Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5601

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

2.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

F 2,5 0,936 – если число фирм меньше 2,5, оно равно 0, 1 или 2. По формулам сложения (§ 2) вероятность этого ‒ 0,936;

F 6 P Y 6 1 ‒ среди 3 фирм число проработавших менее 4 лет (и вообще, чем-то отличившихся) заведомо меньше 6.

Ответ: F 0 0, F 0,5 0,216, F 2,5 0,936, F 6 1 .

§7. Непрерывные случайные величины – общие понятия

Унепрерывной СВ (НСВ) бесконечно много возможных значений, а вероятность принять какое-то конкретное из них равна 0. Поэтому закон распределения НСВ в виде таблицы невозможен. Вместо него применяют 2 функции.

Функция распределения НСВ ‒ вероятность принять значение, меньшее ука-

занного: F x	P CB		x (см. также замечание на с. 18).
Плотность распределения НСВ ‒ производная f x							F x .
Например,	F 2	0,7 указывает, что в 70% случаев СВ меньше числа 2 (и со-
ответственно в 30% случаев – больше числа 2). Если F 4								1, величина всегда
меньше 4, а если F		2 0 , то она всегда больше				2 .
Вероятность попадания в некоторый интервал						c;d	находится по формуле
								b
P a CB b	F b	F a или, что равносильно,			P a	CB	b	f x dx .
								a
Математическое ожидание MX				xf x dx ,	дисперсия DX			x MX 2 f x dx ,
или, что равносильно,			DX M X 2	MX 2 , где M X 2			x2 f	x dx .

Если область возможных значений НСВ – не вся числовая ось, а лишь некоторый интервал a; b , то функция распределения имеет вид

	0,	если x	a,
F x	F0	x , если a x b,
	1,	если x	b,

где F0	x ‒ формула для вычисления. При этом плотность равна 0 вне интервала
a; b ,	а интегралы	при вычислении среднего и дисперсии принимают вид
b		b	b
MX	xf x dx , DX	x MX 2 f x dx , M X 2	x2 f x dx .
a		a	a
		21

Пример 1. Функция распределения некоторой НСВ имеет вид

0, если x 1,

F x 0,2 x 1 , если 1 x 6, 1, если x 6.

Найти плотность распределения, числовые характеристики и вероятности попадания СВ в интервалы: а) 0; 4 ; б) 2; 5 ; в) 4; 6 ; г) 7; 8 ; д) 1; 8 .

Решение. Плотность распределения – это производная от функции распределения, поэтому

	0',	если x	1,		0,	если	x	1,
f x	0,2 x 1 ', если 1 x 6,			f x	0,2, если 1			x 6,
	1',	если x	6,		0,	если	x	6.

В точках 1 и 6 плотность не определена. Математическое ожидание

MX		xf x dx				6	x0,2dx	0,2		6	xdx	0,2		x2		6	0,1 62			12	3,5 .
						6				6				x2
						1				1					2
																1
																1
Дисперсию найдём по формуле DX											M X 2 MX 2 , где MX										3,5 ‒ только
что найденноё значение, а средний квадрат случайной величины
M X 2	x2 f	x dx		6	x2 0,2dx			0,2	6	x2dx		0,2	x3		6			1	63	13	215	14	1	.
				6					6				x3					1			215		1

				1					1			3			1		15				15	3
			1	1					1			3			1
Тем самым DX	14		1	3,5 2			14,333	12,25 2,083 . При этом среднее квадратиче-
Тем самым DX	14			3,5 2			14,333	12,25 2,083 . При этом среднее квадратиче-
		3

ское отклонение		X		2,083 1,443 .

Интегралы по всей числовой оси заменены на интегралы по отрезку 1; 6 , поскольку только на нём плотность распределения отлична от нуля (только в этот

отрезок может попасть случайная величина).
Вероятности попадания в интервалы находим как P a	X	b F b F a ,
учитывая, как именно определена функция распределения	F x	в этих точках.

