Магнитные поля проводника с током в линейных изотропных концентрически ориентированных областях (80
..pdfМагнитные поля проводника с током в линейных изотропных концентрически ориентированных областях
ЗАГРЯДЦКИЙ В.И., КОБЯКОВ Е.Т.
Предложена методика формирования анали тических выражений векторных потенциалов маг нитного поля, созданного проводником с током в линейных изотропных концентрически ориенти рованных средах, даны примеры ее применения, приведены расчетные зависимости для анализа напряженности магнитного поля.
К л ю ч е в ы е с л о в а : магнитное поле, век торный потенциал, напряженность, проводник, магнитная проницаемость, ток
A |
method |
is proposed which makes it possible |
|||
two form |
analytical expressions of |
vector potentials |
|||
of a |
magnetic |
field |
inducted by a |
current—carrying |
|
conductor |
in |
linear |
istropic concentrically oriented |
||
media. Examples of |
the application of the method |
proposed and calculation dependencies for the intensity
of magnetic field |
are given. |
|
Key |
w o r d s : |
magnetic field, vector potential, |
intensity, |
conductor, permeability, current |
Аналитические выражения величин, характе ризующих электромагнитные поля, созданные группой проводников с током в линейных средах, могут быть получены на основе принципа су перпозиции полей отдельных проводников. При использовании этого подхода [1] дан вывод вы ражения радиальной составляющей напряженно сти магнитного поля трехфазной обмотки в воз душном зазоре электрической машины. Причем магнитная проницаемость материалов статора и ротора принималась бесконечной, а поле про водника с током описывалось приближенной ли нейной зависимостью:
Дг(*) = £ ( 1 - | ) , |
(1) |
где Нг(а) — радиальная составляющая напря женности поля в воздушном зазоре д; i — ток; а — угловая координата точки поля.
При малом д допущение о независимости Нг от радиальной координаты р точки поля, как будет показано ниже, может считаться обос нованным. Вместе с тем, во многих задачах ин женерной практики возникает потребность в ана литических выражениях напряженности магнит ного поля проводника с током, включающих обе координаты точки поля (р и а), применимых к областям конечных или неограниченных раз мером. К числу таких задач принадлежат задачи о магнитных полях в линейных концентрически расположенных средах с различными значениями магнитной проницаемости /л. Некоторые из них рассмотрены в [2] применительно к двум и трем средам. Причем в последнем случае исследо валось лишь магнитное поле в воздушном зазоре электрической машины.
Аналитические выражения, описывающие магнитные поля во всех концентрически ори ентированных средах (при числе сред, большем трех), к настоящему времени не известны. Таким
образом, возникает необходимость в разработке общей методики решения этих задач. В, этой связи в статье сделан обзор известных решений и разработан алгоритм построения аналитических выражений напряженности магнитного поля про водника с током в пяти линейных средах (рис. 1)
Рис. 1
в качестве иллюстрации предлагаемой методики. При определении напряженности магнитного поля Н используется понятие векторного по тенциала A: H-TotA. Такое введение векторного потенциала дает некоторые упрощения записей соответствующих аналитических выражений по сравнению с чаще используемым в литературе
соотношением: B=wtA.
Применение понятия векторного потенциала [2, 3, 4], как отмечается в [4], позволяет упростить решение многих задач. На использовании этого понятия основан, в частности, метод так на зываемых возмущенных потенциалов [4]. Этим методом удобно пользоваться, если известен не возмущенный (начальный) потенциал.
Для неограниченной однородной воздушной среды
Az = ±\nrez, |
(2) |
где / — ток проводника (нити); г — расстояние
52 |
Загрядцкий В.И., Кобяков Е. Т. |
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 2/2000 |
от проводника до расчетной точки пространства; 12 — единичный вектор (орт) по оси г.
