Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод
.pdfных уравнений |
для каждой |
составляющей |
векторного |
||
потенциала: |
|
|
|
|
|
д2 Aj + д2 Aj [ д At |
7 |
i =x,y,z. |
(2.19) |
||
дх2 |
ду2 |
|
|||
|
|
|
|
Решение полученной системы совместно с заданными гра ничными условиями позволяет определить значения состав ляющих векторного потенциала в функции пространственных координат, а затем значения координатных составляющих маг нитной индукции, используя выражение (2.5).
2.1.2. Неоднородная непроводящая среда
Задана плотность стороннего тока ц = f(x,y,z), у = 0. Снова рассмотрим 2 задачи:
1. Сторонний ток отсутствует, J„= 0.
r o t# = 0; |
d iv 5 = 0 . |
Магнитное поле имеет потенциальный характер и может быть записано в виде
Н - grad (рм .
В этом случае
div5 = div(p н)=div(pgrad(pM) . |
(2.20) |
Раскрывая это выражение по правилам векторного анализа, получим
д Г |
зч О |
д |
( |
эч О |
д |
( |
(2.21) |
дх 1 |
ц а |
+ — |
|
Qy J |
+ — |
и- " |
|
дх J |
ду 1 |
dz 1 & |
) |
Решение уравнения с переменными коэффициентами и за данными граничными условиями позволяет рассчитать значения скалярного магнитного потенциала, а затем составляющие на пряженности магнитного поля.
2. Сторонний ток является функцией пространственных ко
ординат: 7СТ= ffx.y.z).
rottf = 7CT; divi? =сПу(цЯ) = §гаёцЯ-1-ц<11уЯ = 0. (2.22)
Отсюда
= |
(2.23) |
Ц
В данном случае заданы источники вихревого и потенциаль ного полей, и поэтому магнитное поле может быть представлено их суперпозицией, т.е.
|
|
Я = Я В+ Я П, |
|
(2.24) |
|
причем |
|
|
|
|
|
div Я в = 0; |
rot Я п = 0. |
(2.25) |
|||
В этом случае вихревую и потенциальную составляющие |
|||||
поля можно представить в виде |
|
|
|
||
Я в = rot Аи ; |
Я п = grad <рм . |
(2.26) |
|||
Подставляя (2.24) в первое уравнение (2.22) и учитывая |
|||||
(2.25), будем иметь для |
вихревой составляющей |
|
|||
rot rot \ |
= grad div \ - Д \ |
= 7СТ. |
(2.27) |
||
Согласно калибровке Кулона div Аи =0. Поэтому |
в оконча |
||||
тельном виде |
|
|
|
|
|
|
|
Д Л , = - 7 ет. |
|
(2.28) |
|
Проектируя уравнение на координатные оси, получим сис |
|||||
тему для составляющих векторного потенциала: |
|
||||
э Ч / , э Ч , - , а Ч ,- = -J. |
i=x,y,z. |
(2.29) |
|||
дх2 |
ду2 |
dz2 |
ст;; |
||
|
|
|
Второе выражение в (2.22) с учетом (2.26) может быть запи сано в виде
div р (# в + Я п) = div (ц rot Ам) +div (ц grad <рм ) = 0. (2.30)
Откуда
|
|
|
div (ц grad фм) = -div (ц rot Ам) |
(2.31) |
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д Г |
Зфм ^ |
д |
Г |
Зфм 1 |
д |
(и |
Э(Р« ) |
= -div(prot Ам). (2.32) |
|
р |
" |
4---- |
|
Эу J |
+ — |
р |
- |
||
дх ( |
дх ) ду Г |
dz |
к |
d z ) |
|
|
Таким образом, решение задачи с известными краевыми ус ловиями сводится к решению системы (2.29), нахождению по полученным значениям Ам правой части (2.32) и решению это
го уравнения. Результат решения задачи определяется выраже нием (2.24).
