
Eq и |
|
||
Операторные выражения |
для |
синхронной |
переходной |
||||||
Е'я ЭДС |
следуют |
из |
соотношений |
(1.78), (1.79) |
и (2.37): |
||||
[ |
, Jd—x'd |
|
, , |
, , xd-Xq |
и* + ^ ( ' + тмР )и/ |
||||
-Td T d P * - { T d + T d ) ~ ^ P |
|||||||||
Еп = |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.38) |
__________xd_____________ xd |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
D' (p) |
|
|
|
|
, .xd~xd , *d-. |
|
~ TdTd— — P2 + Xd~ xA n , ^ x d' (1 +TaldP).Uf |
|
Eq = |
(2.39) |
D' (p) |
|
Операторное уравнение электромагнитных |
переходных |
процессов по поперечной оси СД после подстановки в урав
нение (2.2) |
выражения (2.28) преобразуется к виду |
|
|
|
Тlqo ( U d - \ - I дх"Ч)р - \ - (U ri —|— / дХд) = |
0. |
(2.40) |
Используя |
соотношения (1.68) — (1.69), это |
уравнение мож |
|
но представить в следующей форме: |
|
|
|
|
Tlq0pE"d+Ed= 0. |
|
(2.41) |
Операторное уравнение электромагнитных переходных процессов по поперечной оси (2.41) является уравнением первого порядка и содержит две ЭДС, характеризующие раз личные эквивалентные схемы замещения СД по оси q. С по мощью соотношений (1.81) —(1.82) одну из них можно ис ключить. Поскольку начальные условия при внезапных изменениях режима гораздо проще определить для сверхпе реходной ЭДС E"d, из уравнения (2.41) целесообразно ис ключить синхронную ЭДС Ed. В этом случае получим
/ Tlq0 р + |
Ed = ^ |
Ud, |
(2.42) |
\ |
хя ) |
хя |
|
или |
|
|
|
[Т’и р + |
1 ) ^ = — |
Ud. |
(2.43) |
|
хя |
|
|
Операторные выражения для сверхпереходной Е"а и син хронной Ed ЭДС следуют из уравнения (2.43) и соотноше ния (1.81):
^ d |
ХЯ - Х <, |
U d |
(2.44) |
р" - |
|
T[q p + 1 ’ |
|
|
х* |
|
|
р . . >q Xq |
Ud T^qP |
(2.45) |
|
t-'d |
|
|
|
|
xq |
T l q P + l |
|
Операторные уравнения (2.36), (2.43) и выражения (£.37)— (2.41) и (2.44) —(2.45) характеризуют электромаг нитные переходные процессы в СД.
2.3. АНАЛИЗ УСТАНОВИВШЕГОСЯ АСИНХРОННОГО РЕЖИМА НЕВОЗБУЖДЕННОГО СИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ
В качестве примера воспользуемся операторным методом для анализа установившегося асинхронного режима (s = = const) невозбужденного СД (U/ = 0). Операторные схемы замещения СД, соответствующие этому режиму, приведены на рис. 2.2. В установившемся асинхронном режиме р =
а) |
|
6) |
Рис. 2.2. Схемы замещения СД по продольной |
(а) |
и поперечной (б) осям |
в установившемся асинхронном режиме |
||
= /со0=У (со0 = 1— частота напряжения |
на |
обмотке статора), |
при этом активные сопротивления обмоток ротора изменяют ся обратно пропорционально скольжению s. Таким образом, операторные схемы замещения СД в установившемся асинх ронном режиме преобразуются в схемы с комплексными соп ротивлениями. В частности, операторные сопротивления
Zd(p) и Zq(p), согласно |
выражениям (2.22), |
(2.28), |
преобра |
||
зуются в следующие комплексные сопротивления: |
|
||||
7 .... |
(i-^ r ;r ;;)+ /s(r (;+r;;) |
_ |
(2.46) |
||
—d lX(l / |
, |
/, V . / Г |
// \ |
> |
|
(1 -s2T(10Tdo)+is [Td0+Tdo) |
|
|
|||
v |
. |
l+ /s7^ |
|
|
(2.47) |
- q~ JXq i+isriq; |
|
|
|||
|
|
|
|||
Вектор тока 1(1 в схеме замещения СД |
по продольной оси |
в установившемся асинхронном режиме (рис. 2.2,а) опреде ляется выражением
Id= U J Z d= jU q/Zd. |
(2.48) |
Ввиду наличия активного сопротивления в схеме замещения (Re (Zd)¥=0) направление вектора U -не совпадает с продоль
ной осью d. Аналогично направление вектора тока Iq в схеме
замещения СД по поперечной оси для установившегося асин хронного режима (рис. 2.2,6) не совпадает с осью q, а сам вектор Iqi согласно схеме замещения, определяется выраже
нием
U - V J Z q. |
(2.49) |
Продольная и поперечная составляющие напряжения ста торной обмотки в установившемся асинхронном режиме (0= 5/), согласно соотношениям (1.75), являются периоди ческими функциями скольжения:
Uq=\U cos (st)\ |
(2.50) |
Ud= — U sin (st). |
(2.51) |
Как следует из выражений (2.48), (2.49), токи в схемах за мещения по продольной Id и поперечной Iq осям в установив шемся асинхронном режиме также являются периодическими функциями скольжения.