Направление тока / принято противоположным оси г, т.е. «от наблюдателя». В дальнейшем под Az будем понимать векторный потенциал напря женности плоского магнитного поля, что позво ляет индекс г не указывать.
При отсутствии сторонних (внешних) источ ников тока в точках поля векторный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в ци линдрической системе координат при независи мости А от координаты z имеет вид:
I |
дА |
Л± + ± !2i = о |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
¥ |
др2 |
да |
|
|
|
|
|
|
|
где р, а — полярные координаты точки поля. |
|
|
|
|
|
|
||||
Для вектора напряженности Н плоского маг |
|
|
|
|
|
|
||||
нитного поля нити при направлении тока «от на |
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
||||
блюдателя», имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
~й - I М~ _ М~ |
(4) |
Ао~"к |
In г + |
т-Ц-^ In |
l-2-^pcosa+^p |
2 |
; (5) |
||
|
|
р Ьаер |
дреа' |
|
/*1+/<0 |
|
где ер, еа — орты, соответствующие координатам
р, а.
Уравнение (3) является основным для каждой из сред, указанных на рис. 1.
При решении системы уравнений вида (3) дол жны быть учтены условия на границах раздела сред [2, 4]: равенство нормальных составляющих В„ вектора магнитной индукции и тангенциальных составляющих Ht вектора напряженности магнит ного поля (при отсутствии_поверхностного тока). Причем условие равенства Вп удобно заменить ус ловием равенства векторных потенциалов поля В на поверхностях раздела сред. Принимаем следу ющие допущения:
1) размеры наружной среды неограниченны, а внутренняя среда занимает всю центральную область;
2)размерами сечения проводника с током пренебрегаем, рассматривая его как нить неог раниченной длины;
3)влияние вихревых токов не учитываем. Аналитическое решение поставленной задачи
определения напряженности магнитного поля в каждой из соосно расположенных кольцевых сред при соблюдении всех граничных условий полу чим путем последовательного применения метода возмущенных потенциалов [4]. Для схемы с дву мя средами (рис. 2,Й) выражения векторных по тенциалов в точках внутренней (А0) и наружной (Ах) областей известны [2, 4].
Принимая во внимание многозначность век торных потенциалов, определяемых с точностью до аддитивной постоянной, представим эти вы ражения в виде.
А |
^Тп |
l n r - ^ l n |
l-2-cosa |
+ ^r |
, (6) |
|
|
Р |
о2 |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
г = Vi?z - 2pRcosa + р2 |
|
(7) |
|
Но> Iм 1 — |
магнитные |
проницаемости |
внутренней |
и наружной сред; R0 — радиус кольцевой границы внутренней области; R — радиус размещения проводника с током.
Аналогичные выражения получены для схемы по рис. 2,6 [2], которые в наших обозначениях
имеет |
вид: |
|
|
|
|
|
A0"t |
Inr + |
^ l n |
R0 |
R0 |
|
|
l-2TrRp-cosa + R-2ГТp2 |
(8) |
|||||
- |
2я |
l n r - ^ l n |
1 - 2' £ cos a + |
(9) |
||
|
,«2+<"0 |
|
|
|
||
где R2 |
— РадиУс кольцевой границы внутренней |
|||||
области; |
fi2> Но — |
магнитные |
проницаемости |
|||
внутренней и |
наружной сред. |
|
|
С целью более полного решения задачи для случая трех сред, чем это сделано в [2], вос пользуемся формулами (5), (6), (8), (9) и найдем векторные потенциалы напряженности поля в каждой из трех сред (рис. 2,в). В соответствии с методом возмущенных потенциалов имеем:
A^Ai+AAi, А2=А2+АА2; |
А01=А01+АА0Ъ |
|
R^p^Rj. |
(10) |
|
А02 |
= ^02 + АА02 , R2^p^R, |
|
где |
знаком ~ отмечены |
неискаженные (исход- |
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» Ns 2/2000 |
Магнитные поля проводника с током |
53 |
ные) потенциалы напряженности поля, а доба вочные потенциалы, учитывающие взаимное вли яние сред, обозначены ДЛ, — с индексом, ука зывающим на принадлежность к соответствую щим средам.
