5571

t

A(t) P ( у)V ( у)dy,

t0

где

(5.15)

Преобразуем формулу (5.14):

(5.16)

так как V(t0) = 1то формула (5.16) принимает вид

А(t) P 1 V (t) .

Найдем текущую стоимость капитала. Так как инвестируемый капитал все время постоянен (проектный доход как бы непрерывно вытекает из банка), то его текущая стоимость А1 (t) равна А1(t) = PV(t).

изымает капитал Р, но через достаточно большое время он его получает в виде процентов.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.На какие типы подразделяются потоки наличности?

2.Какими показателями определяется непрерывный поток наличности?

3.Как определяется современная стоимость для дискретных и непрерывных потоков наличности?

4.Каким образом осуществляется пересчет текущей стоимости потока наличности

содного момента времени на другой?

5.Каким образом вычисляется процентный доход как непрерывный поток наличности, а также его современная стоимость?

6.РЕНТЫ

6.1.Понятие ренты.

6.2.Простая рента пренумерандо.

6.3.Простая рента постнумерандо.

6.4.Общая рента.

31

6.1. Понятие ренты

Финансовые ренты, или аннуитеты, представляют собой частный случай потоков наличности, когда денежные суммы являются положительными и следуют друг за другом через равные промежутки времени. Интервал времени между двумя последовательными денежными суммами носит название периода ренты. Существует чрезвычайно большое число рентных схем.

Если денежные суммы (платежи) равны между собой, то рента называется постоянной. Если платежи не равны между собой, то рента называется переменной. В этом случае задается закон изменения платежей.

Ренты различаются также по моменту выплаты платежей. Если платежи происходят в конце каждого периода, то такие ренты называются приведенными или пренумерандо. Если платежи осуществляются в конце периода, то ренты называются обычными или постнумерандо. На практике эти ренты встречаются наиболее часто.

Ренты также подразделяются на верные и условные. Верные ренты предполагают безусловную выплату всех денежных сумм, например, при погашении кредита. Платежи при условных рентах носят вероятностный характер, например, пенсионные платежи, когда время окончания ренты является случайной величиной. Пенсионные ренты также подразделяются на немедленно начинающиеся и отсроченные.

Кроме того, ренты задаются в различных схемах наращения капитала (простые, сложные и непрерывные проценты).

В настоящем разделе будет рассматриваться схема сложных процентов и простейшие случаи постоянных рент.

6.2. Простая рента пренумерандо

Рассмотрим приведенную ренту или ренту пренумерандо. В качстве периода ренты Т примем одну единицу времени, то есть Т = 1. В качестве схемы наращения капитала примем сложные проценты с процентной ставкой в единицу времени. Обычно в качестве единицы времени принимается 1 год, такая рента называется простой годовой рентой.

Найдем современную стоимость данной ренты, если срок ренты составляет п единиц времени, размер каждого платежа равен R. Поток платежей, описывающий ренту, запишем в форме таблицы (таблица 6.1).

Таблица 6.1

Согласно формуле (5.4), стоимость ренты определяется равенством

(6.1)

32

В случае сложных процентов дисконтирующий множитель V(t), t – целое, определяется равенством

(6.2)

Подставляя равенство (6.2) в (6.1), получим

(6.3)

Выражение, стоящее в правой части равенства (6.3), представляет собой сумму геометрической прогрессии. Напомним читателю, что геометрической прогрессией называется последовательность а, аq, ..., аqп. При этом сумма Sn первых n + 1 =членов геометрической прогрессии определяется равенством

(6.4)

В данном случае a = R, знаменатель прогрессии q задается формулой

(6.5)

Равенство (6.3) с учетом формул (6.4) и (6.5) принимает вид

(6.6)

После упрощения формулу (6.6) можно представить в виде:

(6.7)

Формулу для современной стоимости простой в единицу времени ренты пренумерандо обычно представляют в форме стандартного международного обозначения:

(6.8)

Символ än┐ – общепринятое международное обозначение современной стоимости простой ренты пренумерандо с единичными платежами.

