Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод
.pdfДельта-функция может быть аппроксимирована различными аналитическими функциями, например:
5(х) = — — ——-г при т-^ао. |
(113) |
я 1 + (тес)
Если х * 0, то б(дс) —> 0. Если, наоборот, х =0, то
5(х) -> — = оо.
п
Дельта-функция связана с единичной функцией Хевисайда следующей зависимостью:
|
|
|
|
|
5(х) = dЕ(х) |
(1.14) |
|
|
|
|
|
dbc |
|
и наоборот, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е(х)= |8(jc)dc. |
(1.15) |
Действительно, |
в |
|
|
|||
точке |
разрыва |
произ |
|
|
||
водная |
функции |
об |
|
|
||
ращается в |
бесконеч |
|
|
|||
ность, |
т.е. |
возникает |
|
|
||
импульсная |
функция |
|
|
|||
(рис. 1.4) |
|
|
|
|
|
|
Дельта-функция мо |
*о |
х |
||||
жет не только интегри |
Рис. 1.4. Единичная функция |
|
||||
роваться, но |
и |
диффе |
и дельта-функция Дирака |
|
||
ренцироваться |
беско |
|
|
нечно большое число раз. Производные дельта-функций также пред ставляют комбинацию импульсных функций. Если, например, представить дельта-функцию в виде треугольника, высота кото рого стремится к бесконечности, с основанием, стремящимся к нулю (рис. 1.5), то производная дельта-функции будет изобра жаться в виде комбинации прямоугольников различной поляр ности.
Производная дельта-функции имеет определенный физиче ский смысл. Если, например, дельта-функция описывает плот ность сосредоточенного в точке электрического тока, то ее про изводная описывает плотность диполя - системы двух зарядов, удаленных друг от друга на бесконечно малое расстояние [15].
В электротехнике дельта функция может быть использо вана для описания многих элек трических величин. Известно, что объемная плотность электриче ских зарядов записывается в виде [16]
Рис. 1.5. Дельта-функция |
р = lim— при AV —>0. (1.16) |
Дирака и ее производная |
AV |
При стремлении ДV к нулю плотность р стремится к беско нечности. Поэтому приходится особо оговаривать, что AV име ет конечные размеры, значительно меньшие, чем возможные расстояния между отдельными зарядами. Между тем объемная плотность электрических зарядов может быть математически строго описана следующим выражением:
р = Ад б(х - *0)8(;у - >>0)5(z - z0), |
(1.17) |
где x0,y0,z0 - координаты точки расположения электрического
заряда.
Точно так же можно описать и поверхностную плотность за рядов - плотность электрического заряда, распределенного в слое поверхности, толщина которого стремится к нулю.
о = l i m при Д£ —>0. |
(1.18) |
AS
В терминах обобщенных функций поверхностная плотность записывается как
c = Aq 8(х-х0)5 (у -у 0). |
(1.19) |
Вместе с тем необходимо отметить, что действие над самой дельта-функцией не является корректной математической опе рацией, поскольку ее значение в данной точке равно бесконеч ности, т.е. не определено. Для выполнения математических опе раций с дельта-функциями необходим переход от бесконечно больших величин к конечным. Этот переход осуществляется путем распределения дельта-функции на конечный интервал пространственной координаты:
8(x)w— }6(x)dx. |
(1.20) |
1.2. Квантование функций
При математическом моделировании ЭМ приходится решать сложные системы дифференциальных уравнений. Аналитиче ские решения таких систем возможны лишь в исключительных случаях, а нелинейные уравнения аналитически решить нельзя. Поэтому основными методами решения указанных уравнений в настоящее время являются численные, предполагающие замену аналитических функций числовыми полями, над которыми про изводятся необходимые математические операции. В связи с этим термин «математическое моделирование» адекватен тер мину «численное моделирование», или «численный экспери мент».
Таким образом, для реализации математической модели не обходим переход от непрерывных аналитических функций к числовым полям. Переход от непрерывных функций к последо вательностям дискретных значений величин обозначим как квантование функций.
С процессом квантования различных величин человек зна ком с древнейших времен. Различного рода измерения пред ставляют не что иное, как квантование этих величин. Именно операции с дискретными величинами явились основой матема тики. С развитием математики широкое распространение полу чил термин «функция» и последовательности дискретных зна
чений стали рассматриваться в виде непрерывных последо вательностей.
Новое рождение «кванта» произошло в работах М. Планка, когда использование непрерывных функций не позволило ре шить задачу об излучении «черного» тела. С тех пор термин «квант» широко вошел в обиход. Возникли новые понятия и термины «квантовая механика» в механике, «квантовая биоло гия» - генетика в биологии. С этих позиций современные чис ленные методы, широко используемые для решения самых раз личных задач математики, с полным правом можно определить одним понятием «квантовая математика».