Все слагаемые, входящие в (10), должны удов летворять уравнению Лапласа (3). JIpH этом Ау
определяется по |
выражению |
(6), ^ |
— по (9), |
А(п — по (5) с заменой R0 на R±, A02 |
— по (8). |
||
Для искомых |
добавочных |
потенциалов, в со |
ответствии с известным решением уравнения Лапласа (3), полученным методом разделения
переменных |
(метод Фурье), |
принимаем: |
|||
СО |
|
|
|
00 |
|
АА{ = J^^D^ |
cos па; |
АА2 |
= ^ рп ф |
cos па ; |
|
п=\р |
|
|
|
п = \ |
|
АА01 |
= 2(р"Ф |
+ |
±„^пАсо$па; |
|
|
|
|
п=А |
р |
I |
|
А^02 = 1 |
[р" Ф_ + ±D®i\ cos na , |
(11) |
где D["\ ф , С&>, D®, C$, D® должны оп ределяться из граничных условий:
Из (10) с учетом (13) и (14) окончательно имеем:
А^± |
lnp |
|
1 |
°° |
|
|
|
|
||
/'1 |
+fon^1np' |
|
|
|
||||||
i?!«p«0O |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л л = ^ |
1„ |
Л |
V |
^ ^ |
^ ' i ^ ' o |
£Р"Д": |
^ Л " |
с |
«а |
|
l n p - |
> — |
— - — |
- — — |
cos |
||||||
4)1 |
2л |
|
|
„ = ! " |
И + / ' 0 |
Rl" |
Р |
|
|
|
RZPZRL; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
Аю=+- |
|
|
№ |
( р \ ^ < 0 *1" |
|
|
||||
|
"Ч |
« |
Л"-+А'2+/'од"Л" cos /га |
|||||||
|
2л |
|
||||||||
Д 2 « р « К ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2л |
|
|
2/<о |
2 |
[k^j-cos |
na |
|
|
|
|
|
f4 |
+ t\~A |
* nR" |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0«р^й2
fl\Al lp = «J _ /'n/ 1 01 \p=Rl '• f'2A2\p=R2~fl0A02\p
AaAp=R=AQ2\p=R'' |
|
|
|
дА, |
МГ |
дА-, |
дА, |
ty\p=R1 |
а Р1р=к/ |
ty\p=R2 |
Ф1р=Я2 |
дА01 |
дА02 |
|
|
Up\p=R |
¥\p =R |
|
|
Решив систему алгебраических (12), находим:
= R2 |
Приводим выражения для радиальных и тан |
|
генциальных составляющих напряженности маг |
(12) |
нитного поля в трех средах (рис. 2,е), полученные |
согласно (4): |
TJ |
- |
00 |
|
; 4"о |
V R" jfnl • |
||
|
|
п=1н |
smna |
|
|
|
уравнений
J R" f'l " / ' О
|
|
|
|
|
|
Inn R" |
|
V~ |
2я/1 |
R" |
|M 2 + J"0 |
" |
|
||
(#) = |
J_ |
± |
J?o_ (1_k<n)y |
|
|||
D(n) = |
Inn |
z±.RnJ^-{1_Un)) |
|
||||
1 |
^ i + Z ' o |
|
* |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иг-Ио |
R\" |
|
|
k[n) = |
l |
|
+ i"2+i"0 |
R2n |
|
|
|
|
l |
- Pi-Po /<2_<"o Rl" ' |
|||
|
|
|
l |
+ |
|
|
2n |
|
№ = |
|
|
/<i+,"o R-l |
|||
|
|
|
|
|
|
t'l-Po /"2~/'0 ^ f ' /<i +/'0 /'2 +/'0 Rf'
|
Я1«_ " £ |
|
|
п = 1 |
н |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R^p^OO; |
