5630

отбросить. Остаѐтся одна сила R, приложенная в точке А (рисунок 26,в).

Итак, рассматривая частные случаи 1 – 4, приходим к выводу, что произвольная плоская система сил приводится или к одной силе, или к паре сил.

1.9. Уравнение равновесия системы сил, произвольно расположенной на плоскости

Для равновесия тела или системы тел необходимо и достаточно, чтобы

главный вектор R сил, действующих на тело, главный момент этих сил относительно любого произвольно выбранного центр М0 были равны нулю, т.е.

R = 0; М0 = 0. Исходя из этих условий можно получить аналитические условия равновесия в трѐх видах:

1. Основная форма условий равновесия. Так как величина главного вектора

проекции главного вектора x = 0; y = 0. Следовательно, уравнения равновесия сил можно записать в виде

Fix 0, Fiy 0, M 0 (Fi) 0 .

Данные формулы выражают аналитические условия равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси координат и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

2. Вторая форма условий равновесия. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил

31

относительно любых двух точек А и В и сумма проекций этих сил на любую ось, не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:

M A (Fi) 0, M B (Fi) 0, Fix 0 .

3.Третья форма условий равновесия. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил

относительно любых трѐх центров А,В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

Примеры решения задач на равновесие системы сил, произвольно расположенных на плоскости

1. Определить реакции опор балки АВ, весом Р = 15 кН, находящейся под действием силы F1 = 40 кН, F2 = 30 кН и пары сил с моментом М = 30 кН м. Известны размеры АВ = 1 м; АD = 2 м; DE = 1 м (рисунок 27).

Рисунок 27 – Схема балки и приложенных к ней сил Решаем задачу согласно общему плану:

1.Выбираем объект равновесия – балка АЕ.

2.Показываем силы, действующие на объект равновесия, включая вес балки

Р(рисунок 28), приложенный в центре балки, С.

,

Рисунок 28 – Все силы, действующие на объект равновесия

32

3.Связи в точках А и D изменяем их реакциям: шарнирно неподвижная опора в т. А – две составляющие (ХА, УА) параллельно осям ОХ и ОУ; шарнирно подвижная опора в точке D – реакция RD перпендикулярна плоскости опоры.

4.К полученной системе сил применяем условия равновесия. Данная система сил произвольная плоская:

1)Xi 0; – XA + F2 cos 60º = 0;

XA = F2 cos 60º; XA = 30 12 = 15 кН.

2) M A 0; – F1·AB – P · AC + RD · AD – F2 sin 60º · AE – M = 0;

3) Yi 0; УA – F1 – P + RD – F2 sin 60º = 0; УA = F1 + P + RD + F2 sin 60º;

У = 40 + 15 + …+ 30 3 = 166,2 Кн.

2. Составная конструкция. Груз весом Р1 = 280 Н подвешен в точке Е к горизонтальной балке АВ весом Р2 = 160 Н. Балка АВ укреплена при помощи шарнира А и свободно опирается концом В на балку CD весом Р3 = 120 Н. Балка CD имеет шарнир С и концом D опирается на гладкую вертикальную стену;

балки однородные, их поверхности гладкие. Расстояния АЕ = 14 АВ, СВ = 13 СD.

Определить реакции опор А, С и D (рисунок 29).

Рисунок 29 – Схема конструкции балки с грузом

33

Решение Выбираем объект равновесия – вся конструкция. Показываем задаваемые

силы Р1, Р2, Р3. Связи заменяем их реакциями XA, УA, XC, УС, RB (рисунок 30). Имеем произвольную плоскую систему сил, находящуюся в равновесии. Из трѐх уравнений равновесия пять неизвестных определить невозможно, т.е. в таком варианте задача оказывается статически неопределимой. Однако если произвести расчленение конструкции на составные части АВ и CD и рассмотреть равновесие каждой из этих частей (рисунок 31), то задача становится статически определимой.

