образом, чем больше величина σ, тем технологически проще один фактор производства заменить на другой.

Наиболее используемыми видами производственных функций являются: производственная функция с эластичностью замещения, равной нулю (производственная функция В. Леонтьева); производственная функция с эластичностью замещения, равной единице (производственная функция КоббаДугласа); производственная функция с постоянной эластичностью замещения (производственная функция CES).

Производственная функция В. Леонтьева имеет вид:

X = min (K/a, L /b),

где a, b – заданные величины, a означает фондоёмкость продукции и b – трудоёмкость продукции. Переменными являются затраты капитала и труда.

Производственная функция Кобба-Дугласа:

X = A×Kα×Lβ,

где A, α, β – заданные константы. Для этой производственной функции эластичность выпуска по капиталу равна α и эластичность выпуска по труду, равна β. Предельная норма замещения (s) равна s = (β/α)×k, где k = K/L. Эластичность замещения:

σ =

Функция производства с постоянной эластичностью замещения (CES):

X =A(aK-p+bL-p)-1/p,

где A, a, b, p – заданные константы. Для этой функции эластичность замещения:

σ= .

4.3.Задача оптимизации затрат факторов производства

Одним из главных вопросов для производителя является достижение состояния сбалансированности производства и выбор оптимальной комбинации ресурсов. Рассматриваемая задача оптимизации затрат труда и капитала является частным случаем обширного класса оптимизационных производственных задач и всего лишь небольшим фрагментом теории фирмы. Но именно на примере этой задачи могут быть раскрыты некоторые фундаментальные соотношения, используемые в более сложных экономико-математических построениях.

59

Обозначим через pK цену единицы капитала и через pL цену единицы труда. Тогда совокупные расходы фирмы (N) на оплату производственных факторов равны:

(4.18)

Возможны различные постановки задач, описывающие то или иное поведение фирмы. Например, можно потребовать максимизации выпуска продукции:

(4.19)

при заданных совокупных расходах N.

Можно потребовать минимизации совокупных расходов при данном объёме производства X. Возможна и такая постановка задачи, когда требуется максимизация прибыли. В результате решения этих задач получаются схожие условия оптимальности.

Рассмотрим их на примере задачи (4.18) – (4.19). Запишем функцию Лагранжа для этой задачи:

(4.20)

Найдём частные производные этой функции по и приравняем их к нулю. В результате получим следующую систему уравнений:

(4.21)

(4.22)

(4.24)

Используя уравнения (4.21) – (4.22), находим:

То есть при оптимальных расходах фирмы на используемые производственные факторы отношение предельных производительностей факторов равно отношению цен на них. Из этого равенства вытекает, в частности, что условием оптимизации расходов фирмы является равенство предельной нормы замещения отношению цен на производственные факторы:

60

Решая систему уравнений относительно неизвестных K и L, находим функции затрат производственных факторов от цен на факторы и совокупных расходов N:

(4.27)

(4.28)

Таким образом, поведение фирмы на рынке может быть описано либо в виде оптимизационной задачи (4.3.1) – (4.3.2), либо в виде системы функций спроса на производственные факторы (4.3.9) – (4.3.10).

Обозначим предельные производительности труда и капитала

и .

Для однородной первой степени производственной функции, следовательно, имеем:

или

Следовательно, величина, обратная множителю Лагранжа (1/), равна добавленной стоимости в расчёте на единицу продукции при оптимальных затратах труда и капитала. Обозначим (1/) через (p – a). Допустим a – известные расходы сырья и энергии в стоимостном выражении в расчёте на единицу продукции. Тогда p – теневая (внутренняя) оценка единицы продукции, и выручка может быть представлена как сумма издержек производства, включая и плату за капитал:

В этом случае условия оптимальности могут быть записаны следующим образом:

Иначе говоря, при оптимизации затрат предельная производительность капитала в денежном выражении равна плате за капитал, а предельная производительность труда в денежном выражении равна заработной плате.