Если точка левее 1, функция распределения в ней равна 0. Если точка правее 6, функция распределения в ней равна 1. Если же точка больше 1, но меньше 6,

значение функции распределения находим по формуле F x

0,2 x 1 .

а)

P 0

F 4 F 0 . Здесь 0 1 и

F 0 0, но F 4

0,2 4

0,6 , по-

скольку 4

1;6 . Поэтому F 4

F 0

0,6 0

0,6 ;

б)

P 2

F 5

F 2 .

Обе

точки

входят в

интервал

1; 6 ,

поэтому

F 2

0,2 2

0,2 и F 5

0,2 5

0,8 , а тогда F 5

F 2

0,8

0,2

0,6 ;

в) P 4

F 6

F 4 . Здесь F 4

0,2 4 1

0,6 . В точке 6 функция F x

достигает значения 0,2 6

1. Имеем F 6

F 4

0,6

0,4 ;

г) P 7

F 8

F 7

1 0 ,

обе

точки

лежат правее 6 и для них

F x 1. Можно вообще обойтись без вычислений:

в интервал

7; 8

величина

попасть не может по условию, и вероятность равна 0;

д) P 1 X 8

F 8

1 0

1, поскольку

1 1 и для неё F x

0 . Ве-

личина заведомо попадёт в интервал

1; 8 , ведь область её возможных значе-

ний – интервал 1; 6 , полностью содержащийся в

1; 8 .

Пример 2. Подберите параметр А,

чтобы функция f x

стала плотно-

A x

стью распределения некоторой случайной величины Х на интервале

1; 9

, и вос-

становите функцию распределения F x . Сравните вероятности попадания СВ в левую и правую половины интервала 1; 9 .

Решение. Интеграл от плотности распределения всегда равен 1, причём сама плотность должна быть неотрицательна. Составляем интеграл

															9								9
													f x dx					A		xdx			A x1/ 2 dx
															1								1
и находим
			9	x1/ 2dx					x0,5 1		9		x1,5	9		2				9		2						2				52			.
											9			9

																	x		x				9	9 1 1					27	1
			1					0,5		1	1	1,5		1	3		x		x	1	3		9	9 1 1			3		27	1
			1					0,5		1	1	1,5		1	3					1	3						3						3
Значит, свойство									f	x dx		1 приводит к условию A														52	1 , откуда				A			3		.
Значит, свойство									f	x dx		1 приводит к условию A															1 , откуда				A					.
																								3									52

Подставив это значение в функцию																				f	x		A		x , проверим любым способом,
				3																											3
что	f x			3			x	0 для всех x							1; 9 . Можно заметить, что														f	1	3			1 0 и ко-

				52																											52
рень – возрастающая функция, поэтому для																							x	1 также f					x	0 . Либо учесть,
что			0 и			3		0 , и т.п.
		x				3
		x			52
					52

Если же в подобных задачах хотя бы где-то на интервале плотность окажется отрицательной, в условии заведомо ошибка и задача не имеет решения.

3				9	3				3
3					3				3	x ‒ плотность
Итак,		x 0 на 1; 9	и				xdx 1	, поэтому f x
Итак,	52	x 0 на 1; 9	и	1	52		xdx 1	, поэтому f x	52
распределения некоторой СВ на					1; 9 .
Восстановим F x :
						23

а) СВ не попадает в область левее точки		x 1,	поэтому для всех x 1 будет
P CB x 0 , т.е. F x 0 ;
б) СВ всегда попадает левее точки x	9 (и теоретически никогда не равна 9),
поэтому для всех x 9 получится P CB	x	1, т.е.	F x 1;

					x	x
в) для x			составляем F x		x	x	3		3		x x
	1; 9				f x dx		3	xdx	3		x x

							52		52	1,5
					1	1	52		52	1,5
	0,		если x	1,
Итак, F x		1
		1	x x	1 , если x	1; 9 ,
	26		x x	1 , если x	1; 9 ,
	26
	1,		если x	9.

