- •В.П. Первадчук, Е.М. Кадырова, В.Ю. Соколов
- •УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •Глава 1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
- •1.2. Классификация квазилинейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными
- •1.3. Приведение уравнений к каноническому виду
- •1.4. Упрощение уравнения в каноническом виде
- •2.1. Нахождение общего решения
- •{мдydy = jo dy,
- •3.1. Распространение волн в бесконечной струне. Задача Коши
- •Рекомендуем решить:
- •3.2. Полуограниченная прямая. Метод ограничений
- •4.1. Принцип суперпозиции
- •7.2. Метод Фурье для уравнений гиперболического типа. Неоднородные задачи
- •7.3. Метод Фурье для уравнений параболического типа
- •7.5. Понятие функций Бесселя
- •(xVXf
- •7.6. Метод Фурье для многомерных задач
- •УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
= |учитывая, что J 0 (Мп) = 0, J'o{x) = ~ J t(х)| =
|
|
M n Jo \~ V lW |
|
|
||
|
= R2a2 |
|
а |
|
|
|
|
ipna f- { h R )2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
R2a2MnJ0 |
hR |
\ j x{Mn) |
IT |
|
|
|
~ |
||
— |
A |
M |
- |
a |
|
|
J \ 2M |
|
|
||||
a " = R2 |
Mn |
|
|
J , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IT |
a2Mn |
_______2Th2R2_______ |
||||
Vn |
{/ina? |
~(hRf |
\ Ji k k |
k |
a)2 - W 2] |
|
Таким образом, получаем |
|
|
|
|
|
|
u(r,t) =- |
|
■ « V - Ч т К |
* |
|
||
|
Jr |
|
+ 2Th2R2X |
■- г--- ~ TA^I, |
где p ,,p 2,• • • - положительные нули функции J 0(x).
7.6. Метод Фурье для многомерных задач
Приведем некоторые сведения из функционального анализа. Пусть р х е С[а,Ъ\ р, (х) > 0, х е [а, р 2 е С[с, 4 р 2 (у) > 0, у е [с,d),
£> = [a,b]x[c,d\ р{х,у)= р]{х)р2{у\ (x,y)eD ,
|
|
{■Xп }и=] с |
^ 2,р [ ° ’ |
О и }/1=1 с |
^ 2 ,р [с »d \ |
|
|
||
|
|
ф пк (* > у ) = Х а (х )г к ( у \ ( * > у )6 D • |
|
|
|||||
Теорема. Если {Х„}”=1 - базис в |
I 2,p[a»6L |
а |
Eli |
базис в |
|||||
12)РЫ |
] , то {Фпк }^=1 - базис в I 2)P(D). |
|
|
|
|
|
|||
Так как |
{фпк }®А=1 - базис, следовательно, эта последовательность ортого |
||||||||
нальна и полна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) ортогональность: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
О, |
|
п ф т U к Ф j, |
|
||
|
{Фпк >ф пу ) |
Фщ dxdy |
\ф п кЦ р , п = т ,к - j\ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
2) полнота: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
V/ € L2 P (D ) имеет место разложение / = |
^ С пкФпк , при этом |
|
|||||||
|
|
|
|
|
п,к= |
I |
|
|
|
|
/ ~ |
^СпкФпк |
—►О, |
N —^ со, |
Спк - |
i f . * * ) |
|
||
|
|
п,к=\ |
2,р |
|
|
Пк |
IФ» "2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
IK illlp |
= |
| К м * |
|
|
2 |
f c i 2 |
|
||
|
|
|
Р2 |
Задача 7.14.
Начальная температура однородного конечного цилиндра радиуса R и
длины 1 (0 < z < /) равна yl(i?2 - г2 )z. Определить распределение тем пературы в этом цилиндре в любой момент времени t > 0, если верхнее основание цилиндра поддерживается при нулевой температуре, нижнее основание теплоизолировано, а с боковой поверхности происходит теп лообмен с внешней средой, имеющей нулевую температуру.
Постановка задачи.
Пусть u(r,<p,z,t) |
функция распределения |
температур, в силу |
симметричности достаточно рассмотреть функцию u{r,z,t). |
||
м/ = а 2Дм, |
/>0, 0< r< R , 0 < z < I, |
(7.6.1) |
(7.6.2)
V=0 <°°> (“r * hu\ r.R =°,
(7.6.3)
“« U ' 0' “l„, = °-
Решение. В силу однородности граничных условий распределение темпе ратур ищем в виде u{x,t) = Ф(г, z)T(t) Ф0.
