- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Глава 1. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
- •1.1. Введение
- •1.3. Основные законы динамики точки
- •1.3.1. Закон инерции
- •1.3.2. Основной закон динамики
- •1.3.3. Закон равенства действия и противодействия
- •1.3.4. Закон независимости действия сил
- •1.4. Контрольные вопросы
- •2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •2.2. Две задачи динамики
- •2.2.1. Первая задача динамики
- •2.3.1. Пример. Динамика мяча для игры в пастольш,,й теннис
- •2.4. Контрольные вопросы
- •3.2. Относительный покой
- •3.2.1. Пример. Центробежный регулятор
- •3.3. Принцип относительности Галилея
- •3.3.1. Пример. Приземление прыгуна с трамплина
- •3.4. Контрольные вопросы
- •4.1. Классификация сил
- •4.1.1. Свойства внутренних сил
- •4.2. Масса. Центр масс системы
- •4.4. Теорема Штейнера о моментах инерции относительно параллельных осей
- •4.5. Связь моментов инерции относительно центра, оси и плоскости
- •4.5.1. Пример. Момент инерции диска относительно диаметра
- •4.5.2. Пример. Момент инерции шара относительно диаметра
- •4.6. Контрольные вопросы
- •Глава 5. ОБЗОР ОБЩИХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
- •5.3. Общие теоремы динамики системы
- •5.4. Контрольные вопросы
- •6.1. Связь количества движения системы со скоростью движения центра масс
- •6.1.1. Пример. Количество движения идущего человека
- •6.3. Теоремы об изменении количества движения системы в конечной форме
- •6.3.1. Пример. Давление наконечника пожарного шланга
- •6.4. Контрольные вопросы
- •Глава 7ЛЕ0РЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
- •7.1. Условия сохранения скорости движения центра масс
- •7.1.1. Пример. Человек на абсолютно гладкой поверхности
- •7.2. Частный случай сохранения скорости движепия центра масс
- •7.2.1. Пример. Человек на лодке
- •7.3.1. Пример. Сила трения при ходьбе человека
- •7.4. Контрольные вопросы
- •8.1.1. Связь между моментами относительно центра и оси
- •8.2. Кинетический момент системы относительно центра и оси
- •8.2.1. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •8.3. Кинетический момент системы при ее составном движении
- •8.3.1. Пример. Кинетический момент человека
- •8.4. Контрольные вопросы
- •9.1. Теоремы о моменте количества движения материальной точки относительно центра и оси
- •9.2.1. Пример. Тройной прыжок фигуриста
- •9.3. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси
- •9.3.1. Пример. Вращение фигуриста
- •9.5. Дифференциальные уравпения плоскопараллельного движения твердого тела
- •9.6. Контрольные вопросы
- •10.1. Кинетическая энергия твердого тела при его простейших движениях
- •10.1.1. Поступательное движение твердого тела
- •10.1.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •10.2. Кинетическая энергия при составном движепии механической системы
- •10.3. Общий случай движения свободного твердого тела
- •А = J Fxds.
- •10.6. Примеры вычисления работы
- •10.6.1. Работа силы тяжести
- •10.8. Контрольные вопросы
- •11.1. Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме
- •11.3.1. Пример. Качепие катка вверх по наклонной плоскости
- •11.4. Пример. Прыжок человека с большой высоты
- •11.5. Теоремы об изменении кинетической энергии системы в относительном движении
- •11.9. Контрольные вопросы
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Т = 2
где А — высота прыжка. При А = 0,5 м время Т= 0,64 с. Прыжок тройной, поэтому время одного оборота t\ = Т /3 —0,21 с.
Угловая скорость вращения ©i = 2тс/^ = 30 с’1, или около 5 оборотов в секунду.
