Лекции по высшей математике Часть 1
..pdf—►—> —> - >
1)а + ь = ь+ а - переместительный закон;
2)(а + б)+ с = а+(б+ с)- сочетательный закон;
3)сумма противоположных векторов равна нулю: а+(- а) - о.
Замечание.
Разность двух векторов |
и |
—> ь определяется следующим образом:
—►—> —> —►
а - Ь = а +(- b ) (СМ. рИС.4).
//. Умножение вектора на число |
|
|
|
Рис. 4. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть X - некоторое действительное число, отличное от нуля. |
|||||||||
Произведением |
вектора |
—> |
—► |
на |
число |
X называется вектор |
|||
а |
(а * 0 ) |
||||||||
Ь = Ха , коллинеарный вектору |
а , имеющий длину |
-W- |
. Направление |
||||||
вектора b совпадает с направлением |
вектора |
а , |
если |
X> о, и |
|||||
противоположно ему, если X< 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
Например, на |
рис. 5 |
изображены |
векторы |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
_ |
—* |
|
—f |
| |
_ |
|
|
|
|
Ь=3 а ИЛИ |
а ——Ъ, |
||||
|
|
|
|
d ——2 с |
ИЛИ |
с = -^ 2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Операция умножения вектора на число подчиняется следующим
законам:
1) УСа |
)=Ха + Х^ - распределительный закон относительно суммы |
векторов; |
|
2) (А.+р) а - X а а - распределительный закон относительно суммы чисел;
3) (Я • ц)а = |
- сочетательный закон. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 6.1. |
В треугольнике |
АВС дано: |
—> |
—> |
—► —> |
—> |
||||||||
АВ= a, |
AC=b, |
AM- |
||||||||||||
|
|
—> |
|
|
|
—у |
—► |
|
|
|
|
|
|
|
медиана. Выразить вектор AM через векторы |
а и Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Через точку М проведем прямые С,Л/ и ВХМ , |
||||||||||||
|
|
параллельные сторонам АВ и АС. Получим |
||||||||||||
|
|
параллелограмм |
ABJMCJ, |
в |
котором AM |
- |
||||||||
|
|
диагональ. |
|
Следовательно |
|
—> |
—► |
—> |
|
Но |
||||
|
|
|
AM = АВХ+ АСХ. |
|||||||||||
|
|
-* |
] —> |
—> |
1—> |
(ВХМ |
и |
CjM |
средние |
|||||
|
|
|
|
АС{= -Ь |
||||||||||
|
|
линии треугольника, |
поэтому |
|
АВХ=ВХВ, |
|||||||||
|
|
АС\ =QC). |
|
Получаем |
|
—► 1—► 1—*• |
или |
|||||||
|
|
|
AM = |
|
|
|||||||||
|
|
“► |
1 |
-* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АМ = -(а+ |
й). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.2. |
Какому условию |
должны удовлетворять |
ненулевые |
|||||||||||
—► |
—> |
|
|
|
|
|
—►—> |
—> —> |
|
|
|
|
||
векторы л и |
й , чтобы имело место соотношение | а+ й |=| а- й | ? |
|
|
|
||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим |
на |
векторах |
|
а |
и |
й , |
|||||
|
|
|
выходящих из точки А, параллелограмм |
|||||||||||
|
|
|
ABCD. |
Тогда |
АС = я + й , |
DB= а - Ь |
||||||||
|
|
|
Равенство |
—> —> |
—> —> |
означает, |
что |
|||||||
|
|
|
| а+ Ь |=| а - Ь | |
|||||||||||
|
|
|
длины |
диагоналей |
параллелограмма |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
—> |
—► |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равны, т.е. | АС |=| DB |. Отсюда следует, |
что данный параллелограмм - прямоугольник. Следовательно а _1 й
Осью называется |
прямая |
U , имеющая направление в пространстве. |
||||||||||
|
|
|
Пусть в пространстве задана ось |
U |
и |
|||||||
|
|
|
некоторый вектор |
АВ. |
Спроектируем |
|||||||
|
|
|
начальную и конечную точки вектора |
|||||||||
|
|
|
—► |
на |
ось |
U. Обозначим |
проекции |
|||||
|
|
|
АВ |
|||||||||
|
|
|
точек |
А |
и |
В |
на ось через |
Ах |
и |
Вх |
||
|
|
|
соответственно |
(рис. 6). |
|
|
|
|
||||
Проекцией |
вектора АВ |
на ось U |
называется длина направленного |
|||||||||
отрезка АХВХУ взятая |
со знаком «+», |
если направление |
Л,#, |
совпадает с |
||||||||
направлением оси U, и со знаком «-», если направления |
А\ВХ |
и |
U |
|||||||||
противоположны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекция |
вектора на ось обозначается |
|
при А В . |
Из |
определения |
|||||||
проекции вектора на ось имеем |
npL АВ = \ |
|
|
если |
АХВХТТ (/, |
|
|
|
||||
|
|
если |
АХВХT il/ . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Углом <р между вектором и осью называется угол, образованный двумя лучами, один из которых направлен по вектору, а другой - по оси. Аналогично определяется угол между двумя векторами. Очевидно, 0 <,<р<, п .
Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: при АВ =J>4^|cos ^>.
—►
Доказательство, а) Если угол ф между вектором АВ и осью U является острым (рис. 6), то
при АВ = \АХВХ= АС = ABcos<p =
б) Если ф - тупой угол (рис. 7), то
приАВ = -|л,Я,| = -АС = -АВ cos(/r - <р)= = ABcostp =|/4£|C O S 9?.
Рис. 7
в
в) Если угол ф = ^ (рис. 8), то
точки Ах и Я, совпадают.
.........
*А ®С
Следовательно,
приАВ =\АВ COS q>=0.
Следствие. Если вектор образует с осью острый (тупой) угол, то проекция вектора на ось положительна (отрицательна). Если же вектор перпендикулярен оси, то его проекция на ось равна нулю.
Свойство 2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на эту ось:
при(ах+ а2+... + ак) = приа1+приа2+... + приак.
Докажите данное свойство для случая к = 2 самостоятельно.
Свойство 3. При умножении вектора на число его проекция умножается на это число, т.е. приЛа = Лприа, где Я - число.
Докажите свойство самостоятельно.
6.4.Линейная зависимость векторов
Линейной |
комбинацией |
|
—► |
—► |
—► |
( n e N) называется |
||
векторов aXi |
а2, |
ап |
||||||
выражение вида: |
|
|
|
|
|
|
||
—► |
^ |
|
—► |
|
. |
|
|
|
А.1^ 4- Х2а2+...+ \,а „ , где X, |
(/ = Ц/|)- произвольные действительные |
|||||||
числа. |
|
—► |
-► |
|
|
|
|
|
_ |
|
а„ |
называются |
линейно |
зависимыми, если |
|||
Векторы |
|
ах, |
а2, |
существуют такие действительные числа Хх, Х2,..., Х„, из которых хотя бы
одно Xj * 0, что линейная комбинация векторов |
^ , а2 , |
с указанными |
||||||
числами обращается в ноль, т.е. имеет место равенство: |
|
|
||||||
|
|
Х\ а1+ Х2а2+...+ Хпап = 0. |
|
(6.1) |
|
|||
Векторы |
-» |
—► |
—* |
называются |
линейно независимыми, |
если |
||
ах, |
а2, ..., |
а„ |
||||||
равенство |
нулю |
их |
линейной |
комбинации |
возможно |
только при |
Хх |
|
= х2= |
Хя = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Докажем два утверждения о линейной зависимости векторов.
Утверждение 6.1. |
Если среди векторов о,, |
а2, |
|
ап |
хотя бы |
|||||||
один вектор является нулевым, то эти |
векторы |
линейно зависимы. |
|
|
||||||||
Доказательство. |
Пусть для определенности а, = 0. |
Составим |
||||||||||
линейную |
комбинацию |
векторов |
а[, 7 2, |
а п , |
в |
которой |
Х|*0, |
|||||
Х2= Х3= ...=Х„ = 0. Тогда равенство (6.1) выполняется и |
при этом Х\ * 0. |
|||||||||||
Следовательно, векторы а,, а2, ..., ап являются |
линейно зависимыми по |
|||||||||||
определению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение 6.2. |
Если среди векторов а ,, |
а2, |
а„ |
|
векторы |
|||||||
—► —► |
—► |
|
|
|
|
|
|
|
—> —► |
|
—► |
|
а ,, а2, ..., ап_] являются линейно зависимыми, то векторы ах, а2, • ••, |
тоже |
|||||||||||
линейно зависимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
Из |
определения |
линейной |
зависимости |
||||||||
векторов |
—► —> |
—♦ |
следует выполнение равенства |
|
|
|
|
|||||
ах, а2, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
—► |
—> |
|
—V |
|
|
|
|
|
|
( 6.2) |
|
Xj а, + Х2а2+ ...+ Хт,.7а„_1= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|||||
в котором |
хотя бы одно из чисел |
X,- *0 |
(/ = 1,л - 1). |
Равенство (6.2) не |
||||||||
нарушится, если к левой его части прибавить слагаемое |
|
где Х„ = 0. |
||||||||||
Тогда для векторов |
—► |
—► |
—► |
выполняется равенство |
(6.1) и хотя бы |
|||||||
а ,, а2, ..., |
а„ |
|||||||||||
одно из чисел X, * 0. |
Следовательно, |
векторы |
а , , . . . , |
а п |
линейно зависимы |
|||||||
по определению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
Утверждение |
6.2 |
справедливо, |
|
когда |
|
линейно |
|||||
зависимыми являются любые k |
(к< п) векторов. |
|
|
|
|
|
Сформулируем и докажем необходимое и достаточное условие линейной зависимости двух векторов.