261 x x 1 .

Вероятность попадания в левую и правую части интервала 1; 9 :


				1				1				1				0,392 ,
P CB	1; 5	F 5	F 1	1		5	5	1		1 1		1		5 5	1
P CB	1; 5	F 5	F 1	26		5	5	26		1 1		26		5 5	1
				26				26				26
					1				1				1			0,608 ,
P CB	5; 9	F 9	F 5		1	9	9		1		5 5		1	27	5 5
P CB	5; 9	F 9	F 5	26		9	9	26			5 5	26		27	5 5
				26				26				26

и в сумме 0,392 0,608 1.

§ 8. Непрерывные случайные величины – основные распределения

Основные законы распределения НСВ – равномерный, показательный, нормальный. В математической статистике работают также с распределениями Стьюдента, Фишера, Пирсона ( 2 ) и др.

Равномерное распределение. Случайная величина распределена равномерно на интервале a;b , если ни одно значение из этого интервала не предпочтительнее другого, а значения вне интервала невозможны. В этом случае плотность и функция распределения соответственно имеют вид

	c,	если x	a;b ,		0,	если x	a,
f x	c,	если x	a;b ,	и F x	c x a , если a x b,
	0,	если x	a;b		1,	если x	b,
					1,	если x	b,

где параметр c b a .

Вероятность попадания в интервал	P X c;d	d	c	при условии, что

		b	a

c;d a;b (интересующий нас интервал полностью должен входить в область

возможных значений). Если интервал с какой-либо стороны выходит за допустимые границы, его следует «сократить» до этих границ.

Как правило, равномерно распределены погрешности при округлении (но не при измерении!), в том числе при взгляде на часы, время ожидания автобуса при случайном подходе и т.п. То, что зависит от многих причин, распределено иначе.

Пример 1. В отчёте величину вклада округляют до ближайшей тысячи рублей. Составьте функцию распределения погрешности при таком подходе.

Решение. Речь о том, что, например, вклад 123 456 руб. превратится в 123 000, и погрешность составит 456 руб.. Вклад 75 987 руб. превратится в 76 000 руб. с погрешностью 13 руб., и т.п.

Таким образом, возможна погрешность от 0 руб. (если вклад и так выражен целым числом) до 500 руб. (если он кратен 500 руб.).

В условии ничего не сказано о том, что какое-либо отличие от тысячи встречается чаще остальных, поэтому считаем, что отличия от меньшего числа тысяч распределены равномерно на участке от 0 до 1 000 руб. Тогда отличия от бли-

жайшей тысячи распределены равномерно на участке от 0 до 500 руб.

Итак,

погрешность

равномерно распределена

на

интервале

a;b ,

где

a 0, b

500 ; плотность распределения

f x

0,002

на

данном

b a

500

a;b и равна 0 вне его.

Функция равномерного распределения всегда соединяет точки

a; 0

b;1

прямой линией. В нашем случае она растёт от F 0

0 до F 500 1 . Уравнение

такой линии: F x

0,002x .

500

Ответ (обратите внимание на знаки в неравенствах):

	0,	если x	0,		0,	если x	0,
f x	0,002, если 0		x 500,	F x	0,002x, если 0		x	500,
	0,	если x	500,		1,	если x	500.

Пример 2. Найдите вероятности того, что погрешность в примере 1 а) не превысит 200 руб.; б) превысит 250 руб.; в) превысит 150 руб.;

г) не превысит 600 руб.; д) будет от 150 до 250 руб.; е) превысит 550 руб. вначале при помощи функции распределения, а затем через отношение длин.

