Решение типовых примеров
Пример 5.1. В корзине 60 мячей, из которых 20 новых. Наугад вынимают 3 мяча. Найти вероятности следующих событий: а) только один из них новый? б) хотя бы один из них новый?
Решение. Рассмотрим следующие события:
{ первый мяч новый }; { первый мяч старый };
{ второй мяч новый }; { второй мяч старый };
{ третий мяч новый }; { третий мяч старый }.
{ только один из 3-х вынутых мячей новый }.
{ хотя бы один из 3-х вынутых мячей новый }.
а) Вычислим вероятность события В. Рассмотрим произведения из трех событий, в которых только один мяч новый. Напомним, что произведение событий – это их совместное наступление.
{ 1-й мяч новый, 2-й мяч старый, 3-й мяч старый };
{ 1-й мяч старый, 2-й мяч новый, 3-й мяч старый };
{ 1-й мяч старый, 2-й мяч старый, 3-й мяч новый }.
Событие В может произойти любым из перечисленных способов, т.е. оно представляет собой сумму этих произведений
.
Учитывая, что перечисленные события попарно несовместны воспользуемся формулой сложения вероятностей (5.3)
(5.9)
Вероятность произведения из трех событий A вычислим по формуле умножения вероятностей для зависимых событий (5.5)
.
Вероятность события определяется согласно формуле (4.1)
,
где 60 – общее число мячей, 20 – число новых мячей.
Вероятность события определяем при условии, что событие уже произошло
,
где 59 = (60 – 1) – общее число мячей, оставшихся после изъятия первого мяча, 40 – число старых мячей среди них (которое не изменилось, т.к. вынули новый мяч).
Вероятность события определяем при условии, что события и уже произошли
,
где 58 = (60 – 2) – общее число мячей, оставшихся после изъятия первого и второго мяча; 39 = (40 – 1) – число старых мячей, оставшихся после изъятия второго (старого) мяча.
Вероятность искомого события равна произведению
.
Далее вычисляем аналогично:
.
.
Вероятность события В согласно формуле (5.9) равна сумме:
.
б) Рассмотрим событие, противоположное событию С: {все мячи старые}. Оно состоит в совместном появлении трех событий: , , , т.е., событие образуется как их произведение . Поэтому вероятность противоположного события вычисляем по формуле (5.4)
,
.
В результате вероятность искомого события C определяется
.
Ответы: а) 0.456; б) 0.711.