61

4.4. Определение капитальной цены факторов производства

При определении капитальной цены фактора производства как нынешней ценности доходов, ожидаемых от него за ряд будущих периодов, необходимо ответить на вопрос: чему сегодня равна ценность блага, гарантированное получение которого ожидается через определённое число периодов?

Ответ на этот вопрос покупатель фактора даёт на основе своей меры предпочтения нынешних благ будущим. В финансовых и инвестиционных расчётах, в которых капитальная цена факторов играет большую роль, эту меру называют дисконтом (дисконтной ставкой), а процесс приведения будущей ценности к настоящему моменту – дисконтированием.

Обозначив годовую дисконтную ставку буквой d, ценность гарантированного индивиду через год дохода в размере М денежных единиц равна для него сегодня М/(1+d) денежных единиц. Если от фактора производства в течение Т будущих лет ожидаются чистые годовые доходы в размере π1, π2, . . . , πТ, то их сегодняшняя ценность PV равна следующей сумме:

которая представляет капитальную цену фактора производства при гарантированных в течение срока его службы доходах. Если данный фактор можно приобрести за меньшую сумму, то такое вложение средств обещает чистый выигрыш. Разность между объёмом инвестиций I и капитальной ценой объекта инвестирования называют чистой текущей ценностью NPV:

(4.30)

Поскольку дисконтная ставка (мера предпочтения сегодняшних благ будущим) у каждого субъекта своя, то один и тот же фактор производства может иметь различную капитальную цену для разных индивидов. Когда в качестве дисконта используют рыночную ставку процента (i), тогда формула определяет объективную капитальную цену отдельного фактора производства (Pk):

. (4.31)

На практике любое предприятие финансирует свою деятельность, в том числе и инвестиционную, из различных источников. В качестве платы за пользование авансированным капиталом оно уплачивает проценты, дивиденды, несет расходы на поддержание своего экономического потенциала. Показатель,

62

характеризующий относительный уровень этих расходов, можно назвать «ценой» авансированного капитала. Предприятие может принимать любые решения инвестиционного характера, уровень рентабельности которых не ниже текущего значения показателя «цены» авансированного капитала. Именно с показателем цены авансированного капитала сравнивается показатель внутренней нормы рентабельности (IRR), рассчитанный для конкретного инвестиционного проекта. Его часто отождествляют с коэффициентом дисконтирования, поскольку первый чаще всего выступает в качестве ориентира, индикатора и выражает собой одно из значений последнего.

Внутренняя норма рентабельности (IRR) – ставка дисконтирования, при которой чистая текущая стоимость проекта (NPV) равна нулю, т.е. это та ставка сравнения, при которой сумма дисконтированных притоков денежных средств равна сумме дисконтированных оттоков.

При вычислении IRR предполагается полная капитализация получаемых чистых доходов, т.е. все образующиеся свободные денежные средства должны быть либо реинвестированы, либо направлены на погашение внешней задолженности. Это нижний гарантированный «порог» прибыльности инвестиционных затрат, и если он превышает среднюю стоимость капитала в данном секторе инвестиционной активности, то проект может быть рекомендован к реализации. IRR является граничной ставкой ссудного процента, разделяющей эффективные и неэффективные проекты.

Для потока платежей CF, где – платёж через t лет (t = 1,2,…N) и начальной инвестиции в размере внутренняя норма рентабельности (IRR) рассчитывается из уравнения:

(4.32)

или

IRR определяет максимальную ставку платы за привлекаемые источники финансирования проекта, при которой последний остаётся безубыточным. В случае оценки эффективности общих инвестиционных затрат это может быть максимально допустимая процентная ставка по кредитам, а при оценке эффективности использования собственного капитала – наибольший уровень дивидендных выплат. Например, если IRR равен 18%, это верхний предел процентной ставки, по которой фирма может окупить кредит для финансирования инвестиционного проекта.

63