Аналогично можно найти накопленную стоимость А(п) данной ренты на момент времени t = п. Первый член ренты за n единиц времени дает наращение R(1 + i)n, второй член за n-1 единиц – R(1 + i)n-1 и т.д., последний член дает за 1 единицу времени наращение R(1 + i).

Тогда

(6.9)

Суммируя ряд (6.9) по формуле (6.4), получим

(6.10)

Накопленную стоимость (6.10) можно получить, пользуясь равенством (5.11). Для этого достаточно равенство (6.7) умножить на величину (1 + i)n.

33

Если ввести общепринятое обозначение

то наращенную стоимость можно определить равенством

(6.10)

A(n) R sn

Пример 6.1. Клиент банка вкладывает ежегодно в начале каждого года сумму 100£. При годовой процентной ставке 8% найти наращение капитала за 10 лет.

Решение. Поток платежей, описывающий отношения клиента и банка, представляет собой простую годовую ренту пренумерандо, где R = 100, п = 10, i = 0,08. Накопление капитала на банковском счету клиента к моменту времени t = п представляет собой накопленную стоимость А(п) данной ренты. Следовательно, в соответствии с формулой (6.10) наращение капитала за 10 лет определяется равенством

Пример 6.2. Банк, владеющий участком земли стоимостью 35 000£, сдает его в аренду фермеру сроком на 10 лет. Определить размер арендного платежа, который производится в начале каждого года, начиная с даты заключения договора аренды, если годовая банковская процентная ставка равна 9% в схеме сложных процентов.

Решение. Представим поток платежей, описывающий финансовые отношения банка и фермера, в виде таблицы (таблица 6.2).

Таблица 6.2

Таблица 6.2 составлена со стороны банка, то есть в начальный момент времени банк отдает 35 000£ (в таблице эта сумма берется со знаком "минус") и затем получает арендные платежи в течение 10 лет, а в начале 10-го года получает назад 35 000£ (цена земли). Здесь предполагается, что цена земли при землепользовании не уменьшается. Метод определения регулярного платежа базируется на принципе эквивалентности финансовых обязательств сторон. Этот принцип математически можно сформулировать как равенство нулю современной стоимости потока наличности, описывающего финансовую операцию. Данный принцип базируется на интуитивном понятии равенства сторон, участвующих в сделке, а именно равенстве доходов и расходов одной стороны или, что то же самое, равенстве доходов обеих сторон.

34

Арифметическое равенство доходов и расходов здесь не годится, так как не учитывается время поступления и расходования денег.

Чтобы объединить факторы времени и денег в формулировании равенства сторон, экономисты договорились привлекать операцию дисконтирования потока наличности, базирующуюся на математической эквивалентности денег в рамках той или иной схемы наращения капитала. Принцип финансовой эквивалентности сторон является общепринятым и служит базой расчетов аналогичных задач финансового менеджмента, будь то ренты, кредитные расчеты, лизинговые операции, ипотеки, оценка инвестиционных проектов и т.д.

Итак, найдем современную стоимость данного потока наличности на дату заключения договора:

Полагая А(0) = 0, получим уравнение для нахождения величины R:

(6.11)

Выражение, стоящее в скобках в левой части равенства (6.11), есть величина d-щ и, согласно формулы (6.8), равно

(6.12)

Следовательно, уравнение (6.11) примет вид:

(6.13)

Из последнего равенства находим, что R = 2889,91£. Сравнивая формулы (6.12) и (6.13), можно заметить, что величина арендного платежа не зависит от числа лет аренды и

Этот парадокс объясняется тем, что по условию задачи стоимость земли при землепользовании не уменьшается.

Иногда в рассмотрение вводятся так называемые вечные ренты. Эти ренты характеризуются тем, что количество рентных платежей бесконечно. В этом случае современная стоимость ренты определяется равенством

(6.14)

Ряд, стоящий в правой части (6.14), является бесконечным. Его сумма, обозначаемая символом än┐, определяется формулой

(6.15)

35

Подставляя в формулу (6.15) выражение (6.8), получим

(6.16)

Таким образом, современная стоимость простой ренты пренумерандо имеет вид:

(6.17)

Пример 6.3. Клиент и банк заключили договор, согласно которому банк будет выплачивать ежегодно в начале каждого года сумму 100£. Определить цену этой ренты для клиента, если годовая банковская процентная ставка равна 7%, а права клиента по договору передаются по наследству.

Решение. Поток платежей представляет собой простую годовую вечную ренту. Поэтому, согласно принципу финансовой эквивалентности сторон, цена ренты совпадает с ее современной стоимостью и определяется формулой (6.17), т.е.

Таким образом сумма 1 528,57£ гарантирует ежегодные выплаты в сумме 100£ бесконечное число лет. Попытаемся понять, почему конечная сумма 1 528,57£ позволяет выплачивать сумму 100£ бесконечное число раз. В начальный момент времени банк фактически получает 1 428,57£, так как из полученной суммы 1 528,57£ сразу же выплачивается первый рентный платеж 100£. Процентные деньги от суммы 1 428,57£ за год при процентной ставке i = 0,07 находятся по формуле

(с учетом округления цифр). Следовательно, в конце первого года банк имеет первоначальную сумму 1 428,57£ и сумму процентов 100£, которую выплачивает в форме второго рентного платежа. В течение второго года процесс повторяется, то есть к концу второго года сумма 1 428,57£ создает процентные деньги в сумме 100£, которые выплачиваются в форме рентного платежа. Очевидно, этот процесс мо жет продолжаться бесконечно долго, пока существует банк и задана процентная ставка i , так как процесс выплаты ренты, по существу, представляет собой процесс ежегодных выплат процентных денег по вкладу.

Из представленных рассуждений можно сделать важный вывод, а именно: в конце года договор может быть расторгнут после возврата банком суммы 1 528,57£ или, что то же самое, суммы 1 428,57£ и рентного платежа 100£. В этом случае интересы обеих сторон не пострадают.

6.3. Простая рента постнумерандо

36

Рассмотрим теперь ситуацию, когда выплаты производятся в конце каждого периода. В этом случае поток наличности представлен таблицей 6.3.

Таблица 6.3

Современная стоимость потока наличности определяется формулой

(6.18)

Для случая сложных процентов дисконтирующий множитель определяется равенством

(6.2), поэтому выражение (6.18) принимает вид:

(6.19)

На основании формулы (6.4) и суммы геометрической прогрессии ряд (6.19) суммируется в форме:

(6.20)

Вводя стандартное обозначение

равенство (6.21) можно записать в виде:

(6.22)

Величина an представляет собой современную стоимость простой в единицу времени

ренты постнумерандо с единичными платежами.

Аналогично современная стоимость вечной ренты постнумерандо с единичными платежами находится по формуле

Пример 6.4. Гражданин N заключил с банком договор, согласно которому банк выплачивает ежегодно в конце каждого года 150£. Найти сумму, которую N должен внести в банк при подписании договора, чтобы обеспечить будущие платежи в течение 5-ти лет при годовой процентной ставке 15%.

Решение. Данные платежи представляют собой простую годовую ренту постнумерандо. Необходимая сумма, которую должен внести N, фактически является современной стоимостью данной ренты. Найдем вначале an :

Затем по формуле (6.22) находим А(0): А(0) = 150ä5┐= 502,83₤.

37

Проверим, действительно ли суммы 502,83£ хватит для выплаты ренты при 15% годовых. За первый год сумма 502,83£ при 15% годовых нарастится до величины

После выплаты первого рентного платежа 150£ на счету останется сумма 428,25£. Оставшаяся сумма к концу второго года нарастится до величины 492,49£ и после выплаты 150£ сократится до 342,49£. К концу третьего года остаток составит 243,87£ и к концу четвертого года – 130,45£. За последний пятый год сумма 130,45£ нарастится до суммы 150,01£, то есть. до суммы последнего рентного платежа (с учетом округления цифр).

Найдем накопленную стоимость А(п) простой в единицу времени ренты постнумерандо. На основании формулы (5.11) можно записать:

коэффициентами наращения и приведения простой ренты постнумерандо. Аналогично величины s n и a n носят название коэффициентов наращения и приведения простой ренты пренумерандо. Существуют обширные таблицы коэффициентов приведения и наращения рент ( приложение 2), используемые при различного рода финансовоэкономических расчетах. Обычно задаются таблицы коэффициентов приведения простой ренты постнумерандо для различных значений числа периодов n и процентных ставок i. Остальные коэффициенты легко выразить через величины an . Нетрудно заметить справедливость равенств:

Пример 6.5. По суду установлено, что гражданин N ежемесячно в течение трех лет недоплачивал налогов в сумме 100£. Суд постановил в течение месяца компенсировать недоимку единовременным платежом в предположении, что государство наращивает капитал с номинальной процентной ставкой 12% годовых, конвертируемой 12 раз в год. Найти единовременный платеж.

Решение. Задачу можно решить двумя способами. Поток платежей, соответствующий недоплате налогов, представляет собой простую месячную ренту постнумерандо, так как

38

платежи должны производиться в конце каждого месяца, месячная процентная ставка равна 1%, и проценты на проценты начисляются раз в месяц. Число платежей n = 36.

Поток наличности, описывающий финансовые отношения государства и N, в соответствии с условиями задачи можно представить в виде таблицы (таблица 6.4)

Таблица 6.4

Здесь X – величина единовременного платежа, который выплачивается в течение месяца после трех лет недоплат, то есть, полагаем, при t = 37.

Согласно первому способу решения задачи можно найти современную стоимость потока наличности на момент времени t = 0, изображенного в таблице 6.4, и, ввиду принципа финансовой эквивалентности сторон, приравнять найденную современную стоимость к нулю. Из полученного уравнения можно найти величину X.

Второй способ состоит в том, чтобы найти наращение месячной ренты на момент t = 37 и приравнять к величине X, что соответствует идее компенсации гражданином N упущенной выгоды государства.

Нетрудно заметить, что два способа решения задачи эквивалентны, то есть приводят к одному и тому же результату.

Рассмотрим второй способ. Найдем накопленную стоимость А(36) месячной ренты по

Пересчитаем накопленную стоимость месячной ренты на момент времени t = 37.

Согласно формуле (5.11) А(37) = А(36) × (1 + i) = 4307,69 · 1,01 = 4350,77₤.

Таким образом, единовременный платеж X = 4350,77£.

6.4. Общая рента

Рассмотрим случай ренты, когда платежи производятся т раз в единицу времени, а проценты на проценты начисляются q раз в единицу времени, то есть задана номинальная процентная ставка М, конвертируемая q-кратно в единицу времени.

Пусть R – разовый платеж ренты, п – число лет рентных платежей. Тогда современная стоимость общей ренты постнумерандо находится по формуле

(6.24)

39

Аналогично для общей ренты пренумерандо современная стоимость определяется равенством

Пример 6.6. Магазин продает в рассрочку автомобиль стоимостью 3000£ на следующих условиях: срок платежей – 3 года, в год производится четыре платежа, при продаже покупателем уплачивается 25% стоимости. Найти размер разового платежа при годовой ставке 11%, конвертируемой три раза в год.

Решение. Поток наличности, описывающий отношения сторон с позиции магазина, представлен в таблице 6.5.

Таблица 6.5

Согласно таблице 6.5, магазин отдает покупателю машины сумму 3000(1 – 0,25) = 2250(£) в кредит. Эта сумма является современной стоимостью ренты, описывающей погашение кредита. По условию задачи данная рента является общей рентой постнумерандо с параметрами т = 4, q = 3, n = 3, i(q) = 0,11. Ее современная стоимость, согласно формуле (6.24), определяется соотношениями:

Таким образом, для нахождения величины R имеем уравнение 2250 = 10,14R, решая которое, получим, что R = 221,89. Следовательно, разовый платеж равен 221,89£.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Какие существуют классификации рент?

2.В чем суть принципа эквивалентности финансовых обязательств сторон?

3.На каком математическом аппарате базируется расчет современных стоимостей рент?

7.УРАВНЕНИЕ СТОИМОСТИ

7.1.Постановка задачи.

7.2.Уравнение стоимости.

40