2.1.3. Однородная проводящая неподвижная среда
Задана плотность стороннего тока р = const, |
у =const, |
.7СТ=f(x,y,z). |
|
Запишем уравнение магнитного поля: |
|
rot —rot Л =J + УСТ, |
(2.33) |
Р |
|
где плотность тока проводимости |
|
7 = y ( - ^ - + grad(p). |
(2.34) |
ut |
|
Подставляя значение плотности тока в уравнение магнитно го поля и преобразовывая получившееся выражение, будем иметь
— |
— |
дА |
(2.35) |
graddivА |
- Д А =-ру -----нру gradcp + p 7 CT. |
dt
При постоянных ру произведение можно внести под знак grad и ввести калибровку di\ А = руф. Тогда уравнение запишем в виде
*т |
дА |
7 |
(2.36) |
АЛ - ру |
ot |
|
Проектируя уравнение на координатные оси, получим сис тему для трех проекций вектора А в декартовой системе коор динат:
д2А- I |
d2Ai |
д2А , . У 4 _ |
i - x,y,z, (2.37) |
||
дх2 |
ду2 |
dz2—иг |
dt = - М с |
||
|
Решив смешанную краевую задачу, определим векторный магнитный потенциал A(x,y,z,t), затем div А , скалярный потен
циал ф и grad ф.
2.2.Анизотропные среды
2.2.1.Анизотропная однородная непроводящая
магнитная среда
Магнитная проницаемость, электропроводность, плотность стороннего тока записываются в виде р , у = 0, J CT= f(x,y,z).
Магнитная среда электрических машин чаще всего является ортотропной средой, которая характеризуется тем, что оси ани зотропии совпадают с осями координат, причем проницаемость по двум координатам имеет одинаковую величину [22]. Если, например, рх = рг= р^, а то тензор магнитной прони
цаемости является диагональным и записывается в виде
|
Г |
0 |
0 |
|
|
Х 2 |
|
|
|
ц = |
0 |
|
0 |
(2.38) |
|
0 |
0 |
и |
X Z |
|
|
|
* |
Уравнение магнитного поля в этом случае имеет вид
rot p. 1rot A =0, |
(2.39) |
где (i 1 - тензор, обратный тензору ц .
1
0 0
*Х 2
|
1 |
(2.40) |
0 |
0 |
^ У
1
0 0
к
Подставляя в (2.38) выражение векторного магнитного по тенциала
А = iAx + jAy + kAz,
выполняя математические операции по правилам векторного анализа и проектируя векторное уравнение на координатные оси, получим систему скалярных уравнений для трех состав ляющих векторного потенциала:
1 |
з 2ах t |
1 |
д2Ах |
д |
1 |
6А |
|
|
|
|
_____ L +± ^ k |
= - J „ ; (2.41) |
|||||||||
Ц» |
д у 2 |
I-Ly |
d z 2 |
дх |
цг, |
ду |
ц„ |
dz |
||
1 д Ц |
1 |
д Ц |
д ( |
\ |
дАх |
|
|
— Усту;(2.42) |
||
и |
дх2 |
u |
d z2 |
ду |
а дх |
a |
dz |
|||
/ |
||||||||||
~ X Z |
|
~ X Z |
|
S V n XZ |
|
~ x z |
|
|||
1 |
d2Az | |
1 |
d2Az |
д ( |
дАх |
1 |
dAy ' |
|||
Vy dx2 |
И* d y2 |
dz |
\i |
dx |
u |
dy |
(2.43) |
|||
J |
||||||||||
|
ЧГу |
|
r-ja |
S |
Для решения системы (2.41) -(2-43) преобразуем выражение в скобках при втором члене уравнения (2.41) следующим обра зом:
|
' 1 д А , |
1 З А , _ 1 К |
|
|
|
Л |
д 4 |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
^ d y |