Для различного рода сигналов известны и широко исполь зуются на практике следующие виды квантования функций [13,18]:
-квантование по координате;
-квантование по уровню сигнала;
-квантование по частоте спектра.
Наиболее распространенным видом квантования, применяе мым в теоретических исследованиях и на практике, является квантование по временной или пространственной координате. При этом виде квантования пространственная или временная координата делится на ряд интервалов и в каждом из них произ водится измерение исследуемой функции. Таким образом, не прерывная функция заменяется последовательностью одиноч
ных импульсов, величины кото рых равны значениям исследуе мой функции в данный интервал пространственной или времен ной координаты (рис. 1.6). Ука
F(t)
занный вид квантования лежит в основе всех конечно-разностных методов.
При квантовании функции по уровню ее величина срав t нивается с «квантом» функ ции. Ширина получаемых при этом отрезков характеризует
градиент функции в зависимости от временной или пространст венной координаты (рис. 1.7). В этом случае непрерывная функ
ция |
пространственной или |
|
|
||||
временной координаты пред |
|
|
|||||
ставляет |
последовательность |
|
|
||||
прямоугольных |
импульсов |
|
|
||||
одинаковой амплитуды и раз |
|
|
|||||
личной длительности. |
|
|
|||||
Третий |
вид |
квантова |
|
|
|||
ния - |
по |
частоте |
спектра - |
|
|
||
определяется |
возможностью |
|
|
||||
разложения |
периодических |
|
|
||||
или финитных непрерывных |
|
|
|||||
функций в ряд Фурье [18, 19, |
Дг |
t |
|||||
23]. Разложение в указанный |
|||||||
Рис. 1.7. Квантование по уровню |
|||||||
ряд |
предполагает |
нахожде |
|||||
|
|
ние коэффициентов разложения, т.е. нахождение амплитуды отдельных гармоник, составляющих ряд Фурье. Таким образом, искомая функция может быть представлена в виде последова тельности гармоник заданных частот с определенными ампли тудами. Для восстановления таких функций достаточно знания амплитуд гармоник в заданном интервале частот.
Для квантования математических функций в настоящее вре мя наиболее часто используются первый из вышеназванных способов - квантование по координате и третий - квантование по частоте спектра. Первый способ лежит в основе конечно разностных методов решений уравнений, третий - используется для решения уравнений в частных производных методом разде ления переменных.
Что касается второго способа квантования - квантования по уровню, то он для решения уравнений практически не применя ется, так как не разработан математический аппарат для систем алгебраических уравнений, получаемых при аппроксимации дифференциальных уравнений. Хотя в ряде случаев, при кван товании функций с малыми градиентами, этот способ мог ока заться весьма эффективным.
В основе математических способов квантования лежит воз можность представления непрерывных функций в виде разло жения по системе базовых функций (СБФ) [18, 23, 27].
Для финитных непрерывных на интервале [а, Ь\ функций справедливо разложение
/(* )= ZC* ф*(дг), |
а<х< Ь, |
(1.21) |
*=о |
|
|
где Ск - коэффициенты разложения, а <р* - система базовых функций.
Для практических расчетов ряд усекают, ограничиваясь ко нечным количеством членов разложения.
Система базовых функций должна быть выбрана таким об разом, чтобы на данном интервале обеспечивался минимум среднеквадратичной ошибки. Этому требованию отвечают сис темы ортогональных функций, которые чаще всего и использу ются на практике.
Для ортогональных систем базовых функций справедливо соотношение
1ф*М фтМ <к = 5ь,> |
( 1.22) |
где Ъкт - символ Кронекера:
|
1 |
при к - т, |
||
8 кт |
|
|
(1.23) |
|
О |
при |
к&т. |
||
|
Ортогональная система считается нормированной, если ее
норма равна единице:
/<р* dx = 1. |
(1.24) |
а |
|
Такие функции называются ортонормальными. Коэффици енты разложения ортонормальных функций определяются по обобщенной формуле Фурье:
Ск = 7 7 — J / M < P * d * b - a aJ
Существует бесчисленное множество ортонормальных базо вых функций, однако на практике используются лишь некото рые из них. К ним относятся:
1. Система единичных базовых функций.
Любая точка непрерывной финитной функции может быть выражена в виде интеграла от дельта-функции:
/(а)= J/(x)6(x-a)dx. |
(1.26) |
-0 0 |
|
Если заставить точку а непрерывно изменять свои координа ты, то указанный интеграл будет определять семейство точек, принадлежащих непрерывной кривой. Другими словами, любую непрерывную на интервале функцию можно представить в виде разложения:
/ M = J / f e ) 8 f e - * ) d 4 . |
(1-27) |
а |
|
Из-за неопределенности дельта-функции в каждой рассмат риваемой точке, от бесконечно малых интервалов в разложении переходят к конечным величинам Аде. В этом случае вместо ин теграла будем иметь
N |
|
|
|
f{ x ) = ^ f j k |
А х) б(х - к Ах)Л х , |
(1.28) |
|
*=о |
|
|
|
где N - число интервалов разбиения |
пространственной |
коор |
|
динаты: |
|
|
|
N |
= Ъ ~ |
а |
(1.29) |
|
А х |
|
|
Дельта-функция представляется в виде прямоугольного им пульса с единичной площадью, шириной AJC и высотой 1/Дх. Под ставляя выражение дельта-функции в формулу (1.29), получим
/( * ) = ! /( * А* ) ^ У |
(1.30) |
Если обозначить Ск = f(kAx), <pt (x) = |
д * , то получим |
формулу (1.22).