Теорема 6.1. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Доказательство.
1). |
Необходимость. |
Пусть |
векторы |
—► —► |
||
а ,ь |
линейно зависимы. |
|||||
Докажем, |
—►—► |
|
|
|
|
|
что а\\ь |
|
|
|
|
|
|
Из линейной зависимости векторов ^ |
и ^ |
следует, что существуют |
||||
такие действительные числа |
Х.1 |
и |
Х.2 , из которых хотя бы одно не равно |
|||
нулю, что |
выполняется равенство |
Xi а +Х2? = 0. |
Пусть для определенности |
X, * 0. Тогда из последнего уравнения выразим вектор а
|
-> |
\ |
-> |
а = к b , |
-► |
-+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
а ------ИЛИ |
где ЧИСЛО к = |
-----------------— |
|
|
|
|||||||
|
|
л.] |
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
По определению операции умножения |
вектора на число делаем вывод о |
||||||||||||
коллинеарности |
векторов |
—► —> |
Необходимость доказана. |
|
|
||||||||
а |
и ь |
|
|
||||||||||
2). Достаточность. |
Пусть векторы а и |
Ь коллинеарны. Докажем, |
|||||||||||
что эти векторы |
линейно зависимы. |
|
|
|
|
|
|
У |
|||||
Предположим, что |
—► |
—У |
|
|
|
|
|
|
|||||
а * 0 и ь * 0. Иначе линейная зависимость а и ь |
|||||||||||||
вытекает из утверждения 6.1. Из коллинеарности векторов |
—> |
—► |
|||||||||||
а |
и ь |
следует, |
|||||||||||
—► |
—► |
|
|
|
|
|
|
число, |
не равное |
нулю. Запишем |
|||
что а = |
Хь , где X - действительное |
||||||||||||
последнее равенство |
в |
виде: |
1аЛЬ = 0. |
Таким |
образом, |
линейная |
|||||||
комбинация векторов |
а и ь |
равна нулю, при этом оба коэффициента при |
|||||||||||
векторах |
отличны от |
нуля. |
Следовательно, векторы |
—> |
—> |
линейно |
|||||||
а |
п |
ь |
|||||||||||
зависимы по определению. Достаточность доказана. |
|
|
|
|
|||||||||
Следствие 6.1. |
Если |
векторы |
а |
и ~ь |
не коллинеарны, |
то они |
|||||||
линейно независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем необходимое и достаточное условие линейной зависимости трех векторов.
Теорема 6.2. |
Необходимым |
и |
достаточным |
условием линейной |
|||
зависимости 3-х векторов является их компланарность. |
|
||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
1). Необходимость. |
Пусть векторы |
Г , с |
линейно зависимы. |
||||
Докажем, что эти векторы |
компланарны. |
|
|
|
|||
Если векторы а , ь , с |
линейно |
зависимы, |
то по определению |
||||
линейной зависимости существуют числа |
Х{, Х2, Х3, из которых хотя бы одно |
||||||
не равно нулю, что выполняется равенство |
|
|
|||||
|
Х\ а +Х2 Ь + |
Хз с ~ 0. |
|
(6.3) |
|||
Пусть для определенности |
Х3*0. Тогда из уравнения (6.3) получим: |
||||||
|
|
с —— — а— — Ь |
|
или |
|
||
|
|
Дз |
|
Aj |
|
|
|
|
|
с = Aj а + к2 Ь , |
|
|
|||
|
|
|
(6.4) |
|
|
|
|
|
где к, = - у - . h |
=-^т- |
|
||||
|
|
л3 |
|
/Ц |
|
|
Если векторы |
а |
и |
ь |
не |
||||
|
коллинеарны |
|
(рис.9), то |
из |
|||||
|
равенства |
(6.4) |
следует, |
что |
|||||
|
вектор |
с |
|
это |
диагональ |
||||
|
параллелограмма, построенного на |
||||||||
|
векторах |
—* |
|
—> |
|
|
|
||
|
кха и |
к2 ъ , приведенных |
|||||||
|
к |
общему |
началу. Следовательно, |
||||||
|
векторы а , ь , |
с |
лежат |
в |
|||||
Рис. 9. |
плоскости |
|
|
|
|
одного |
|||
параллелограмма, |
что |
означает |
|||||||
|
|||||||||
Если же векторы а и Ъ коллинеарны |
компланарнарность этих векторов. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вектор с коллинеарен этим векторам. Следовательно, |
векторы |
а , |
ь , |
|
|||||
компланарны. Необходимость доказана. |
—* |
—► —► |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2)Достаточность. Пусть векторы а , Ь , с компланарны. Докажем,
что эти векторы линейно зависимы.