RD D

0

,

Рисунок 30 – Конструкция со всеми силами Рисунок 31 – Части объекта Запишем уравнение равновесия сил, действующих на балку АВ:

M A 0 , – Р1· АЕ – Р2 · АО + RР · АВ sin 30º = 0;

M B 0 , P2 · BO + P1 · BE – УА · ВА = 0.

У А 12 160 34 280 290Н .

Х 0 , –ХА – RB cos 30º = 0. XA = – RB cos 30º;

XA = – 300 23 150 3H .

Запишем уравнение равновесия сил, действующих на балку CD. Учтѐм, что

34

УC 300 12 120 270H .

Примеры решения задач на равновесие произвольной плоской системы

сил

Пример 1. Определить реакции опор балки АВ весом G = 25 кН, находящейся в равновесии под действием сил F1 = 100 кН и F2 = 200 кН и пары сил с моментом М = 50 кН м. Размеры балки НВ = 5 м, расстояния АС = 1 м, CD = 1 п, DE = 1 м (рисунок 32,а).

а) , б)

Рисунок 32 – Схема конструкции под действием заданных сил (а), реакций (б) Решение:

1.Объект равновесия – вся балка.

2.Задаваемые силы – G, F1, F2, M.

3.Связи в точках С и Е заменяли их реакциями (рисунок 32,б).

4.Имеем плоскую произвольную систему сил. Составляем уравнения равновесия:

Xi 0 ;

35

M C (Fi) 0 ;

F1 sin 60 AC F2CD G 12 AB RE CE M 0 ; RE (M G 12 AB F2 CD F1 sin 60 AC)CE ;

RE (50 25 2,5 200 1 100 23 1) 12 225,9 , RE = 225,9 кН;

F1 sin 60 УC G F2 RE 0 ;

УC F1 sin 60 G F2 RE ;

УC 100 23 25 200 225,9 85,7 , УС = 85,7 кН.

Пример 2. Составная конструкция – совокупность отдельных тел, связанных между собой. При рассмотрении такой конструкции может оказаться, что количество неизвестных, входящих в уравнения равновесия, превышает число уравнений равновесия. Задача оказывается статически неопределимой. Перевести еѐ в разряд статически определимой задачи иногда возможно, разделив составную конструкцию на отдельные тела. При этом действие определенной части конструкции заменяется реакциями.

Рассмотрим балку моста, состоящую из 2 частей АВ и ВD (рисунок 33).

Рисунок 33 – Схема балки моста На балку действует распределѐнная нагрузка в виде балки и

сосредоточенная, обусловленная, например, движущимся транспортом. Размеры АВ = 5 м, ВD = 15 м, ВЕ = 5 м. АС = vt, где v – скорость движения автомобиля, t – время. V = 10 м/с, q1 = 20 кН/м, q2 = 10 кН/м, F1 = 50 кн.

Решение: Связи, наложенные на систему, имеют четыре составляющих – по одной в точках А и Е и две в точке D. Четыре неизвестных и три уравнения равновесия, задача статически неопределимая.

36

Разделяем балку по шарниру В и заменим связи А, Е, D их реакциями (рисунок 34).

Рисунок 34 – Схема разделѐнной конструкции с реакциями

1.Объект равновесия – левая часть балки АВ:

X 0 , X B F1 cos30 0 ; X B F1 cos30 ;

X B 50 23 43кН ;

М A 0 , q1 AB 12 AB F1 sin 30 AC У B AB 0 ;

УB (12 q1 AB2 F1 12 AC) AB1 ;

УB 12 20 5 50 12 10t) 50 250t кH;

M B 0 , RA AB q1 AB 12 AB F1 ACsin 30 0 ;

RA 50 250 t кH. 2. Объект равновесия – правая часть балки BD:

M D 0 , q2 BD 12 BD RE ED У В ВD 0 ;

RE 12 q2 BD2 У B BD (12 q2 BD2 (50 250t)BD)ED ;

RE (12 10 152 (50 250t) 15) 101 187,5 375t кH;X 0 , X B X D 0 ;

X D X B , X D 43кH ;

У 0 , q2 BD У B RE У D 0 ;

УD q2 BD У B RE ;

УD 10 15 50 250t 187 ,5 375t 12,5 125t кH.