ФГ = а 27ДФ |
1 |
|
а2ТФ ’ |
ГДфоб
|
а2!1 |
Ф |
|
|
|
Т' +Ла2Т = О, |
|
|
|
|
ДФ + ЯФ —о |
|
|
|
Рассмотрим граничные условия |
|
|
|
|
("г + H |
„ S “ И , |
=Г(Ф, + АФ)|,,Л=0. |
||
Так как Г(/)#0, |
то (Ф, +ЬФ)п_Л = 0 , аналогично преобразовывая ос |
|||
тальные условия, получим следующую задачу: |
|
|
||
|
ДФ + ЯФ = 0, 0 < г < R, |
0 <z <1, |
(7.6.4) |
|
|
Ф /•=0 <оо, |
(ф ,+/*ф)|г=Л=0, |
(7.6.5) |
|
|
1ф * и = 0’ |
ф1г=/=°- |
|
(7.6.6) |
|
|
|
||
Далее будем искать функцию Ф(г,г) в виде произведения |
||||
X(r)z(z) Ф0, удовлетворяющую задаче (7.6.4) - (7.6.6). |
|
|||
ДФ = - ^ - (г Ф г)+Ф г2 = Ф , , + - Ф Г+Ф22, |
|
|||
|
г or |
|
г |
|
|
X ”Z + - X Z + XZ' +AXZ = 0, |
|
||
|
г |
|
|
|
|
X ”Z +- X Z = -X Z ”-*X Z |
X— , |
|
|
|
г |
|
XZ |
|
|
Х ”+ - Х ' |
- Z " - A Z ° 6 |
|
|
|
г |
|
(7.6.7) |
|
|
------------= - а . |
Преобразуя граничные условия, получаем задачу Штурма - Лиувилля.
Х ’ +- Х ' + аХ = 0, 0 < r< R,
Г |
(7.6.8) |
|^(0)|<оо, |
* '(* )+ ^ ( * ) = О- |
Общее решение задачи: |
|
Х(г) = С, |
(Jar)+ C2N0 (j^r). |
В силу ограниченности функции Х{г) С2 = 0. Из второго условия
X '(R )+ hX(R) = C]JaJ'0(jar)+ С]к10Уаг)= 0, так как мы ищем нетри виальное решение, следовательно, Q ф 0.
- J a J 1(jar)+ hJ0 (jar)= 0.
Обозначим Ja r = /л, получим |
|
||
|
|
|
(7.6.9) |
Пусть |
|
- последовательность положительных корней уравне |
|
ния. |
|
|
|
f |
\ |
( |
л |
Тогда а п = |
— |
- собственные значения, X n(r) = J 0 |
- собствен- |
\ |
R J |
V |
R . |
ные функции. Последовательность этих функций составляет базис в
L2tf>]p,R] при р(г) = г
Подставляя собственные значения в уравнение (7.6.7), получим
, |
ч |
об |
|
Z" + (Я - а п )Z = О, Л - а п = р |
|
||
Из граничных условий Фг|г=0 =0» |
Ф|г=/ = 0 получим условия для функ |
||
ции Z. Таким образом, получаем задачу Коши для функции Z. |
|
||
(Z" + /3Z = 0, |
0 < г < /, |
|
|
U о м |
ZW -0, |
(7'6ло) |
А = ( ^ | ^ ) 2 Z i(Z) = c o s ^ ± l ) z, А =0,1,2,...
Таким образом, получаем, что Л - а п = р к, т.е.
Я = 1,2,..., к = 0,1,2,...
Согласно теореме Фпк{г,г)= X n(r)Zk(z) является базисом, вер немся к исходной задаче (7.6.1)-(7.6.3).
