Здесь У - истинное значение зависимой переменой в точке х '; е ' -

случайная ошибка в точке х' Ошибка е' считается независимой слу­ чайной величиной с нулевым математическим ожиданием и диспер­

сией ст2 [см. формулы (5.25), (5.27) и (5.29)]. При этих условиях оцен­ ки а вектора параметров являются случайными величинами с кова­ риационной матрицей (5.39):

и согласно (5.32) обладают минимальной дисперсией среди всех воз­ можных несмещенных линейных оценок для заданной выборки х', / = 1,2,...,7V В этом смысле метод наименьших квадратов является оптимальным методом обработки данных. Эта оптимальность имеет место при заданной выборке. Достигаемая точность оценок, как это следует, например, из (6 .6 ), будет зависеть от выбора эксперимен­ тальных точек или, другими словами, от условий проведения опытов. В этом и заключается основная идея планирования эксперимента: до­ биться требуемых свойств (например, максимальной точности), вы­ бирая условия проведения опытов.

Применение методов планирования эксперимента предполагает возможность проведения опытов в заданных исследователем услови­ ях. Такой способ проведения эксперимента называют активным.

Вобщем случае активный подход к эксперименту в сочетании

сметодами планирования позволяет получить требуемые результаты, затратив минимальные средства и время на проведение исследования.

6.2.Основные понятия планирования эксперимента

Множество всех точек проведения экспериментов

= (х,',х' ,...,х'),/ = 1,2,..., N (6 .8) представляется с помощью матрицы плана X :

X,

Х2

иназывается планом эксперимента. План эксперимента, заданный с помощью матрицы плана X , обозначается через X .

называется центром плана или центральной точкой плана. Каждая ко­ ордината х,0,/ = 1 ,2 ,...,и вектора х° является средним значением г-х координат всех точек плана,

Очевидно, что оптимальное планирование связано с разработкой планов, представляемых в некоторой стандартной форме. При этом целесообразно рассматривать центральные планы. Всякий план путем

= — т у

N t t

может быть преобразован в центральный план X с точками х' Область возможных значений независимых переменных называ­

ется областью планирования эксперимента. Будем обозначать эту об­ ласть Q t . Все точки х' плана X должны принадлежать области Q t .

руемыми переменными или факторами. Область планирования экспе­ римента Q t может быть задана, например, с помощью неравенств

Матрица М есть матрица системы нормальных уравнений (6.3), из решения которой находятся оценки коэффициентов модели иссле­ дуемого объекта, поэтому для ортогонального плана вычисления ока­ зываются чрезвычайно простыми.

План X называется ротатабельным, если дисперсия оценки у(х)

зависимой переменной в точке х зависит только от расстояния точки

х от центра плана х° В соответствии с формулами (5.42), (5.38) дис­

где (F1F f ' - дисперсионная матрица плана. Обозначим расстояние

при Г = TJ(X -Х°У (х - х°) = const..

Таким образом, ротатабельные планы обеспечивают одно и то же значение дисперсии оценки зависимой переменной во всех точках, равноудаленных от центра плана.

Зависимость

называется информационным профилем ротатабельного плана. Ин­ формационный профиль плана показывает характер изменения диспер­ сии оценки зависимой переменной при удалении от центра плана.

Рассмотрим план X :

- 1 -1

(6.25)

1 1

Нетрудно убедиться, что центр плана

х° = 0,

так как