Ответы: RA 50 250 t кH: RE 187 ,5 375t кH: X D 43 кH: У D 12,5 125t кH.

37

Реакции в точках А, Е и D зависят от времени, т.е., в данном случае, от положения движущегося объекта, и выполняется для промежутка времени от

0 до t ABV 105 0,5c .

Пример 3. Определение усилий в стержнях ферм по способу Риттера (метод сечений).

Метод состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, усилия в которых необходимо определить. Одну часть фермы отбрасывают, заменяя еѐ действия усилиями в разрезанных стержнях. Далее рассматривают равновесие оставшейся части под действием задаваемых сил, реакций связи и усилий в отрезанных стержнях.

Рассмотрим ферму, показанную на рисунке 35, и определим усилия в стержнях 1, 2, 3.

а) , б)

Рисунок 35 – Схема фермы: целая (а); разделѐнная на части (б)

Проводим сечение 00´, отбрасываем левую часть фермы. Правая часть находится в равновесии под действием силы Р и усилий S, S2, S3 в отрезанных стержнях. Имеем произвольную плоскую систему сил. Составляем уравнения равновесия:

M D 0 , S1 CD P CE 0 ;

S1 P CDCE Ptq ;

M E 0 , S2 0 ;

Уi 0 , P S3 sin 0 ; S3 P / sin .

Стержень 1 находится в растянутом состоянии, а 2 – в сжатом.

Пространственная произвольная система сил

Момент силы относительно заданной оси Момент силы относительно заданной оси характеризует вращательное

действие силы. Любую силу можно представить в виде двух составляющих

38

(рисунок 36), одна из которых параллельна данной оси FZ, а вторая FXy лежит в плоскости, перпендикулярной к данной оси,

а) б) Рисунок 36 – Момент силы: относительно оси (а); как проекция (б)

тогда составляющая FXУ создаѐт вращательный эффект вокруг оси OZ, момент

этой составляющей M Z (F ) можно определить как ±FXУ · h, где h – кратчайшее расстояние от линии проекции силы FXУ до оси OZ. Знак момента определяется направлением вращения, которое может вызвать эта сила. Если смотреть с положительного направления оси и сила может вызвать вращения против хода часовой стрелки, то момент этой силы положительный, если по направлению хода часовой стрелки – отрицательный. Составляющая, параллельная оси Z, может создать только сдвижку относительно этой оси. Момент силы относительно оси может быть определѐн как проекция вектора момента силы

определяющего точку приложения силы относительную заданного центра (о) на

M Z (F ) xFУ уFX .

Итак, для вычисления момента силы относительно оси Z необходимо: 1) провести плоскость XУ, перпендикулярную оси Z;

3) найти плечо силы F xу для этого опустить из точки пересечения оси с

Контрольные вопросы и задания

1.Что изучает статика? Что называется силой?

2.Сформулируйте аксиомы статики. Что такое связи и их реакции?

3.Как происходит сложение сил в системе сходящихся сил?

4.Какая система сил называется плоской?

5.Как определить момент силы относительно точки?

6.Какие две силы носят название пары сил?

7.Сформулируйте понятие рычага. Что достаточно для равновесия системы сил?

2. Кинематика

Кинематикой называется раздел теоретической механики, изучающий движение материальных точек и твѐрдых тел без учѐта причин, вызывающих это движение. Кинематику часто называют геометрией движения, так как она в значительной мере основана на геометрических представлениях. Другими словами, кинематика рассматривает механическое движение твѐрдого тела без учѐта сил, вызвавших это движение.

Под механическим движением понимается изменение положения тела в пространстве и во времени относительно какого-либо другого тела, с которым обычно связывают систему координат, называемую системой отсчѐта. Если координаты всех точек тела остаются неизменными во времени, то тело находится в состоянии покоя. Сама система координат также может находиться в движении. Движение тела относительно подвижной системы координат называется относительным, а относительно неподвижной – абсолютным. Определить движение тела с точки зрения кинематики – это значит найти координаты любой его точки в данный момент времени.

40