- •С.П. Никитин
- •Никитин С.П.
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •1.1. Основы метода прямой аналогии
- •1.1.1. Сущность метода
- •1.1.2. Основные принципы метода прямой аналогии
- •1.1.3. Выделение в исходном объекте однородных физических подсистем
- •1.1.5. Установление связей между подсистемами
- •1.2.2. Проверка корректности
- •1.2.4. Линеаризация нелинейных уравнений
- •I.2.S. Построение линейной системы уравнений
- •2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ФИЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. Схема анализа физической системы по математической модели
- •2.3.6. Расчет частотных характеристик по передаточной функции системы
- •3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ УЗЛОВ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •3.1. Моделирование рычажной системы
- •3.2. Моделирование взаимодействия твердых тел
- •3.2.1. Особенности моделирования динамики твердых тел
- •3.2.4. Моделирование взаимодействия двух твердых тел
- •4.1. Пример моделирования шпиндельного узла
- •4.5. Разработка математической модели плоскодоводочного станка «Растр»
- •4.6. Разработка математической модели тепловых процессов при резании
- •5. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПРОЦЕССА РЕЗАНИЯ НА ДИНАМИКУ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
- •5.1. Влияние параметров процесса резания на устойчивость системы с одной степенью свободы
- •5.2. Влияние параметров процесса резания на вынужденные колебания динамической системы с одной степенью свободы
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Список литературы
- •Оглавление
Математическая модель взаимодействия твердого тела и материальной точки, построенная по эквивалентной схеме (см. рис. 3.10) и на основе исход ных данных, приведенных в табл. 3.3, будет иметь следующий вид:
/я, х, + Схх, + (х;. - Xj)СЬ + (ую - )Ф2/СЬ = 0,
m j x j - - |
(3.11) |
X J )с 4т - (Л> - У ко )Фх/с ь - ^ = о, |
|
•Л<р,-+ С ,ф / |
-У ко )г С . + хА У ,о -У ь )С ь ] - х Л у ,о - У ь У С ь = °> |
где mt j - инерционные массы твердого тела и материальной точки; Ji - момент инерции твердого тела;
x(J - обобщенные координаты твердого тела и материальной точки; XiуХjyipj —обобщенные линейные и угловые ускорения;
С „С ф - жесткости связи между твердым телом и базой; С ь - жесткость связи между твердым телом и материальной точкой;
Ую»Уко - исходные координаты центра масс и точки контакта твердого тела.
3.2.4.Моделирование взаимодействия двух твердых тел
Вбольшинстве случаев достаточно рассмотреть это взаимодействие в плоскости, когда каждое тело имеет три степени свободы (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Принципиальная схема взаимодействия двух твердых тел с учетом упругости контакта
Каждое из твердых тел имеет возможность поступательного перемеще ния по осям х у и вращательного движения вокруг оси z.
Уравнения преобразования координат в этом случае будут выглядеть так:
F*> = х'С ь + 0'- -У н У ?* с ь ~ Х/С Ь - ( у , - у к1У ? £ ь , |
|
|
Г«2 = ~ х £ ь -(.У, -У н Ъ * С ь + x £ b +(y j - у 12)ч>£ь , |
|
|
F*i = У.С^ +(*„ -x,)<pdC * - x £ b -( х ,2- х у>р„С*, |
|
|
F , 4 = ~ y ,t \ -(•'*1 _ x, УР.-.Ск, + * £ * , + (x „ ~ X j) v £ b , |
|
|
•Ч» = ( У ,->*1)^*1 + (**1 |
= |
|
= ( > ', - Л | ) * ( С * , + 0 1, . - Л , ) ! ф А |
-(у, -Ук1)х £ ь -(у ,- y tlXyj -УпУр£ь + |
(3.12) |
+ (**i~х,)у,Сь + (**1 - * ,) 24>riCj, - (x 21-х ,)у £ ь -(x „ -x,X x12 - x ^ C * .
=(>; -Уц)ГЛ1+(*»2 -^y)/>2 =
= - i y , - y n ) x , C b - ( y j -УпХу, ~Ук\У$,£ь +( У , - У п ) х £ ь + ( У , - У п ) \ чС , -
-(x »2 ~ xj )y,cb -(x,j - x yXxtl -х,)9яС^ +(x12 -x y)>/C„ +(x12 -x y)J<p#C^.
На основе их может быть получена следующая эквивалентная схема, от ражающая динамику взаимодействия двух твердых тел (рис. 3.12).
%
Сщ,
PR |
PF, |
PFVj |
PFx; |
Рис. 3.12. Эквивалентная схема взаимодействия твердого тела и материальной точки
Структура исходных данных для ввода в программу PAN представлена в табл. 3.4.
Другие частные случаи взаимодействия твердых тел могут быть получе ны комбинацией предложенных схем или по аналогии.