Рассмотрим завершающую фазу прыжка. Фигурист разводит в сторону руки и отводит ногу, чтобы максимально увеличить мо мент инерции относительно оси вращения. По данным работы [14], в это время момент инерции J2= 8 кг-м2. В основной фазе полета J, = 1,2 кг-м2. Полагаем, что
Х > 2( / Г ) = о,
к=\
откуда следует условие сохранения кинетического момента для вращающегося тела (9.9):
1/ 2 ( 0 2 |
—«/1® i > |
1,2-30 |
|
©2 = — |
4,5 с-1, |
или 0,7 оборота за 1 секунду. Угловая скорость существенно зави сит от высоты прыжка А. Она обратно пропорциональна л/а.
9.3. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси
Применим теорему о кинетическом моменте относительно оси (9.6) к частному случаю движения системы — вращению абсолют но твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае кинетиче ский момент К г —J zco и теорема (9.6) примет вид
f M = ± m ,( F k'). к=1
Если тело абсолютно твердое, то момент терции Jz= const и его можно вынести за знак производной. Учитывая, что угловая
скорость со равна 1-й производной по времени от угла поворота <р, получим уравнение
Z dt2 |
X > ( # > |
(9.10) |
к=1 |
|
дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение связывает угол tp поворо та тела с внешними силами, приложенными к нему. Угловое уско рение, стоящее в левой части уравнения (9.10), можно представить по-разному:
d(a |
dco |
d 2cp |
— |
= со — |
(9.11) |
dt |
dtp |
'dt2 |
и в зависимости от условия задачи и метода решения выбирать раз личную форму представления.
9.3.1. Пример. Вращение фигуриста
Фигурист начал |
вращаться на |
льду с угловой |
скоростью |
©o = 6rtc“', стоя на |
двух коньках, |
расстояние между |
которыми |
d =0,4 м. Определить время полного торможения фигуриста, приняв в качестве его модели сплошной круглый цилиндр радиусом г = 0,2 м.
Коэффициент трения для материалов сталь—лед / = |
0,014 [28]. |
Решение. Запишем дифференциальное уравнение (9.10) в виде |
|
Л |
(9.12) |
На рис. 9.3 изображен вид модельного тела сверху. Сила тяже сти и нормальные составляющие реакции льда на рисунке не изо
|
бражены, т. е. их проекции на гори |
|
зонтальную плоскость равны нулю. |
|
Пару сил создают силы трения |
|
Fjf = F{p, каждая из которых равна |
|
JMg/2, где М — масса фигуриста. |
|
Плечо пары равно d. Момент инер |
|
ции однородного сплошного ци |
|
линдра J г = Mr2/ 2. Тогда уравне- |
Рис. 9.3 |
ние (9.12) примет вид |
и после интегрирования получим
.... |
' |
л |
шо |
|
О |
Для данных условий задачи время торможения / = 14 с. При уменьшении расстояния между коньками d время торможения бу дет увеличиваться.
9.4.Теорема об изменении кинетического момента
вотносительном движении
Рассмотрим относительное движение механической системы по отношению к системе Кёнига, началом которой служит центр масс С механической системы и которая движется поступательно. При ас ^ 0 эта система является неинерциальной. Для описания движения каждой точки механической системы дополнительно к действую щим на нее силам надо условно приложить переносную и кориолисо ву силы инерции материальной точки (глава 3). Так как переносное движение поступательное, то переносное ускорение равно ускоре нию центра масс, а кориолисово ускорение обращается в нуль.
В теореме (9.5) к внешним силам добавим только переносные силы инерции:
(9.13)
где К с — кинетический момент механической системы относительно центра в ее движении по отношению к системе Кёнига. Покажем, что в (9.13) последняя сумма обращается в нуль. Учтем, чюР™ = —ткас:
так как радиус-вектор центра масс в подвижной системе г'е - 0. Окончательно имеем
^ |
= £ * ( * ' ) • |
<»•'<> |
ai |
к=1 |
|
ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетического момен та системы относительно ее центра масс в движении по отношению к системе Кёнига равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно центра масс.
Уравнение (9.14) совпадает с уравнением (9.5), выражающим теорему о кинетическом моменте в абсолютном движении. По ана логии с (9.6) запишется теорема о кинетическом моменте относи тельно оси, проходящей через центр масс системы:
(915)
ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетического момента механической системы в системе Кёнига относительно оси, проходя щей через центр масс и движущейся поступательно, равна алгебраи ческой сумме моментов всех внешних сил относительно этой оси.