|
|
|
(16) |
(13) |
|
^ 1 |
|
[л1+/,0 Л2„ |
%»+ l J b m /?a |
|
|||
|
Но1Р~2л~ |
|
|
||||||
|
^ O l a - |
2л |
|
VU") f^i^'o P"~V _ Ж- |
cos na, |
||||
|
|
„=l V'l+/'u Rl" |
Pn+ 1 |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
R^p^Ri; |
|
|
|
(17) |
|
|
|
|
|
(^ |
|
<0 |
R 2 |
|
|
Я02/>~2л" |
|
|
'n-)TS.-l,A<2~A |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(14) |
Яz т „ - |
— |
^ |
л |
2 ^ |
,. +„ |
,,,+ U,, cos /га |
||
02 |
2л |
|
|||||||
|
|
|
|
|
^2+/'0 |
p"+iR' |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18) |
54 Загрядцкий В. И.,
|
2"о |
V U P " " 1 |
|||
Н^Р~Ъг |
/<2+<"о |
2w>- |
sin па |
||
|
|
п = 1 |
|
|
|
Н2а ~ TZ |
2/'о |
2 |
*? |
) f,i."-1 |
|
^ - |
|
—cos/ia |
|||
|
|
и = 1 |
|
|
|
|
0 « р = ё Д 2 |
|
|
(19) |
Выражения (16—19) удовлетворяют всем гра ничным условиям, в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой.
Рассмотренная нами задача (рис. 2,в) в более простой постановке решалась в [2], где магнитные проницаемости статора и ротора принимались равными, а в качестве исходного (неискаженного) потенциала принималось выражение вида (2). В результате были найдены составляющие на пряженности магнитного поля только для воз душного зазора.
Заметим, что сопоставление выражений (17),
(18)с соответствующими им выражениями из
[2]для указанного частного случая показывает их полное совпадение.
Предложенная методика, на наш взгляд, яв ляется более гибкой, так как ее применение по зволяет решать аналогичные задачи при большем числе сред, в то время как использование из вестной методики [2] при числе сред, большем трех становится нерациональным из-за громозд ких выкладок, требующих значительных затрат времени.
Прежде чем перейти к решению поставленной задачи (рис. 1), рассмотрим решения двух вспо могательных задач (рис. 2,г и рис. 2,д), которые могут представлять и самостоятельный интерес. В случае трех сред при расположении проводника с током во внутренней области (рис. 2,г) при нимаем:
AQ=A0+AA0; АХ=АХ+ЬА^ А2=А~2+АА2, (20)
где А0, Ах определяются соответственно по вы ражениям (5), (6), а А2 — по (6) с заменой
Hi на ц2">
|
00 |
|
|
&А0 |
= 2Р"Ф |
COS па; |
|
|
n = i |
|
|
|
00 |
|
|
ААх |
= ^(р" |
Cf) + ^Z)f)) cos па ; \ |
(21) |
|
л=1 |
|
|
Д ^ 2 = 2 ^ ^ 2 И ) С 0 5 Ш . |
? |
Постоянные, входящие в (21), определяются из граничных условий, аналогичных (12).