Решение. Для НСВ понятия «не превысит» и «будет менее» равносильны: теоретически НСВ может только попадать в какие-то интервалы. Поэтому, если обратиться к функции распределения погрешности, то

а)	P X	200	P X	200					F 200			200		0;500		0,002 200					0,4 ;
б)	P X	250	1	P X			250			1	P X			250	1	F 250 .			Но		250		0;500 ,		по-
этому F 250 0,002 250						0,5 и тогда 1							F 250		1	0,5	0,5 ;
в) по аналогии с P X						250			получаем, что P X							150		1		F 150			1	0,3 0,7 ;
г)	P X	600	F 600				600		500		1 ‒ достоверное событие;
д)	P X	150;250			F 250				F 150			0,7		0,5	0,2 ;
е)	P X	550	1 F 550					550		500			F 550		1	1	1	0		‒ по смыслу задачи
это невозможное событие.
Найдём те же вероятности при помощи формулы P X																			c;d			d	c	:
Найдём те же вероятности при помощи формулы P X																			c;d			b	a	:
																						b	a
а)	P X	200	P X			0;200			200		0		0,4 ;

									500		0
									500		0
б)	P X	250	P X			250;				P X			250;500			500		250		0,5 ; аналогично

																500		0
																500		0
в)	P X	150	P X			150;				P X			150;500			500	150			0,7 ;

																500		0
																500		0
г)	P X	600	P X				;600			P X			0;500		500		0	1 ;

															500		0
															500		0
д)	P X	150;250		250			150			0,2 ;

				500				0
				500				0
е)	P X	550	P X			550;				0, поскольку интервалы										550;			и	0;500	да-
же не пересекаются.
Ответ: а) 0,4;			б) 0,5;				в) 0,7;			г) 1;			д) 0,2;		е) 0.

Показательное распределение. Величина распределена показательно с параметром a 0 при x 0 , если плотность её распределения

		f	x		ae ax		при x			0,
					0	при x				0.

Функция распределения для неё			F x			1	e ax при x				0,
						0			при x		0.

Характеристики: MX	1	, DX	1		,	X		1	.
				a2
	a							a
Вероятность попадания в интервал P X								c;d		e ac e ad .
						26

Обычно так распределено время от начала наблюдений до некоторого критического события: поломки устройства, выхода на больничный. Температура, распределённая равномерно во времени, в некоторый момент превышает критическое значение, и человек заболевает.

Пример 2. Сотрудники фирмы работают без выхода на больничный в среднем полгода. Каковы шансы, что конкретный сотрудник проработает без больничного больше года? Больше полутора лет? Больше 2 лет? Каков риск, что он проработает менее 3 месяцев? Вероятность, что он проработает от года до 2 лет?

Решение. Примем за единицу измерения времени 1 год. Из условия следует,

что среднее время работы MX

0,5 лет, но тогда параметр a

и время ра-

0,5

боты распределено показательно по закону F t 1

e 2t (для t

0 ).

Можно заметить, что F t

‒ вероятность проработать менее t лет, а тогда ве-

роятность проработать не менее t лет составляет 1

F t

1 1

e 2t

e 2t .

а)

P T

e 2 1

e 2

0,135;

б)

P T

1,5

e 2 1,5

e 3

0,05;

в)

P T

e 2 2

e 4

0,018;

г)

P T

0,25

1 e 2 0,25

1 0,607 0,393;

д)

P T

1;2

F 2

F 1

e 2 2

e 2 1

e 2

e 4

0,135

0,018

0,117 .

Ответ: а) 0,135; б) 0,05; в) 0,018;

г) 0,393;

д) 0,117.

Нормальное распределение. Величина распределена нормально с параметрами a и 0 , если плотность её распределения

	1		x a		2			1	x a
f x	1	e	2	2		, т.е.	f x	1	x a	,
f x		e	2			, т.е.	f x			,

	2

где z‒ локальная функция Лапласа (приложение Б).

Функция распределения F x 0,5		x	a	, MX		a, DX			2 , X	, а ве-

роятность попадания в интервал P X	c;d				d a		c	a	, где	‒ инте-

гральная функция Лапласа (приложение В).