—► |
—> |
—► |
является нулевым, |
то |
Если хотя бы один из тройки векторов а , Ь , с |
||||
векторы линейно зависимы в силу утверждения 6.1. |
|
|
||
Если хотя бы одна пара векторов из а , |
Ь , |
с |
линейно зависима, |
т.е. |
два вектора коллинеарны, то векторы а , ь , с |
линейно зависимы в силу |
|||
утверждения 6.2. |
|
|
|
|
Рассмотрим случай, когда а * 0, 6 *0, с * о и |
векторы а , ь , с попарно не |
коллинеарны. Приведем векторы а ,~ь ,~с к общему началу О (рис. 10).
Рис. 10.
По построению ОА || а,
Через конец вектора Ь проведем прямые,
—► —► параллельные векторам а и с Точку
пересечения прямой, параллельной вектору —> —► а , с прямой, на которой лежит вектор с ,
обозначим буквой с , а точку пересечения
—> прямой, параллельной вектору с , с прямой,
—► на которой лежит вектор а , обозначим
буквой А .
ОС || с, значит, ОА = Лха, О С - ^ с , где Я,,
некоторые, не равные нулю, числа.
Тогда по правилу параллелограмма сложения векторов получим:
47
ь = о а +ос |
или |
ь = Х 1 а + Х 2 с |
|
Таким |
образом, |
составлена |
||
линейная комбинация векторов |
—► —> |
—> |
|
|
||||
а , |
ь , |
с с ненулевыми коэффициентами, |
||||||
которая равна нулю : |
_ |
_ |
_ |
|
|
|
—> —> —► |
|
\-Ь~Л}а - Л 2с = 0. |
|
Следовательно, векторы а , ь , с |
||||||
линейно зависимы по определению. |
Достаточность доказана. |
|
||||||
Следствие 6.2. |
|
Если векторы а , ? , с |
не компланарны, то они |
|||||
линейно независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
6.5.Координаты вектора
Три |
линейно независимых |
вектора |
а , |
ь , |
с |
образуют базис в |
|
пространстве, если любой вектор |
можно представить в виде некоторой |
||||||
линейной |
комбинации векторов а , ~ь , с , |
г.е. |
существуют такие |
числа |
|||
4 ,^ 2 И Аз, |
ЧТО |
|
|
|
|
|
|
|
d = X i а + Х 2 Ь + Хз с |
|
|
—> |
|
(6 .5 ) |
|
Выражение (6.5) называется разложением |
|
—► —► -> |
|||||
вектора d |
по базису а , |
ь , с , а |
числа Х\9Х2, Х3 - координатами вектора d в этом базисе. Справедливы следующие фундаментальные утверждения:
Утверждение 6.3. |
Любые три некомпланарных вектора образуют |
|||
базис в пространстве. |
|
|
|
|
Утверждении 6.4. |
Разложение вектора d |
по базису а , |
Ь , с |
|
единственно. |
|
|
|
|
Доказательство (методом «от противного»). |
Предположим, что |
|||
наряду с разложением (6.5) справедливо другое разложение вектора |
—> |
|||
d по |
||||
базису а , Ь |
с |
|
|
|
|
|
~d =|ii а + р2 Ь + р37 |
|
(6-6) |
Вычтем из равенства (6.5) равенство (6.6), получим соотношение |
|
|||
|
(Xr P i ) а |
+ (Х2р2) *> + (Х3 - р3) С = 0. |
|
|
Векторы |
а , 6 , с образуют базис в пространстве, следовательно, они |
линейно независимы. Тогда по определению линейно независимых векторов
имеем: Хг р,= 0; |
Хгр2= 0; |
Х3 - р3 = 0 |
или |
Xt= рг, |
—р2; Х3 = р3. |
Таким образом, единственность |
разложения |
вектора d по базису а , ь , с |
|||
доказана. |
|
|
|
|
|
Будем |
рассматривать |
в |
|
пространстве |
декартову |
||
прямоугольную |
систему |
||
координат. Ее |
образуют |
три |
|
взаимно |
перпендикулярные |
||
оси |
Ох, Оу, O z, имеющие |
||
общее начало О |
и одинаковую |
||
масштабную единицу. |
|
Рис. 11.