iiy 3 z ^ |
К » |
З у |
|
|
) |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3AZ |
д А, |
дАх |
|
\ |
з а |
2 |
э а х .. - |
||
—^ —1 |
|||||||||
+— |
----- —+— - |
— |
--------- + d\\A |
||||||
dz |
dx |
дх |
|
|
dz |
|
dx |
Пользуясь произвольностью выбора d iv ^ , используем сле
дующую калибровку:
г и |
\ |
дА, |
divvl = - ^ - 1 |
|
(2.45) |
[1 |
|
dz |
Подставим это выражение в (2.44) и преобразуем полученное:
1 dAv |
1 дА, |
1 |
ЗА |
|
|
|
|
__ Х_ |
(2.46) |
дУ |
V; dz |
|
дх |
|
|
|
|||
|
|
|
тогда уравнение (2.41) запишем в виде
1 |
3 2/L |
1 д2Ах |
1 д2А |
2.47) |
|
V-„ |
дх2 |
д у 2 |
\iy dz2 ■= - Л |
||
|
Точно так же преобразуем выражение в скобках при втором члене уравнения (2.43):
|
1 дАх |
дА„ |
1 |
ал, |
^xz -1 |
дА. |
•+. |
|
|
------------- _ |
+ ----------------- |
_ — |
+ |
dx |
|
||
|
p v dx |
ц dy |
ц |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
к'1У |
|
|
|
|
ЗА, |
ЗА, |
ЗА, |
|
3AZ |
дА |
л. - |
(2.48) |
|
dz |
dx |
dx |
|
— --------- |
dx |
+ divT |
||
к Ь |
dz |
|
|
|
||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
Подставляя в (2.48) принятую калибровку и преобразовывая полученное при этом выражение, получим
1 дА. |
1 |
дА, |
у _ |
------ - +- |
|
||
Ру дх |
ра ду |
_1____1_ |
? А _ ± д А |
(2.49) |
||
^У ^хгJ |
дх ц |
dz |
||
|
||||
г у |
|
|
Уравнение (2.43) в этом случае имеет вид |
|
||||
1 ^ А +± ^ А |
+1 |
^ А = _ , |
dz |
J ___ 1_ |
дА .(2.50) |
Цу дх U ду |
u |
dz |
U Д |
дх |
|
|
|
|
|
v y |
|
Для решения уравнения (2.42) преобразуем выражение в скобках при втором члене этого уравнения:
1 |
дА |
1 |
дАг = |
1 ЭЛ, |
| дАг | дЛ, |
дЛ/ |
|
а |
дх |
a |
dz |
а |
ах |
dz ду |
ду |
' XZ |
|
“ JTZ |
|
|
XZ \ |
|
|
|
|
|
_1_ |
|
dAv |
|
(2.51) |
|
|
|
------ + div А |
||||
|
|
|
К |
|
ду |
|
|
Подставляя в (2.51) div А согласно принятой калибровке,
получим
1 сИ |
1 dAz |
1 |
1 |
дА2 __ 1 |
дЛу |
|
|
U |
Ц |
dz и |
(2.52) |
Ра дх |
Р* дг |
ду |
|||
УпУ |
nxzy |
|
|
и уравнение (2.42) запишем как
1 а Ч |
1 а Ч |
1 а Ц |
|
|
Ъ |
дУ |
dZ* |
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
дА |
(2.53) |
|
'JcTy |
ду |
dz |
||
|
Таким образом, решение системы (2.47),(2.50),(2.53) произ водится в следующей последовательности:
- с использованием известных значений составляющей плот ности тока J ш и заданных граничных условий решается
уравнение (2.47) и определяются значения составляющей век торного потенциала Лх;
- по найденным значениям составляющей Ах и заданной плотности тока Jт рассчитывается правая часть уравне
ния (2.50), которое решается с учетом заданных граничных ус ловий;
- решается уравнение (2.53) с использованием соответст вующей составляющей плотности стороннего тока и найденных значений составляющей векторного потенциала Аг.