Опуская выкладки, приводим окончательный результат:
Кобяков Е. Т. |
|
|
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № |
2 / 2 0 0 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 ^1 |
/'i~i"2 |
R2n |
|
/<i-/<o |
|
|||
А |
о = Г„ |
2 /<l+i"0 |
,"l+ /'2 |
•ЦьЧп-- |
/<l+/<0 |
|
||||||||
|
R\n |
" ' |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
п = \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?2л |
|
\ |
|
|
|
|
|
O^p^R; |
|
|
|
|
|
|
э2л |
|
R"n cos/га |
, |
|
(22) |
|||||
Ao = i lnp + |
2 |
|
|
|
/'l~/'2 |
J _ |
|
|||||||
fl+f^O |
-"l+<"2 |
R2"^" |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
/t=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i " l |
_ |
i "0 |
1 |
^ R"p""" '•" |
D |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
R" |
cos na |
, R^p^R0; |
(23) |
|||||||||
|
<"l+<"0 |
Rl" |
n |
|
np' |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
lnp + Y |
I * |
' |
—, |
|
1 ?/,, — cos na |
|||||
* - |
|
= |
|
|
n=i\f |
[th+thH f'2 Ri |
2 |
P |
> |
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
R0^P^Rt; |
|
|
|
|
|
(24) |
||
|
A, |
|
= 4 |
|
|
|
2fth |
|
R" |
|
|
|||
|
|
1 |
v< |
4*t |
R" |
|
|
|||||||
|
|
|
|
2л |
|
n = l |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
R^p^oo |
|
|
|
|
|
|
(25) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In |
|
|
^o |
1 |
i " l - / * Q / ' l ~ i " 2 |
^ o " |
|
(26) |
||||||
f*o+f*i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При расположении |
проводника с током в на |
ружной (бесконечной) среде (рис. 2,д) входящие
в |
(20) |
слагаемые |
определяются соответственно: |
||||||||
Я0 |
— |
по |
(8) |
с |
заменой |
ц2 |
на |
цх |
и |
R2 |
на |
Rx; |
Ах |
— |
по |
(9) |
с заменой |
ц2 |
на |
Ц\, Л2 |
— |
||
по |
(9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЛ0=2-„£>№cosna; |
М.2=^рпфcosna; |
|
|||||||||
|
л = 1 / 3 |
|
|
" |
л = 1 |
|
|
|
(27) |
||
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
||
^ 1 = X [рп С[п) + ^Мп ) ) c o s « a • |
|
|
|
|
|||||||
|
Граничные условия формулируются аналогии |
||||||||||
но |
(12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательные |
выражения |
векторных |
потен |
|||||||
циалов |
(рис. |
2,д) |
имеют |
вид: |
|
|
|
|
|||
А0~2^ |
|
|
|
и.+и"2 |
<*п |
|
и.+и*1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
Л " Р " " |
R" п cosna |
|
Я ^ р ^ Д ; |
(28) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Л о - ^ |
|
|
il^l+^O <"l+<"2 2 |
" |
/4l+f*0 |
1 |
|
||||
|
|
|
/l = l\\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x — |
|
—i cos na |
, Д « р « о о ; |
( 2 9 ) |
|||||
|
|
R"p"n |
np" |
|
|
|
|
|
|
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 2/2000
2 >'l-"2 Rl"
*1=± t'i+t'l р' Т-Р
LIT X I |
2/< |
-Г— Х,п "^Т |
|
11=1 |
/<1+/<2 " ПК |
|
Магнитные поля проводника с током |
55 |
nR"- cos па
(30)
c o s «,с 0*£р«Д2,(31)
которых преобразований приходим к следующим аналитическим выражениям векторных потенци алов напряженности магнитного поля в каждой из пяти сред по рис. 1:
A -J-Y |
f2/<2г Й £— |
cosna, |
0^p^Rx; |
|
п = 1\ |
|
|
|
|
A2=^2^n |
У |
M2-Mi Rf |
cos na, |
|
nR" |
fh+f'i |
nR"p" |
||
п = \ |
|
|
|
|
где
С = |
/'1 "/'и /'j-^'2 |
2|_ |
(32) |
^'о + / ' J |
|
Решения двух последних задач используем при отыскании векторных потенциалов напря женности поля в каждой из пяти сред при рас положении проводника с током согласно рис. 1.