Ввиду совпадения уравнений (9.14) и (9.15) с уравнениями (9.5) и (9.6) условия сохранения кинетического момента относительно центра и проходящей через него оси в относительном движении будут такими же, как (9.7) и (9.8):
*=1 |
= 0 =>•К с = const, |
(9.16) |
dt |
|
|
- o |
^ dK*' = 0 =Ф- К'сг’ = const. |
(9.17) |
*=1 |
dt |
|
9.4.1. Пример. Прыжок в воду с 10-метровой выш ки
Определить, с какой минимальной угловой скоростью прыгун с 10-метровой вышки войдет в воду, совершив 1,5 оборота вокруг фронтальной оси (рис. 9.4).
Решение. Идеальный способ вхождения в воду можно пред ставить следующим образом. При отталкивании от трамплина
спортсмен сообщает своему телу |
|
|||||
такую |
минимальную |
угловую |
|
|||
скорость, которая позволяет ему |
|
|||||
после |
группировки, |
вращаясь |
J |
|||
с минимальным моментом инер |
||||||
ции, сделать 1,5 оборота, прибли |
|
|||||
зиться к поверхности воды, около |
|
|||||
нее быстро распрямиться и войти |
|
|||||
в воду. Решение аналогично при |
|
|||||
веденному в примере 9.2.1. |
|
|
||||
Найдем сначала время прыж |
|
|||||
ка: t = -s]2h/g, |
где |
h — высота |
|
|||
трамплина. При А = Юм |
1,41 с, |
|
||||
время |
одного |
полного |
оборота |
|
||
= г/1,5 = 0,94 с. |
Угловая |
ско |
|
|||
рость © 1 = 2%/t\ =6,7 с-1. В |
фазе |
Рис. 9.4 |
||||
распрямления |
перед вхождением |
|||||
в воду применим теорему (9.15) от |
|
|||||
носительно фронтальной оси Cz': |
|
at
Сила тяжести Р момента не создает, а сопротивление воздуха не учитываем. Тогда
^ 1 = 0, к'а . = const. dt
Для вращающегося телаЛ^у = |
и условие сохранения при |
мет вид |
|
J 2(o2 =J\Oi\, |
(9.18) |
где У, иУ2 — моменты инерции тела относительно фронтальной оси до и после распрямления. Как следует из табл. 4.1, отношение J 2/J\ = 2,6. Тогда
J\ |
6,7 |
_ , _i |
со2 = — ©| = — |
= 2,6с . |
|
J 2 |
2,6 |
|
Спортсмен входит в воду с угловой скоростью 0,4 оборота в се кунду. Если сравнить результаты в примерах 9.2.1 и 9.4.1, то кажет ся удивительным, что время прыжка с 10-метровой вышки (1,41 с) лишь в два с небольшим раза превышает время полного прыжка на коньках на высоту 0,5 метра (0-,64 с).
9.4.2. Пример. Падение кошки
Рассмотрим падение и переворачивание в воздухе кошки с вы соты S. Известно, что кошка при падении практически всегда при земляется на все четыре лапы. Из наблюдений известно, что это происходит благодаря быстрому вращению кошкой собственным хвостом. Найдем скорость вращения
хвоста кошки.
Момент инерции туловища кош ки Jk= 1,2 10"1кг • м2. Момент инер ции хвоста кошки Js = 6 • 1(Г3 кг • м2. Высота падения S = 5 м.
Решение. Определим время паде
ния:
следовательно, t= /— « 1 с . V 8
За это время туловище кошки по ворачивается на 180° (или на п рад), т. е. угловая скорость вращения туло вища
<в*=я 1/с.
Кинетический момент туловища Lk=Jk • ю*. Кинетический момент хво ста LS=JS-(а,. В начальный момент кошка находилась в покое и сумма мо ментов внешних сил относительно оси
вращения кошки равна 0 (моменты внешних сил отсутствуют). Тогда Lk+Ls = 0, J k • to* + J s • ш, = 0 откуда