Таблица 3.4 Исходные данные системы взаимодействия двух твердых тел
Ветвь № тип
1 L
2С
3PF
4PF
5L
6PF
7PF
8С
9 L
10С
11PF
12PF 13 L 14 PF 15 PF 16 С 17 L
18L
19С. 20 JLF 21 JLF 22 PF 23 PF 24 PF
25PF
26PF
27PF 28 PF 29 PF 30 JLF 31 .JLF 32 <С 33 1L 34 ,г
|
Узел |
C,R,L |
от |
до вли |
|
|
яния |
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
5 |
1 |
0 |
6 |
1 |
2 |
5 |
2 |
0 |
|
2 |
0 |
6 |
20
30
3 |
0 |
|
3 |
0 |
5 |
3 |
0 |
6 |
3 |
4 |
|
4 |
0 |
5 |
4 |
0 |
6 |
4 |
0 |
|
40
50
5 |
0 |
|
5 |
0 |
1 |
5 |
0 |
3 |
5 |
0 |
2 |
5 |
0 |
4 |
5 |
0 |
6 |
5 |
0 |
6 |
6 |
0 |
5 |
6 |
0 |
5 |
6 |
0 |
3 |
6 |
0 |
1 |
6 |
0 |
4 |
6 |
0 |
2 |
16 |
|0 |
|
15 |
10 |
|
:2 |
10 |
|
L = 1 /С* С = /Я/
L = l/С*,
С = /я,
и )-Н |
|
С = /Я/ |
|
г и |
р |
С = Я1/ |
|
II |
S? |
Г II |
р |
С = Л |
|
II *4 |
4 |
Г II |
р |
L = 1/С*. L = 1/Cfa 1C=Jf
]L = 1/C*
Значение
ЕЛ к |
знак |
*= (Ую-Уи)Сь (У/отУк2)Скх -1
к=(у1о-Уч)Сь -1 к=(Ую-Уо)Сь
k=(xarXio)Ch, |
-1 |
к= (хн-х{0)Сь |
-1 |
к = (хп-Х/Жь, |
|
-к= -(Ую-Уи) -к = -(хц-хю) к = (Ую-Уи)Сь
k (^Г^ю)Сь' |
-1 |
к = (У/o-Vti) (У/о-Уа)Сь |
-1 |
к = (XkrXio) (xn-xio)Cb |
-1 |
к = (xia-хю) (хк1-х<0)Сь |
-1 |
к = (Ую-Уа) (Ую-Ун)Сь |
-1 |
к = (ха-Хю)Сь, |
-1 |
к= (Ую-Уи)Сь |
-1 |
-к = -(ха-Х/о) |
|
-к = -(Ую-Уи) |
|
' |
|
F |
1 1 |
33. Моделирование изгиба стержня
В некоторых случаях при моделировании узлов металлорежущих стан ков возникает необходимость учесть распределенные свойства жесткости эле ментов, в этом случае используют заменяющие модели в виде упругих элемен тов (стержней) с сосредоточенными инерционными параметрами [14, 20]. Примером может служить моделирование шпиндельного узла, станины токар ного станка и т.п.
Прогиб участка стержня постоянного сечения (рис.3.13) [14] описывается
Рис. 3.13. Схема усилий и моментов на концах стержня по стоянного сечения при изгибе от распределенной нагрузки q
дифференциальным уравнением в частных производных:
(3.13)
dx = ?(*).
где Е - Модуль упругости материала; J - момент инерции сечения;
у - величина прогиба;
q - нагрузка, распределенная по длине стержня;
х —координата точки по оси х, в которой определяется прогиб.
Для решения данного уравнения используется метод конечных разностей, то есть часты е производные, входящие в дифференциальное уравнение изгиба, заменяются конечными разностями, что приводит к системе алгебраических уравнений/ Дифференциальное уравнение при этом удовлетворяется дискретно.
Решение уравнения при этом имеет вид полинома
У= Т.о,х‘,
/®0
где cij - коэффициенты полинома;
х- текущая координата стержня по оси х;
п- степень полинома.
Коэффициенты полинома можно выразить через прогибы и углы поворо та на концах стержня и после этого найти значения моментов и поперечных сил на концах стержня [14]. Согласно схеме связей рис. 3.13
м , = 2EJ I
2EJ
м ,
I
6EJ Q'j = ~ 12
. |
. ( y j - y * ) |
2<Р, +<(>j |
- 3 — — ------- |
( y j - y J
2<Р, + Ф,- - 3
(3.15)
^ y j - y , )
<Pi -+-Ф>-2— ^ -----
|
Q , = |
6EJ |
^ y j - y d |
|
12 |
Фу + Ф; - 2 ------- |
|
|
|
|
|
где |
/ - длина стержня; |
|
|
Уь у у - прогибы концов стержня; Ф,-, фу - углы поворота концов стержня;
Мф Мр - значения моментов сил на концах стержня; Qij, Qji - значения поперечных сил на концах стержня.
На основе такого подхода могут быть получены математические модели изгиба, кручения и растяжения стержня постоянного сучения от действия рас пределенных нагрузок.