В соответствии с принятыми на рис. 1 обоз начениями принимаем:
А |
1=А1+АА1;А2=А2^-АА2;А32-А3-2+^3,2' |
(33) |
А4=А4+АА4;АЗА=АЗА+ААЗА;А5=А5+АА5, |
|
jRi«p«i?2 ;
|
|
( o" |
Rl" V'„) |
|
A*p-=hhnl V^ + |
^\Cosna,R2^R; |
|||
2 л • |
|
|
|
|
^ 3 , 4 = ^ |
lnp + 2X V |
, PnR"K"cos na |
||
|
|
|
|
nR*" |
|
|
/!=1 |
np" + |
|
|
|
|
(35) |
|
|
|
|
|
|
R^p<R3; |
|
|
|
|
*-£ |
|
|
R" |
nDn\ |
|
/1=1 |
^S'CA p'W |
||
|
|
/'5+/"4 n/?f cosna |
||
|
top+2n„PnИр" |
Выражения невозмущенных потенциалов, вхо дящих в (33), получим соответственно:
Я[, Я2, Я32 — из (31), (30), (28) заменой цг
на Ц2, /<2 н а Iм 1> <"0 н а |"3'> ^ 2 н а ^ 1 > |
^ |
1 н а ^ 2 - |
Я3.4. Я4, Я5 — из (23), (24), (25) |
при |
замене |
Hi на fi4, /<2 на ц5, /<o на ц3; Rx на R4, #о |
на R3. |
При этом £„ определяется из (32), a пп — из (26) при соответствующих заменах, указанных выше.
Для добавочных потенциалов принимаем:
Д^! = J, pnC{") cos па;
«=1
|
00 |
|
|
^ 2 |
= 2 (р" C§») + - ^ Й cosncr; |
|
|
^X2 |
=л2[p= 1 |
nC^ + -nD^cosna |
(34) |
|
|
|
^з.4 = 2 \рпcfsX + -пЩ\ cos»G;
п = 1
R3^p^R4;
2л «"P+Sl^A^r cos na
/i=i
R4t£pnoo (
где
к- |
f*4 + fl3 |
1 - |
2/< 4 V,, |
|
|
|
||
f4 |
- / ' 3 |
fU+f<3 |
' |
|
|
|||
|
hi |
+ -"3 |
1 - |
ъч*А |
|
|
||
V„ =<"2~<"з |
/ ' 2 + i " 3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2и\ |
/ |
»2и |
\ |
(36) |
|
|
|
R |
- 1 |
||||
|
|
|
|
А ^ Л ^ - 1 |
|
|||
|
|
|
лз / |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Л2,Л |
/ |
г,2я |
\ |
|
|
Рп= |
|
\1+Ч>пф |
Хп*Рп-±-1 |
|
|
^ 4 = 2 fc"С4П) + ^ Я Й cos m ;
л = 1
АА5 = J^-D^ cos па.
Входящие в (34) постоянные определяются из граничных условий, имеющих вид, анало гичный (12).