u(r,z,t)= £ Tnk{t)0nk{r,z). n=l,fc=0
Следовательно, можно построить задачу для нахождения Тпк:
|
Т'пк +а2ЛпкТ = 0, |
|
||
|
Т ( o ) - ( ^ i ) _ v |
|||
|
|
пк\У / “ „ „О “ |
Упк» |
|
|
|
|
Фпк \г,Р |
|
|
Г ( г , 2 ) = а { я 2 - г 2 У |
|
||
Решение задачи является функция Тпк (t) = Апке а2Дп*', причем кон |
||||
станты Апк = у пк |
|
|
|
|
Вычислим константу: |
|
|
||
|
|
|
Ям(л2- ^ y ^ n H Z ^ d r d z |
|
_ |
( f ^ n k ) |
_ |
р |
|
/ пк |
и и2 |
|
\ \ x 2n{r)zl{z)drdz |
|
|
ИпЛг.р |
|||
|
D |
|
||
|
|
|
|
|
\г(я2 - r2U |
^ |
f ) dr \z cos |
+ ^ zdz |
|
= A- |
|
|
|
- A 71-/2 |
|
|
|
|
/ 3 ^4 |
w t e y icos2 n{<lk2i ^ zdz
4Г |
7l{lk + 1) |
_ 2/2(-l)A |
4/" |
* cos—--------z |
*(2*+l) |
яг2(2Л:-ь l)2 |
|
я 2 (2k + l)2 |
21 |
2Г ^ + lX-l)* - 2 |
ж2(1к + \)2
A = |
•4 U ,)+ ./|2(ft.)]= -2^ |
•A)0O + VMn) |
^О&п) |
|
Д2Л2и . ) к 2 + * 2*2 2 /4
Таким образом, |
|
|
|
|
_ 2RAJ a{M nfaM -M l)u2)p{2k + i i - \ Y - 2 j2 • 2цДЮ |
_ |
|||
Укп |
|
|
+R2h2\l |
|
Mi* (2k + r f Rl 4 |
|
|
||
16R2(2Rh - ju2n )\л{2к +lX- i f - 2] |
|
|||
А * 2(Ы +\)2^о{рп%12 +R2h2\ |
|
|||
Ответ: |
|
|
|
|
|
^ (2* + 1)2!/0 |
+ л 2A ] |
|
|
21 |
\a t |
^ |
л(2к +1) |
|
|
|
|||
xe |
|
^cos—!*-------- |
|
|
|
X |
R / |
21 |
|
jU\,ju2,Мз>• • • " последовательность положительных корней уравнения
Пусть дана функция и(р), р е |
Rn , тогда |
|||||
Ли = 0 - уравнение Лапласа, |
|
|||||
Ли = f{ p ) |
- уравнение Пуассона. |
|||||
Ли - оператор Лапласа для функции и , |
||||||
при п = 2 |
|
д2и |
д2и |
|
||
Ли = —- + — - |
- в декартовых координатах, |
|||||
|
|
дх2 |
ду2 |
|
||
|
1 д ( |
диЛ |
1 |
д2и |
||
Ли = ■ |
г |
— |
+ — + — - - в полярных координатах. |
|||
|
г дг |
. |
д г ) |
г 2 |
дер2 |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
Ли = 0, |
р е G |
внутренняя задача Дирихле. |
||||
« L = / М |
|
|||||
|
|
|
|
|||
Ли = 0, |
р е R \G |
- внешняя задача Дирихле. |
||||
u\L = fip ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
Ли = 0, |
р е G |
|
|
|
||
ди |
_ |
|
|
- внутренняя задача Неймана. |
||
дп |
|
|
|
|
|
|
Ли = 0, |
р е R \G |
|
|
|||
ди |
= f{p ) |
|
- внешняя задача Неймана. |
|||
дп |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь G e R n • область в «-мерном пространстве, L - ее граница, п |
||||||
нормаль к границе. |
|
|
|
|
||
Задачи, приводящие к краевым задачам для уравнений эллиптического |
||||||
типа: |
|
|
|
|
|
|
1. Задача о форме равновесия мембраны.
Рассмотрим задачу о колебаниях мембраны. Она описывается сле
дующим уравнением: |
|
|
|
|
p{x,y,t) |
,а |
2 Т |
^ , |
л |
utt = я 2(«х* +м ^ ) + ---------- |
= — ,x ,y e G ,t> |
О, |
||
Р |
|
Р |
|
|
при этом в случае стационарного процесса, не зависящего от времени, получаем
Л р{х,у)
Ди = ихх + Uyy = ----- - уравнение Пуассона.
2. Задача о стационарном распределении температуры.
Рассмотрим задачу о распространении тепла в цилиндре (в пла стине, в фигуре), она описывается уравнением
2 ( |
\ |
p{x,y,t) |
2 |
к |
|
щ = ^ [ и хх+иуу)+ |
v |
’■* |
а2 |
= — . |
|
|
|
|
ср |
|
ср |
Тогда задача о стационарном распределении температуры, т.е. вне зави симости от времени, описывается уравнением Пуассона:
Uхх ^уу ~ |
р{х,у) |
|
к |
Задача 8.1.
Найти форму равновесия прямоугольной мембраны ОАВС, если на сторо ну ОВ действует сила линейной плотности а (у), сторона АС свободна, а
стороны ОА, ВС закреплены в положении х2, х соответственно.
