3. Поверхности 2-го порядка
На практике наиболее часто используют функции, содержащие целую степень независимых переменных, не превышающих двух. Графики таких функций называют поверхностями 2-го порядка. Для случая функции двух переменных существует пять типов поверхностей 2-го порядка. Их уравнения и графики перечислены ниже.
z
y
x
Рис. 5. Эллипсоид
z
y
x
Рис. 6. Однополостный гиперболоид
z
y
z
z
Рис.7 Двуполостный гиперболоид
z
y
x
Рис. 8. Эллиптический параболоид
z
y
x
Рис.9. Гиперболический параболоид
Задание 2. Дано уравнение линии на координатной плоскости. Найти уравнение поверхности вращения вокруг одной из осей координат и сделать схематический чертеж. Сделать тоже для другой оси.
-
№
Уравнение линии
№
Уравнение линии
1
16
2
17
3
18
4
19
5
20
6
21
7
22
8
23
9
24
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
15
30
Типовой пример. Дано уравнение линии на плоскости. Найти уравнение поверхности вращения вокруг одной из осей координат и сделать схематический чертеж. Сделать тоже для другой оси.
Решение. Сначала найдем уравнение поверхности вращения вокруг оси y. Используем правило: переменная y остается без изменения, а вместо переменной z вставляется выражение . Получаем уравнение поверхности вращения или . Это уравнение эллипсоида вращения с полуосями a= , b= , c= (см. рис. 5).
При вращении линии вокруг оси z получаем уравнение поверхности вращения , которое тоже является уравнением эллипсоида вращения, но с другими с полуосями a= , b= , c= .
Задание 3. Даны уравнения поверхностей в пространстве. Построить схематично каждую поверхность в отдельной системе координат; используя эти чертежи, построить тело, ограниченное данными поверхностями.
№ |
Уравнения поверхностей |
1 |
; ; ; ; . |
2 |
; . |
3 |
; ; . |
4 |
; . |
5 |
; ; . |
6 |
; ; ; . |
7 |
; . |
8 |
; . |
9 |
; . |
10 |
; ; ; ; . |
11 |
; ; y=0; z=0 |
12 |
; ; x=0; y=0; z=0 |
13 |
; x+y=2; x=0; y=0; z=0 |
14 |
; x+y=1; x=0; y=0; z=0 |
15 |
z=6-y; y=x2; y=4; z=0; (y≤4) |
16 |
z=2y; ; x=0; z=0 |
17 |
z=x2+y2/3; x+y=3; x=0; y=0; z=0 |
18 |
z=2x; y=x2/2; x=2; y=0; z=0 |
19 |
; x+2y=2; x=0; y=0; z=0 |
20 |
z=y2+2; x=3; y=2; x=0; y=0; z=0 |
21 |
z=9-y2; y=x; y=3; x=0; z=0 |
22 |
; x+y=3; x=0; y=0; z=0 |
23 |
z=x2/4+y+1; x+y=4; x=2; x=0; y=0; z=0 |
24 |
; x+y=3; x=0; y=0; z=0 |
25 |
z=x+y+2; y=2x; x=3; x=0; y=0; z=0 |
26 |
z=x2+y2; y=x; y=2x; x=2; z=0 |
27 |
z=6-x-y; 2x+y=4; x=0; y=0; z=0 |
28 |
z=12-3x2; 2x+y=4; x=0; y=0; z=0 |
29 |
z=x2+1; 4x+3y-12=0; x=0; y=0; z=0 |
30 |
z=3x+2y; ; x=0; y=0; z=0 |
Типовой пример. Даны уравнения поверхностей в пространстве , , , , . Построить тело, ограниченное данными поверхностями.
Решение. Заданное тело ограничено бесконечным круговым цилиндром с радиусом , координатными плоскостями и плоскостью (см. рис. 10)
z
y
x
Рис. 10