Так распределены величины, представляющие собой сумму большого числа других независимых случайных величин (или зависящие от них). Пусть, например, ожидаемая прибыль предприятия – 1 млн руб. Но прибыль зависит от многих случайных факторов и из-за их совместного влияния будет случайной величиной, распределённой нормально, с a 1 млн руб.

Пример 3. Число посетителей ресторана за день распределено нормально с

параметрами a 200 и	20 . Какова доля дней, когда ресторан посещают
а) менее 160 человек?	б) от 160 до 220 человек?	в) более 220?

Решение. Число посетителей (обозначим его буквой Х) заведомо неотрицательно и теоретически может быть сколь угодно большим. Тем самым

а)	P 0	X	160		160	200		0	200		2	10		2	10 ;

					20				20
					20				20
б)	P 160		X	220	220		200		160		200	1	2	1	2 ;

						20			20
						20			20
в)	P 220		X				200		220		200		1 .

						20			20
						20			20
По таблице			1	0,341, 2			0,477, 10		0,5,			0,5 . Подставим:
а)	P 0	X	160		0,477	0,5		0,023 ;		б)	P 160 X	220	0,341	0,477	0,818 ;
в)	P 220		X		0,5	0,341		0,159 .

Ответ: 0,023, 0,818 и 0,159 соответственно.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

§ 9. Точечные оценки параметров

Пусть необходимо оценить тип и параметры распределения некоторой случайной величины Х ‒ например, выяснить, не распределена ли она показательно и каково в этом случае её математическое ожидание. Для этого проводят наблюдения и получают значения величины ‒ числа x1 , x2 , , xn ., называемые выборкой объёма n. Оценкой математического ожидания служит выборочное среднее

									x		1		x	x			x		,
									x				x	x	2		x	n	,
											n		1		2			n
											n
а оценкой дисперсии ‒ исправленная выборочная дисперсия
s2		1		x	x 2		x			x 2					x		x 2	, или, что равносильно,
								2								n

	n		1	1
	n		1
				s2			1		x	2		x 2		x 2					n	x 2 .
										2

							n 1		1				2				n	n 1
							n 1											n 1
Пример 1. Инспектор измерил массу 8 булочек и получил значения
					102, 105, 99, 102, 101, 103, 99, 97 г.
Средний вес булочки x						1	102 105						99	102			101		103 99 97		1	808 101 г,
Средний вес булочки x					8		102 105						99	102			101		103 99 97		8	808 101 г,
					8																8
													28

средний			квадрат		отклонения		s2	1		102 101 2	105 101 2 97 101 2


								8	1
	1	1 16	4	1 0	4 4 16	46		6,571	г 2 , само среднее отклонение оцениваем
7						7

величиной					2,563 г.
				6,571

Ответ: можно ожидать, что средний вес всех выпекаемых булочек ‒ 101 г, а вес отдельной булочки отклоняется от 101 г в среднем на 2,56 г.

Если значений много и они повторяются, выгодно перед вычислениями построить вариационный ряд и указать, сколько раз встретилось каждое значение.

Пример 2. Известны оценки за экзамен для 10 случайно отобранных студентов Академии: 4, 3, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 5, 4. Оценим средний балл и разброс оценок всей Академии по этой дисциплине. Составим вариационный ряд: таблицу

	Оценка					2		3			4		5

	Частота					1		3			4		2

Указано, что оценка 2 встретилась 1 раз, оценка 3 ‒ 3 раза, 4 ‒ 4 раза, 5 ‒ 2 раза.
Находим средний балл x				1	2 1		3 3		4 4	5 2		1			37	3,7 ;
Находим средний балл x					2 1		3 3		4 4	5 2					37	3,7 ;
		10										10
оценка дисперсии s2	1		22		32		3 42			52 2		10		3,7 2
	1			1					4			10				0,9 , s 0,9 0,95 .
				1					4							0,9 , s 0,9 0,95 .
	10	1										9
Ответ: средний балл Академии оцениваем величиной x																3,7 , а среднее от-
клонение ‒ величиной s		0,95 .