Полную комплексную мощность S, потребляемую СД из
сети в установившемся асинхронном режиме, с учетом вы ражений (2.48), (2.49) можно преобразовать к виду
S = UI=(Ud + iU„)(Id+ I ll) =
= |
|
+ jUd Uq ( ------------ |
Y |
(2.52) |
Z q |
Zd |
\ Zq |
Zd ) |
|
Отсюда следует, что активная Р и реактивная Q мощности, потребляемые СД в установившемся асинхронном режиме,
Р |
U_2 Re - |
1 |
, J _ |
Ref 1 |
1 ' cos 20 -j- |
|
|
2 |
. |
Zd |
Zq |
1 % |
Zd . |
|
|
Действительную и мнимую составляющие комплексных проводимостей схем замещения СД в асинхронном режиме
(рис. 2.2) с использованием соотношений (2.46), (2.47) мож но выразить через параметры схем замещения в следующем виде:
Re |
|
* (T'd+T’) |
Xj—^ |
+ b2T'dT'dXd |
(2.55) |
|
|
|
|
А |
Ч Xd |
Xc'dxd J’ |
|
Im |
l |
|
- + T |
|
"\2xd-'Xd |
|
Zd |
|
^{T'd-vT'd) |
|
|||
|
|
|
|
*dfid |
|
|
|
—S* |
|
|
|
(2.56) |
|
|
|
Re |
Xq |
X q |
s^ \ q |
(2.57) |
|
|
4 xq \+{sT\qf |
||||
|
|
|
|
|||
|
Im |
I |
|
x„-x-- |
(sT,qy |
(2.58) |
|
% |
4 |
x„xq |
l + « ) 2 |
||
где |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Д= |
\ + 5*{Г2л+ Т "\) + {s*T'aT"dy. |
(2.59) |
|||
Электромагнитный момент, развиваемый СД в установив |
||||||
шемся асинхронном режиме, |
|
|
|
|||
|
|
|
Мэ= Р /а 0= Р |
|
(2.60) |
Как следует из выражений (2.53), (2.60), электромагнитный момент невозбужденного СД в установившемся асинхронном режиме имеет постоянную и переменную составляющие. По стоянная составляющая электромагнитного момента отража ет асинхронные характеристики СД, поэтому может быть названа асинхронным моментом Ма. Асинхронный момент обусловлен суммарной реакцией демпферной обмотки и об мотки возбуждения на ток статорной обмотки. Под воздей ствием этого момента и осуществляется разгон СД до под синхронной скорости. Асинхронный момент
Ма — Ма(1+ Ма/! = - ^ - Я е Г |
+ - 77-I = |
|||
|
|
|
L Zd |
Zq J |
LP |
s {Tti+T'd) [xd-xd |
. |
|
|
= --------- |
7------- |
---------T + S I d T d - r - ; |
||
2 |
Д |
L x“xd |
|
xdxd |