Базис в декартовой прямоугольной системе принято обозначать
7 , 7 , 7 , при |
этом 1 |
П Ох, |
17 1=1; |
j * t O y , |
|^71=1; |
7тТОг, |7 |=1 |
||
(рис. 1 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу определения базиса любой вектор |
d |
может быть представлен |
||||||
единственным |
образом |
в виде: |
d = х i + у j + z к , где х, |
у, z - числа, |
||||
называемые прямоугольными координатами |
вектора |
—► |
Обозначаются |
|||||
d |
—►
прямоугольные координаты вектора следующим образом: d ={ х; у; z }.
Геометрический смысл прямоугольных координат вектора раскрывает
Утверждение 6.5. Прямоугольные |
координаты х,у, z |
вектора |
—> |
||
d |
|||||
есть проекции этого вектора на координатные оси |
Ох, Оу, Oz соответственно. |
||||
Из этого утверждения следует, что |
вектор |
d |
является |
диагональю |
|
прямоугольного параллелепипеда, построенного на |
векторах |
—► —► |
^ |
||
х i , у j , zk . |
Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов его сторон, то длина вектора d определяется формулой :
|
\ d \ = J ? T |
/ 7 7 |
(6.7) |
Углы, которые |
образует |
—► |
Ox,Oy,Oz |
вектор d с осями координат |
|||
обозначим буквами а, |
р, у (рис. 12). |
|
|
Тогда в силу утверждения 6.5 |
|
||
|
х = пр0х d =| d |cosa , |
|
|
|
У= "Роуd =1 d I c°s P , |
(6.8) |
|
|
2 = nPox d -\d\ cosу |
|
Числа cosa, cosP и cosy называют направляющими
косинусами |
вектора d |
у
Рис. 12. |
|
|
|
|
|
Утверждение |
6.6. |
Сумма квадратов |
направляющих |
косинусов |
|
любого вектора равна единице: cos2 a + cos2 р + cos2 у = 1. |
|
||||
Доказательство. Из формул (6.8) имеем: |
|
|
|
||
х |
|
|
VU3 |
IX — ---г , |
|
cosа - — , |
|
|
|||
\ d \ |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
cos0 = — |
, |
Тогда |
cos1 /} = -¥-$, |
(6.9) |
|
\ d \ |
|
|
|
й |
|
z |
|
|
2 |
|
|
|
|
*2 |
|
||
cosу - — . |
|
COS |
у = — 5-. |
|
|
\d | |
|
|
|
й |
|
Складывая равенства (6.9), |
получим: |
|
|
||
|
|
|
cos2 а + cos2 Р + cos2 у = — ^ (х 2 + у 2 + z 2) = I.
PI
Последнее равенство имеет место в силу формулы (6.7). Таким образом, утверждение доказано.
Значение базисных векторов пространства состоит в том, что они позволяют линейные операции над векторами сводить к линейным операциям над координатами этих векторов.
Например,если |
а = |
{ |
x |
t ; |
y z;}h - о |
a = JC/ / + y |
t |
~+j |
zt k , |
||||||
|
ь = |
{ |
x |
2 ; |
y |
2 ; |
<=>z 2 } |
6 = |
X 2 7 |
+ |
y |
+2 |
z~J{ k , |
TO |
|
о + b = ( x t + 2) X7 + ( y |
, + 2)У |
j + ( Z j |
+ |
2)Z |
~k О |
a |
+ b |
= {*/+ Х |
2 |
; У1 + |
У2;* 1 + Z 2 } 9 |
т.е. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются; —► —> —>—> —> —>
a - 6 = ( Х Г 2)Х +i f y r 2)У j +( Z Г * г ) к<=> а - Ь= { х Г Х 2 ; У 2; г2 гУ Z 2f ,