Постановка задачи:
Uxx+Uyy=0' |
0 < х< а > 0 < У <Ь |
« 4 =0= « М |
« * U e 0 |
М1,=0= * |
U\y=b = * |
Решение. |
|
В силу неоднородности граничных условий по у решение ищем в виде |
суммы и = v + w , где w(x,y) = А(х)у2 + В{х)у +С(х) удовлетворяет неод
нородным граничным условиям. |
|
|
х —х2 |
о |
|
|
|
||
Наиболее простой вид функции: w(x,y) = |
-у + х2 Тогда исходная |
|||
О |
|
|||
|
|
|
|
|
задача принимает следующий вид: |
|
|
|
|
vrr+vvv=; 4* V |
- |
2 ^ - = f(y ), |
|
|
^ Ууу |
^ |
|
|
|
|
|
,об |
, |
2 a - l |
_ 06 ( 4 |
|
\x=a |
|
——+2a = y/\y), |
|
|
|
|
|
v |
n = v |
. = 0. |
|
iy=0 |
I y=b |
|
Далее решение ищем в виде произведения v(x,y) = X(x)Y(y).
— = |
= Я |
|
X ~ |
Y ~ |
|
Получаем задачу Штурма-Лиувилля для Т(у): |
|
|
?Г' + ЯУ = 0, |
|
|
|У(0)=У(б)=0. |
|
|
Собственные числа данной задачи - |
Хп - т \12 |
, п = 1,2,..., а соответст |
вующие им собственные функции - Yn(у) = sin .
Таким образом, решение ищем в виде ряда Фурье по собственным функ циям задачи Штурма - Лиувилля:
и(х> у )= ^ Х п{хУп(у)- П=1
Получаем задачу для нахождения функции Х п(х):
ь |
|
|
|
|
\f{y)svz^r-d y |
|
|
|
|
Х'п -Л пХ п =±- |
b |
2 |
^ . т у |
об |
------ = ~ |
\f{y )sm — |
dy = сп, |
\(p{y)sm ^-dy
К (о )= |
= ^\<p{y)sin^-dy = an, |
X '*W “ ------ |
r ~ 2 ------- |
= | \y /(y)sin ^-d y = bn. |
Решение уравнения имеет вид
X „ (x )= A „ c h ^ + B„sh ттх cnb
оb т
Подставляем данное уравнение в граничные условия, получим |
|
( |
т (* -в) |
|
Ьп |
|
* » м = — |
|
- +с. |
|
|
||
|
|
т |
|
sh та |
|
|
|
Окончательно решение исходной задачи имеет вид |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
т (х -а ) |
|
|
и(х,у) = |
х - х |
2 |
V |
^ |
bn ~ an°h |
sin |
т у |
|
■у + х |
+ £ — |
■+с„ |
|
|||
|
|
|
|
т |
та |
|
|
|
|
|
|
|
sh |
|
|
Задача 8.2. |
|
|
|
|
|
|
|
Решить краевую задачу |
|
|
|
|
|
||
|
|
Ди(х,у)= х2у, |
0 < х < а , 0< у< Ь, |
|
|
||
|
|
• ы(0,у)=0, |
и{а, у) = О, |
|
|
||
|
|
ы(*,0) = 0, |
^ ( x ,b ) = 0. |
|
|
Решение.
Отметим, что сложность данной задачи в том, что на трех границах зада но условие Дирихле, а на четвертой {у = Ь) - условие Неймана (нормаль ная производная от решения).
Так как в задаче однородные краевые условия, то можно сразу искать ре шение в виде и(х,у)= X(x)Y(y). Подставив в исходное уравнение и гра ничные условия, получаем задачу Штурма - Лиувилля.
рг+лдг = о,
Х{0) = 0, |
Х(а) = 0. |
|
Собственные числа данной задачи - |
Л„ |
к = 1,2,..., а собствен |
ные функции - Х п{х)= sin---- .