Определив искомые постоянные, после не
При этом
£=fi + ^ ~ % |
- 1 |
; |
1+ |
^ f ^ l |
-< |
37 |
|
Q " i + 2^3 " |
|
|
п„= |
|
|||
где |
|
|
|
|
2и |
|
|
^1-^2 |
D2H |
|
. fs-f'4 |
*3 |
|
|
|
V . |
|
|
(38) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
При контроле правильности вычислений удоб но пользоваться зависимостями:
5b |
Загрмдцкий В.И., Кобяков Е.Т. |
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 2/2000 |
|
' - |
ч>„. |
>/„= |
|
-- ,_л' ; |
||
|
|
|
~ 2-s„ ' |
ft, |
l+V"R^ |
(39) |
|
|
|||
о« |
, |
. Я2" |
' |
|
|
"Rf |
|
Приводим выражения радиальных и танген циальных составляющих напряженности магнит ного поля, полученные из (35) согласно (4):
|
и |
= _ -L V / о h2 |
|
и - 1 |
|
|
|||
|
г в Ё— |
sin |
па; |
||||||
|
"ЛР |
|
гпЬ |
|
ftl+f,2^u" |
Rn |
|||
|
|
|
|
( |
2*12 |
|
- ' - 1 |
cos ив, |
|
|
Н.„ = - ^ У Н г - 5 » 9 » Н |
||||||||
|
|
|
1Л — |
/li+/<2 |
Я" |
|
|
||
|
|
|
|
0 ^ « i ? i ; |
|
|
(40) |
||
.й =J_ 2 ( |
^ |
_^L- _ (Tl\ Kn вп sin ш , |
|||||||
Я |
2 « - " |
0_т тv l ' 2 . i |
•_* |
+ £ — \ Z „ e n c o s n a , |
|||||
|
Е |
|
|
И, |
11+ 1 |
D " |
' " |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(41) |
|
Я 3.2р |
|
|
/ > - l |
|
Л?" i |
, sin л с ; |
||
|
2л: |
^ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
%2« = - ^ X |
« |
|
XT |
&n c |
o s n a i |
|||
|
|
|
n = l |
R" |
|
R"p"+i\ |
|
|
|
|
|
|
|
R2^p^R; |
|
|
|
(42) |
Из (40)—(45) как частные случаи могут быть получены соответствующие выражения Я и Яй для рассмотренных выше задач при меньшем числе сред, например (16)—(19).
Воспользуемся первой формулой (42) для оп ределения радиальной составляющей напряжен ности магнитного поля в кольцевом зазоре между статором и ротором электрической машины, об разованной двумя концентрическими цилиндра ми из материала с бесконечной магнитной про ницаемостью [1], и подтвердим тем самым про стую формулу (1). В этом случае имеем:
А'1=/'2 = |
/ ' 4 = / ' 5 : : 00 |
|
|
|
|
|
|
||||
£„=0; |
(7„=0; |
Я = 1 : |
|
*»„ = !: |
|
|
|
(46) |
|||
|
|
|
|
|
|
( |
,л„\ |
|
Эй \ |
||
|
1 + |
|
|
|
•Jn = |
/tfn |
|
«2 |
|
||
»„» |
RI"~ |
1+- |
|
|
— 1 |
|
|||||
|
|
|
Л2л |
|
|
|
|||||
При расположении нити с током у повер |
|||||||||||
хности |
статора, |
т.е. |
|
при |
R=R3, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
02п |
\ |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
Ri |
|
|
|
|
|
|
Согласно |
(42) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
о2» \ |
|
32п\ |
- 1 |
(47) |
||
|
|
п = 1 |
Rn3 |
+' Rn3p"+ 1 |
|
р2п |
sin na. |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R, |
1-± |
|
|
|
|
(48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R3 |
|
R3> |
|
|
|
|
H3Ap-'T^"Z, |
00 |
V ' " ^ " ^ |
, |
R" |
/Зп sin /га, |
и |
полагая |
|
|
|
|
|
|
|
(49) |
||||||
|
|
|
|
И+1 |
|
p = R3-ed |
= |
|
|
R3\l-ej |
|||||||||||
|
|
|
;i = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ „ " - V ' J |
|
|
|
где |
е — |
вспомогательная |
|
переменная |
(O^e^l), |
||||||
|
|
|
|
|
03 |
|
|
|
преобразуем (47) |
к |
виду: |
|
|
|
|||||||
Я3,4a |
|
|
- ^ |
1 + 2 |
|
,ъ, |
|
. . " +1 |
/3„ cos яа |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
и = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - Е —<5]2" + |
(,1 - - 6\2v |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(43) |
яz3pР л<5 ZJ |
( |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S]v+i |
|
|
S \2v sinva. (50) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з -^2 |
|
|
|
1 |
- |
1 - |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = l |
l |
- £ |
|
|
|
||||
4Р |
|
2л |
^ |
\Нс+Нл5/ 4 |
о2" |
„л +-11 |
' « г « |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