Полученное выражение говорит о том, что финитную на ин тервале [а, Ь\ функцию можно представить в виде разложения по системе единичных базовых функций, представляющих еди ничные импульсы Ах, смещенные друг от друга на ширину им пульса и заполняющие рассматриваемый интервал. Такая сис тема является ортонормальной и полной для ступенчатых функций с шириной ступени Ах. При стремлении интервала Ах к нулю система базовых функций становится полной для непре рывных функций, однако для реализации такого разложения требуется бесконечно большое число членов разложения. Дос тоинством единичных базовых функций является то обстоятель ство, что значение коэффициента разложения Ск равно значе
нию разлагаемой функции в данной точке, т.е. для нахождения их значений не требуется затрат математических операций. Раз ложение функций по системе единичных базовых функций со ответствует их квантованию по пространственной координате.
2. Система тригонометрических базовых функций.
Эта система является полной и ортогональной на интервале 0,2 л] или [-л, л]. Для непрерывных периодических и финитных функций на интервале длиной 21 с тем же периодом возможно разложение
/ М = у + £ |
ккх |
. |
ккх^ |
ак cos—-— I- Ькsin |
(1.31) |
||
ы\ |
/ |
|
/ |
причем коэффициенты разложения определяются в виде обоб щенной формулы Фурье:
а* = ~ J /W cos — j — dx; |
(1-32) |
2/ о |
l |
При численном решении дифференциальных уравнений часто используется система ортонормальных дискретных триго нометрических базовых функций, определяемая на интервале разложения [О, N] выражением
|
Ш |
. |
кпЛ |
( 1.34) |
к=0 |
cos— |
+ bk sm |
, |
|
N |
|
N ) |
|
коэффициенты разложения которого определяются следующим образом:
а . - У р b - y t / O X n f . ( 1.35)
При решении дифференциальных уравнений с комплексны ми коэффициентами используется разложение с дискретными комплексными экспоненциальными базовыми функциями.
.2ICKI
f(i)=tck^ |
0 -36) |
*=0 |
|
где коэффициенты разложения рассчитываются по формуле |
|
1 N-\ . / ч |
- .2Ы |
с * = — Ё / ( 0 е |
( 1.37) |
N |=о |
|
Особенностью разложений по тригонометрическим и экспо ненциальным базовым функциям является то, что расчет коэф фициентов разложения и восстановления функций требует оп ределенных затрат математических операций.
Кроме рассмотренных базовых функций при исследовании различных процессов, описываемых уравнениями в частных производных, широко используются полиномы Чебышева, Ле жандра, а также специальные функции Уолша, Радемахера, Наара и некоторые другие.
1.3. Уравнения математической физики
При математическом описании электромагнитных процессов электрических машин используются дифференциальные урав нения в частных производных, которые в общем виде для двух пространственных координат записываются следующим обра зом:
а |
( |
|
ди) |
д |
( . д и ) |
а ( |
ди |
ди |
— |
|
а — |
+ --- |
Ъ— |
+ — |
дх |
+ F(jc,y,M) = 0.(1.38) |
|
дх 1 |
дх) |
дх 1 дУ) |
д у \ |
ду ду |
Коэффициенты этого уравнения - это кусочно-непрерывные функции пространственных координат, не обращающиеся в нуль одновременно во всей исследуемой области.
Заменяя переменные в указанных уравнениях, в зависимости от характера и знака коэффициентов можно получить одно из следующих уравнений [15,20]:
1. Уравнение эллиптического типа |
|
92м, Э2м, |
(1.39) |
-----L + ----Л. + Ф, = 0. |
др2 Эст По аналогии с уравнением эллипса
(1.40)
21.2
ао ’
приведенное выше дифференциальное уравнение принято назы вать уравнением эллиптического типа. Это уравнение описывает пространственное распределение исследуемых величин в ста ционарных режимах. Частными случаями этого уравнения яв ляются уравнения Пуассона и Лапласа:
З2 и д2и |
д2и |
г?U |
(1.41) |
= F(x,y); |
+ 2-$ =0. |
||
дх2+ ду2 |
дх2 |
ду2 |
|
2. Уравнение гиперболического типа