а
Получаем, что решение нужно искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля:
M sin“ |
- |
А=1 |
а |
Для постановки задачи необходимо разложить по этим функциям и пра вую часть уравнения:
2 v"1 • |
к ю с |
X У =У’Ъ 8к*т ---- > |
|
|
л |
к- 1 |
а |
” |
Z Г 2 |
“г |
х |
2 . клх j |
£*= -]■ |
sin---- ах. |
||
Па |
*' |
|
|
“ |
о |
|
|
2 а Ч - \Т ' |
402(-l)* |
4а2 |
(8.1) |
8к |
(k n f |
{knf |
|
кл |
|
Таким образом, подставляя полученное разложение в исходное уравне ние, получим:
гк(у)~{— 1 Ук(у) = У£к> |
0 <У<Ь, |
|
V а ) |
|
|
>*(о)=П'(о)=0. |
|
|
Отсюда |
|
2 |
кду |
_кяу |
= V “ + вке ~ - У В Ж , \кп)
Подставляем это решение в краевые условия, получаем систему для на хождения констант:
Ak +Bk = О, |
|
|
|
/сяЬ |
|
|
|
, |
/ |
, |
N |
|
|
|
|
Лк~ 7 е ° |
V |
а |
V |
е - 7 - ^ |
= |
0. |
|
. а |
) |
(Ляг)2 |
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
At = -В* = ■ |
a3g* |
|
||
|
|
|
.3 , клЬ |
|
|||
|
|
|
|
|
2(for)3 ей |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
Окончательно, решение исходной задачи примет вид |
|
||||||
|
|
|
( |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
а*8к |
sh^SL- ^ Щ . |
. ктгх |
|
|
|
|
|
sin---- |
|||
|
|
|
к=\ |
(1kn fch — |
|
а ikn) |
а |
|
|
|
|
а |
|
|
где gk вычисляется по формуле (8.1).
Задача 8.3.
Решить задачу Дирихле в кольце между окружностями радиусов гj и г2.
|
Аи(х,у) = О, |
Г]2 < х2 + у 1 < г2 |
|||||||
|
wL w = n 2 = ^ |
^ ’ |
0<(р<2ж |
|
|||||
|
иЬ +у2=1^ = Л М |
0 <(р<2я |
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г~2 |
2 |
У |
|
Перейдем к полярным координатам г = ^х |
+ у |
и |
tg<p = — . |
||||||
Таким образом, задача принимает вид |
|
|
|
|
|||||
, |
д2и |
1 |
ди |
1 |
д2и . |
Г\ < г < Г2, |
|||
|
д г |
г |
дг |
г |
д(р |
|
|
||
|
|
|
|
|
w|r=n= / i W |
§<<р<2п |
|
Кроме того, имеются краевые условия на боковых сторонах прямоуголь ника - условия периодичности:
и(0,г) = и(2я,г),
дф дф
Таким образом, получаем задачу Штурма-Лиувилля для функции Ф(<р)\ Ф" + ЛФ = О,
Ф(0) = Ф(2я\ Ф'(0) = Ф'(2лг).
Решая эту задачу, находим собственные значения, которые имеют вид -
Л |
а |
собственные |
функции |
Л„=п , п = 0,1,2,..., |
|||
|
|
2 ^ |
^ Q |
{
Метод Фурье для задачи в кольце состоит в том, что решение мы ищем в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля:
00 00
u(<p,r) = £i?*(r)cos£<p + £s*(r)sinfy>.
к=0 ы
После подстановки этого ряда в исходное уравнение получаем уравнения для радиальных функций:
К + - К - 4 * „ = 0 ,
|
s;+i s ; - V » =0- |
|
|
г |
г 2 |
Таким образом, |
Rn = Апгп +Впг п, п ф О, |
|
|
=Cnr n +Dnr -П |
|
|
Во - |
+ Во Inг |
Получаем общее решение однородного уравнения Лапласа в кольце:
и(<р,г)= А0 + В0 1пг + ^ ( а „гп + B„r~n)coskp +
к= 1
+^ (c„r " +Dnr п)sin к(р.
к=\
Произвольные постоянные находятся из краевых условий:
|
j 2n |
|
AQ + 50lnri = — |
ffi(<p)d<p, |
|
|
|
0 |
|
|
2к |
^o + 50lnr2 = -^- |
\ f 2{<p)d<p |
|
и при Л = 1,2,... |
|
|
Л /Г + |
” = ~ |
\f\(<p)cosk<pd<p, |
*о
^2л*
Anr2 +Bnr2n = — [/2 (^)c°s kcpdcp, ТГ •
Cnr\n +Dnr\ n = - j"/i(^)sin k<pd(p,
n О
« 2/r
Cnr2 +Dnr2n = - \ f 2{(p)^k(pd(p. 'ТГ J
Список использованной литературы
1.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям ма тематической физики. -М .: Наука, 1977. - 224 с.
2.Комеч А. И. Практическое решение уравнений математической фи зики: Учеб.-метод.пособие. - М.: Изд-во Моек, ун-та, 1986. -160 с.
3.Николенко В.Н. Уравнения математической физики: Учеб.-метод, пособие. -М .: Изд-во Моек, ун-та, 1981. -392 с.
4.Сборник задач по уравнениям математической физики / Под ред. В. С. Владимирова. - М.: Наука, 1974. -272 с.
5.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики - М.: Наука, 1966. - 724 с.