Кручение стержня. Связи между силовыми факторами и перемещения концов стержня при его кручении представлены на рис. 3.14.
Рис. 3.14. Схема связи между силовыми факторами и перемещениями концов при кручении стержня постоянного сечения
Дифференциальное уравнение стержня имеет следующий вид:
^^ Х =
где G - модуль упругости материала второго рода; Лр - момент инерции сечения относительно оси х; Ф - угол поворота сечения;
т(х) - нагрузка, распределенная по длине стержня.
Концевые скручивающие моменты при использовании метода конечных разностей выражаются через перемещения концов стержня выражениями
Л С = -у Ч ф .-Ф Д
(3.17)
л* 7 = ^ Ч ф, - ф,).
Растяжение стержня. Принципиальная схема связей между силовыми факторами и перемещениями концов при растяжении стержня постоянного се чения представлена на рис. 3.15.
У
N, |
/ |
j |
N} |
х |
◄----- |
6 = |
= 0 — |
►------- |
•> |
Рис. 3.15. Схема связи между силовыми факторами и перемещениями концов при растяжении стержня постоянного сечения
Используя дифференциальные уравнения |
|
d2M |
|
dx2 |
(3.18) |
dи |
|
N = ES— , |
|
dx
по аналогии с кручением найдем концевые усилия как функции перемещений концов стержня:
где S - площадь поперечного сечения стержня; / - распределенная осевая нагрузка;
и- относительные смещения текущей точки стержня по оси х;
х- координата текущей точки стержня по оси х;
хij - относительные смещения концов стержня по оси х; N - растягивающие усилия в текущей точке стержня; Njj - растягивающие усилия на концах стержня.
При кручении и растяжении стержня выражения связи силовых факторов с перемещениями концов совпадают с уравнениями пружины, поэтому в моде ли кручение и растяжение стержня отражаются аналогично кручению и растя жению пружины.
Изгиб стержня. При моделировании изгиба стержня необходимо учесть взаимосвязь перемещения по координате^ с углом поворота ср.
Принципиальная схема связей силовых факторов и перемещений концов при изгибе стержня показана на рис. 3.16.
r \ J‘
Г Т >
j=о-
Q o у
Рис. 3.16. Принципиальная схема связи между силовыми факторами и перемещениями концов при изгибе стержня
Уравнения связи (3.15) с учетом направленности усилий и моментов, а также выбранной системы координат будут иметь следующий вид:
\2EJ |
|
6EJ |
6EJ |
|
|
/* |
(* |
- У,) + — |
<Р, |
’ |
|
12EJ, |
6EJ |
6EJ |
|
|
|
|
|
- У , ) - |
|
|
(3.20) |
|
|
6EJ |
6EJ |
6EJ |
|
М„ = — |
|
% |
|||
«Рг- ф ,) - — |
у, + — |
у, у — |
|||
4EJ, |
6EJ |
6EJ |
6EJ |
Ф. |
|
=— |
«Р, - ф ,) - — |
у, у — |
У, + — |
С учетом этого эквивалентная схема, отражающая динамику изгиба не весомого стержня постоянного сечения, показана на рис. 3.17.
|
|
■ A W |
|
|
|
|
|
|
С - 12 EJIl |
|
N |
|
|
ы D |
|
-Л Л Д г |
|
--- |
*TJ |
|
|
|
|
Ф; |
|
||
|
|
C = AEJI l |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--- |
|
х |
PFyl Dr jМ |
Р |
kt - 6EJ/1 |
|
* № |
- |
|
|
•г |
|||||
|
к = 6EJI12 |
P F |
|
|
|
Рис. 3.17. Эквивалентная схема изгиба стержня
pF<i(j
Исходные данные для расчета изгиба стержня с помощью программы PAN имеют структуру, представленную в табл. 3.5.
Таблица 3.5
Исходные данные системы изгиба стержня
|
Ветвь |
|
Узел |
|
№ |
тип |
от |
ДО |
вли |
|
|
|
|
яния |
1 |
PF |
1 |
0 |
3 |
2 |
PF |
1 |
0 |
4 |
3 |
L |
1 |
2 |
|
4 |
PF |
2 |
0 |
3 |
5 |
PF |
2 |
0 |
4 |
6 |
PF |
3 |
0 |
1 |
7 |
PF |
3 |
0 |
2 |
8 |
PF |
3 |
0 |
4 |
9 |
L |
3 |
4 |
|
10 |
PF |
4 |
0 |
1 |
11 |
PF |
4 |
0 |
2 |
12 |
PF |
4 |
0 |
3 |
|
Значение |
C,R,L |
E,J,k |
к = 6£///j
к = 6EJ/I2
L = 1/(12EJIl1)
к = 6 EJli1 II a к =6EJtf к = 6 EJIl1 k\ = 6EJ/1
L = 1/(4EJIl)
к = 6 EJIl1 к = 6 EJli1 k\ = 6EJ/1
знак
-1 -1
-1
-1