§ 10. Интервальная оценка среднего

Оценка x , сделанная по выборке, указывает лишь наиболее вероятное значение среднего по всем возможным данным.

Так, если средняя зарплата 50 случайно отобранных жителей города в 2014 г. составила 20 тыс. руб., то средняя зарплата всех жителей города, скорее всего, тоже находится вблизи 20 тыс. руб., но может немного отличаться.

Оценить математическое ожидание (истинное среднее) позволяет доверительный интервал. С надёжностью (т.е. с вероятностью) А истинное среднее

находится в интервале x	; x	, где	t		,	‒ среднее квадратическое



				n

отклонение, n – число наблюдений (объём выборки), t – такое число, что интегральная функция Лапласа t 0,5A.

Если	неизвестно, то	t	,n 1s	, где	0,5 1 A и t		определяется по
						,n 1

			n 1

таблице t-распределения Стьюдента (приложение Г).

Определение границ для дисперсии возможно, но выходит за рамки указаний.

Пример 1. Средняя ошибка исправных весов составляет 5 г, систематическая ошибка отсутствует. Средний вес 25 проверенных булочек составил 98 г. Найти с надёжностью 99% средний вес всех выпекаемых булочек.

Решение. В подобных задачах ошибка в 5 г – аналог среднего квадратическо-

го отклонения, поэтому считаем, что						5 . Также по условию n	25 и A 0,99 .
Находим 0,5A	0,5			0,99	0,495 , по таблице (приложение В) подбираем пара-
метр t, при котором			t 0,495. Поскольку 2,5 0,494 и 2,6				0,495 3 , берём
большее значение 2,6 для повышения надёжности.
Вычислив	2,6	5		2,6	, видим, что средний вес выпекаемых булочек нахо-


	25

дится в интервале	98			2,6; 98 2,6 , т.е. между 95,4 и 100,6 г.

Ответ: с надёжностью 99% средний вес выпекаемых булочек находится в интервале от 95,4 г до 100,6 г.

Пример 2. Считая дисперсию неизвестной, оценим с надёжностью 90% и

99% средний балл Академии для данных примера 2 в § 9.

Решение. Имеем n

10 ,

3,7 ,

0,95 . По условию а) A

0,9 ;

б) A 0,99 .

а) Для A

0,9 находим

0,5 1

0,9 0,05 и по таблице (Приложение Г) при

n 1

10 1

9 и

0,05 определяем t

1,833. Тогда

1,833 0,95

0,58 . Довери-

тельный интервал

3,7

0,58; 3,7

0,58 , т.е.

3,12; 4,28 ;

б)

для A

0,99

находим

0,5 1

0,99

0,005

и также при n

1 9 , но уже

при

0,005 определяем t

3,25 . Тогда

3,25

0,95

1,03 . Доверительный ин-

тервал 3,7 1,03; 3,7

1,03 , т.е.

2,67; 4,73 .

Такой широкий интервал практически не несёт никакой информации – трудно судить обо всей Академии по оценкам всего 10 студентов.

Ответ: с надёжностью 90% средний балл Академии находится в интервале 3,12; 4,28 , с надёжностью 99% – в интервале 2,67; 4,73 .

При надёжности 100% получим всю область возможных значений. Так, средний балл Академии с надёжностью 100% находится в интервале от 2 до 5.

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20222.07 Mб45597.pdf
#
13.11.20222.09 Mб45598.pdf
#
13.11.20222.1 Mб135599.pdf
#
13.11.202222.53 Кб356.doc
#
13.11.20222.1 Mб45600.pdf
#
13.11.20222.13 Mб55601.pdf
#
13.11.20222.15 Mб25602.pdf
#
13.11.20222.16 Mб15603.pdf
#
13.11.20222.16 Mб15604.pdf
#
13.11.20222.17 Mб25605.pdf
#
13.11.20222.2 Mб135606.pdf