, , t l ^ |
' |
*'" |
|
' Р" |
|
|
|
Для сравнения приводим разложение функции |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
в ряд |
Фурье |
[1]: |
|
|
|
|
|||
ч " |
|
2л р |
Z . U5 + ( „4 |
Л2п |
|
п + 1 'nfn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n = lV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(51) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3*zp<R4; |
|
|
(44) |
|
Сопоставление (50) и (51) показывает, что |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Я< |
= |
|
— X( - ^ -~> |
- ^ U ^ s i n / i a , |
амплитуды |
гармоник |
имеют |
более |
сложную |
||||||||||||
|
структуру, |
|
чем |
в |
разложении |
(51), полученном |
|||||||||||||||
? |
|
|
|
и = 1 |
|
|
|
|
|
|
на основе приближенной формулы (1). При ма |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лых cVi?3, пренебрегая их произведениям,^вы- |
||||||||||
#5« |
- |
|
|
I _ V |
^ |
R |
|
R |
ражение |
(50) |
нетрудно |
представить |
в виде |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Р |
^ |
/<4+/<5 |
|
Р"+^ПРП cos «a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
/1 = Ц |
|
И |
|
|
|
|
|
#3P = |
^ 2 v s i |
n | / a > |
(52) |
|||||
|
|
|
|
|
'R4^p<oo. |
|
|
(45) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v=l |
|
|
|
|
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 2/2000 |
Магнитные поля проводника с током |
51 |
где
г(0.5 - Е) (d/R3) 1 ~i
откуда следует, что в средних точках кольцевого за зора, т.е. при f = 0,5, значения Нр, найденные по (52) и (51), совпадают, что подтверждает справед ливость формулы (1) при малых d/R3.
Вместе с тем, формула (50) является более общей, так как дает закон распределения Н в кольцевом зазоре при любых 6/R3.
Вывод. Предложенная методика формирова ния аналитических выражений векторных потен циалов напряженности магнитного поля, создан ного проводником с током в линейных кон центрически ориентированных изотропных сре дах, достаточно универсальна и может быть рас пространена на число сред, большее пяти, а полу ченные расчетные зависимости для векторных потенциалов и компонент напряженности поля будут полезны в практических электротехниче ских расчетах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Геллер Б., Гамата В. Дополнительные поля, моменты
ипотери мощности в асинхронных машинах / Пер. с
чешек. Под ред. Ф.Н. Юферова. — М.; Л.: Энергия, 1964. 2. Милош Штафль. Электродинамические задачи в элек
трических машинах и |
трансформаторах / Пер. с чешек. |
В.И. Васина. — М.;Л.: |
Энергия, 1966. |
3.Нейман Л.Р., Калантаров ПЛ. Теоретические основы электротехники. Часть третья. — М.; Л.: Госэнергоиздат. 1954.
4.Брынский Е.А., Данилевич Я.Б., Яковлев В.И. Элек тромагнитные поля в электрических машинах. — Л.: Энергия. 1979.
[22.05.9Sj
Авторы: Загрядцкий Владимир Иванович
окончил электротехнический факультет Горьковского политехнического института в 1954 г.
В |
1973 г. защитил докторскую диссертацию |
по |
теме «Исследование совмещенных электриче |
ских машин (основы теории машин и устройств с вращающимся магнитным полем и разнопо люсными обмотками)» в Харьковском политех ническом институте. Заведующий кафедрой элек тротехнических дисциплин Орловского государ ственного технического университета.
Кобяков Евгений Тихонович окончил меха нический факультет Всесоюзного заочного ин ститута текстильной и легкой промышленности в 1965 г. В 1995 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме «Анализ и синтез дина мических систем в задачах проектирования ис пытательных машин осевого циклического нагружения и роторов» в Орловском государственном техническом университете. Доцент кафедры тео ретической механики и сопротивления матери алов этого университета.