2.2.2. Анизотропная однородная проводящая магнитная среда
Магнитная проницаемость, электропроводность среды, плотность стороннего тока записываются в виде: д , у, 7 ст = f(x,y,z), где магнитная проницаемость и электропровод
ность среды являются тензорами второго рода.
|
0 |
0 |
|
у * |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д = 0 |
Ц у |
. |
j = |
0 |
Y |
|
0 |
0 |
|
У |
|||||
|
|
|
|
|
' |
|
|
0 |
0 |
д |
|
0 |
0 |
у * |
|
|
|
“ Х2 |
|
|
|
|
|
Уравнение магнитного поля имеет вид |
|
|
|
|
|||
|
|
rot д-1 rot А = у ст + J , |
|
|
(2.55) |
||
где J - плотность тока проводимости, |
|
|
|
|
|
||
|
|
дЛ |
|
|
|
|
(2.56) |
|
|
J = У ------+ grad ф |
|
|
Подставляя выражение плотности тока проводимости в уравнение (2.55), выполняя математические операции по прави лам векторного анализа и проектируя векторное уравнение на координатные оси, получим систему скалярных уравнений для трех составляющих векторного потенциала:
1 |
д2Ах | |
1 |
д2 Ax |
|
|
дАх |
|
||
|
д у2 |
V-y |
dz1 |
|
XZ |
dt |
|
||
д { |
1 дАу + _L& k |
|
|
\ |
|
||||
+ У„Ф |
|
||||||||
d x {V-xf дУ |
Vy dz |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
1 |
е 3 4 |
|
д2Ау1 |
|
|
дАу |
|
||
д ( \ |
д Ах , |
1 |
дА2 |
\ |
|
||||
|
=J,сту’ |
||||||||
э Д ц ^ |
дх |
^ |
dz |
+ У,Ф |
|||||
|
J |
|
|||||||
. 1 |
& А г , |
1 |
д2 А, |
|
|
дА± |
|
||
Vy |
дх2 |
^ |
dz2 |
|
“ |
dt |
|
||
д_ |
1 |
дАх |
|
1 |
дА. |
|
|
= л |
|
dz |
ц |
дх |
|
|
д у +У” * |
(2.58)
(2.59)
Для решения системы (2.57) - (2.59) преобразуем второй член левой части уравнения (2.57) подобно тому, как это дела лось выше. В результате преобразования получим
j J 4 |
+_ L M |
дАу |
( |
\ Э Л , dAz |
|
дУ |
Цу dz П <Р |
dy |
h ^ - 1 |
dz |
dz |
|
д_f 1 дАх |
1 дАу |
|
--J . |
|
|
-------- +--------- + у Ф |
(2.60) |
|||
|
dz у \1у дх |
ду |
” |
ста |
Пользуясь произвольностью выбора diу А , применим сле
дующую калибровку: |
|
|
( |
Л |
|
div А = - |
дАя |
(2.61) |
|
d z
Подставляя уравнение калибровки (2.61) в (2.60) и преобра зовывая полученное выражение, имеем
1 дАу | |
1 |
дАг __ |
1 |
.M s. |
(2.62) |
ду |
|
|
|
||
~ у |
~ ~ |
ц« Х2 |
дх |
|
и записываем уравнение (2.57) в виде
1 |
дгАх , |
1 д2Ах , |
1 |
д2Ах |
у |
дАх _ |
|
. |
(2.63) |
PjCZ |
|
|
|
& 2 |
|
^ = -У |
|
||
ЙХ2 |
Йу2 |
М> |
-я |
|
стд: |
|
' |
Точно так же преобразуем выражение в скобках при втором члене уравнения (2.59):
1 дАх . 1 |
д Ау |
|
|
|
( |
\ |
|
|
’дАУ+ |
дАх |
|||
--------±-|----------- |
|
|
|
|||
^ |
дУ |
|
|
ду |
дх |
|
|
д Ах |
дАг |
дАг |
+ Ц |
у ф |
|
+ —2*+—И |
--- ^ |
|
||||
|
дх |
dz |
dz |
^ |
1хг |
|
^ - 1 |
^ JL—^ L+divA + \i |
LV |
дх dz |
) |
у ф |
(2.64) |
"
Подставляя в (2.64) принятую калибровку и преобразовывая полученное при этом выражение, запишем
1 дАх , |
1 дАу |
+у |
ф = |
J ___ 1_ |
дАх |
1 |
дА, |
(2.65) |
------- - + |
--------- |
IX IX |
дх |
р. |
dz |
|||
Ру дх |
Pxz дУ |
|
Я |
|
||||
|
V у |
|
|
|
|
Уравнение (2.59) в этом случае имеет следующий вид: