Требуя выполнимости двух начальных условий (4.52), приходим к формулам для вычисления коэффициентов:

Формула (4.61) с коэффициентами (4.62) дает решение начально-краевой задачи для струны. Его можно записать в эквивалентном виде с одной тригонометрической формулой, содержащей время:

циклическая частота гармоники. Самая низкая частота (самый низкий тон)

ПС

колебаний соответствует первой гармонике C0j = — . Вес последующих

гармоник образует тембр звучания струны. Как видно из решения, тембр звучания зависит от способа возбуждения струны или, по-иному, от начальных условий.

Мы подробно рассмотрели решение одномерного волнового уравнения. Находить решение двумерных и трехмерных волновых уравнений в общем случае, конечно, сложнее. Однако следует помнить, что решения вида (4.54) годятся и для трехмерного уравнения в случае так называемой плоской волны, не зависящей от других координат.

4.6. Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера описывает квантово-механическое поведение

справедливо для частиц со скоростями гораздо меньше скорости света (v <$:с).

Решение уравнения (4.68) для временной зависимости <p(f) имеет вид

Функция описывает колебательное решение. Увидеть это можно, если вспомнить знаменитую формулу Эйлера

где © - циклическая частота колебаний, (o=W /h.

Рассмотрим теперь конкретные ситуации. При свободном движении частицы (потенциальная энергия U =0) полная энергия частицы совпадает с ее

Направим ось х вдоль движения частицы. В этом случае стационарное уравнение Шредингера записывается в более простом виде:

описывается плоской монохроматической волной. При этом длина этой волны соответствует длине волны Де Бройля. Действительно, согласно введенным обозначениям имеем

Рассмотрим второй пример точного решения стационарного уравнения Шредингера (4.75) для так называемого случая потенциальной ямы. В этой задаче потенциальная энергия частицы внутри потенциальной ямы (ящика) равна нулю, а за пределами ящика - бесконечности:

Постановка этой задачи является упрощением (моделью) задачи о поведении электронов внутри металлов. Бесконечная высота потенциального барьера упрощает задачу нахождения решения. Мы рассматриваем одномерный вариант задачи, хотя задача легко может быть решена и для трехмерного «ящика» размером Ц х ^ х Ц .

При сформулированных условиях нам необходимо решить стационарное уравнение Шредингера (4.75). Бесконечность потенциальной энергии за пределами потенциальной ямы позволяет считать, что вероятность обнаружить

Отметим, что в случае конечного потенциального барьера за счет туннельного эффекта нельзя использовать простые условия (4.80). Легко проверить, что общее решение уравнения (4.75) имеет вид

Граничное условие на правом конце интервала (x - L ) требует выполнения равенства

Равенства (4.82) ведут к важным следствиям. Обсудим эти следствия. Оказывается, что волновое число может принимать только дискретные значения, отмеченные номером п :

Дискретность волнового числа приводит к дискретности длин волн Де Бройля:

Физический (а точнее геометрический) смысл требования (4.84) весьма прост - на длине потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн. Квантование волн приводит к важному выводу - о квантовании полной энергии частицы

Таким образом, энергия микрочастицы в потенциальном ящике не может принимать любые значения, а может принимать только «разрешенные» - квантованные значения согласно (4.85). Этот вывод справедлив и для многих более сложных задач квантовой механики. В частности, он справедлив для квантовых состояний электронов в атомах; этот факт четко подтвержден линейчатым спектром атомов и молекул.

Полезно уметь делать оценки из полученных формул. Вычислим для примера разницу между соседними энергиями частиц в потенциальной яме:

Для электрона при L = 1 Ангстрем = КГ10 м, А^Г0«0,68эВ. В случае

размера L - 1 см эта величина ничтожно мала (AW0«0,68 10~|6эВ). Из этого примера видно, что разница уровней энергии значима лишь для размеров порядка размеров атома. При больших размерах квантованием можно пренебречь и считать, что допустимы любые (непрерывные) значения энергии.

4.7.Контрольные вопросы к главе 4

1.Чем отличается уравнение теплопроводности от уравнения диффузии?

2.Приведите примеры физических полей, которые описываются уравнением Лапласа.

3.Что такое характерное время выравнивания температурных неоднородностей? От чего оно зависит?

4.Как выглядит решение однородного одномерного уравнения

теплопроводности, если w(0,х) = sin(7ix), u(t, 0) = u(t, 1) = 0?

5.Какова идея метода разделения переменных?

6.Что значит задача Штурма - Лиувилля?

7.Какое отношение ряд Фурье имеет к методу разделения переменных?

8.Что такое «невязка» решения? Как она связана с погрешностью решения?

9.Каков математический смысл оператора Лапласа, подсказанный

формулой Рунге?

10.Как выглядит общее решение уравнения переноса?

11.Какие физические процессы описываются волновым уравнением?

12.В каких средах возможны продольные и поперечные колебания?