5571
.pdf
(3.23)
для любых t > 0. На основании (3.10) формула (3.23) принимает вид
(3.24)
Все вышесказанное можно выразить в терминах учетной ставки, если вспомнить
соотношение |
|
1 |
|
1 d, |
тогда V(t) = (1 – d)t. |
|
|
|
|||
|
|
|
|||
1 |
|
i |
|
||
3.5 Формула Студли для силы процента
Важным примером математической формулы для силы процента является формула
Студли, которую можно записать в виде:
(3.25)
где p,s,r – параметры, которые определяются по заданной статистике.
Сила процента, определяемая формулой (3.25), обладает важным свойством: текущая стоимость любой суммы равна средневзвешенной текущих стоимостей двух сумм при
различных |
|
|
|
постоянных |
|
значениях |
силы |
процента. |
Действительно, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
rse sy |
|
|
|
|
|
|
V (t) |
exp |
|
|
( у)dу |
exp |
( p |
|
|
|
)dy |
exp |
( p |
s |
|
|
|
|
)dy |
|
exp |
||||||||||||||
0 |
|
1 r |
est |
1 |
|
r esy |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t |
|
dre sy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( p |
s)t |
|
|
exp |
p( p |
|
s)t |
exp In(1 |
re sy ) |
t |
exp |
|
( p |
|
s)t |
exp In(1 |
|
re st ) In(1 r) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
r |
esy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
( p |
s)t |
|
1 |
|
re st |
1 |
|
1 |
|
exp |
( p |
s)t |
|
r |
exp |
pt |
|
|
1 |
V t |
r |
|
V t , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 r |
1 r |
|
|
|
1 r |
|
|
|
|
1 r 1 |
1 r 2 |
||||||||||||
гдеV |
e ( p |
s) ,V |
2 |
e p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Итак, если сила процента S(t) определяется формулой Студли (3.25), то |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
дисконтирующий множитель V(t) находится по формуле V(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
е p s |
t |
|
|
r |
|
e p |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 к |
|
|
|
1 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Каково экономическое содержание понятия силы процента?
21
2.Каковы формулы накопления и дисконтирования в схеме непрерывных процентов?
3.Какой вид имеют соотношения, связывающие номинальные процентные ставки и силу процента, и в чем их экономический смысл?
4.В чем смысл введения в практику силы процента, определяемой формулой Студли?
4. УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ
Процесс инфляции – это обесценивание денег, то есть когда за определенную совокупность товаров нужно уплатить большую сумму денег, чем раньше, например, месяц или год назад. Инфляция – это процесс, который в некотором смысле является обратным наращению капитала. Но как измерить и как ее учесть при наращении капитала? Пусть, например, 1 литр молока стоил 12 руб. в начале прошлого года, а в начале следующего стоит 15 рублей. Цена товара возросла в 1,25 раза. Обычно рассматривают не один товар, а набор товаров и услуг, называемый "рыночной корзиной". Если P(t) – цена рыночной корзины на момент времени t, a Pb, – цена рыночной корзины в базовом периоде, то величина
(4.1)
указывает, во сколько раз изменилась цена, и носит название индекса цен.
Темпом инфляции за период Т называют относительное изменение индекса цен за этот период:
(4.2)
где Jp(0), JP(T) - индекс цен в начале и в конце периода. Величину ht можно выразить через цену рыночной корзины, представив индекс Jp(0) по формуле (4.1) в виде:
(4.3)
Подставляя (4.1) и (4.3) в (4.2), получим:
(4.4)
Из формулы (4.4) следует равенство
P(T) = P(0)(1+hT),
которое напоминает наращение денежных сумм по схеме простых процентов.
Аналогично Jp(T) = Jp(0)(1+hT).
Индекс JP(T) является исходным для вычисления индекса в следующем периоде:
Через т периодов индекс цен будет равен
22
(4.6)
Темп инфляции за период тТ, по определению, находится из равенства
(4.7)
Из равенств (4.6) и (4.7) следует, что
(4.8)
На основании формулы (4.8) можно найти hТ:
(4.9)
Из формулы (4.6) следует, что возрастание индекса цен соответствует закону наращения капитала по сложным процентам.
Предположим, что известен темп инфляции за |
1 |
часть года, то есть |
h |
и T |
|
1 |
. |
||
|
|
||||||||
|
|
|
m |
1/ m |
|
|
m |
||
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда годовой темп инфляции h, согласно (4.8), определяется равенством |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(4.10) |
||
а темп инфляции за период |
1 |
– равенством |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
m |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
||
Соотношения (4.10) и (4.11) являются аналогами соотношений между эквивалентными процентными ставками.
Пример 4.1. Месячный темп инфляции равен 3 %. Найти: а) годовой, б) полугодовой; в) квартальный темп инфляции.
Решение. Согласно формуле (4.10), годовой темп инфляции равен
Аналогично по формуле (4.11) находятся полугодовой и квартальный темпы инфляции:
Рассмотрим денежную сумму S при t = 0 и t = Т в условиях инфляции. Если Р(0) и Р(Т) – цены рыночной корзины при t = 0 и t = Т, то цена при t = Т увеличилась по сравнению с ценой при t = 0 в Р(Т)/Р(0) раз, а соответственно реальная ценность денежной суммы S – покупательная способность – уменьшилась в то же число раз, равное, согласно формуле (4.5), величине 1 + hT.
Обычно покупательную способность С денежной суммы S соотносят с этой суммой в каждый момент времени t по формуле
(4.12)
На основании (4.12) покупательную способность денежной суммы можно сравнить в различные моменты времени. Например, для t = 0 и t = Т имеем
23
Если денежная сумма S(t) не претерпевает процесса наращения по какой-либо схеме,
то S(T) = S(0) и, следовательно, |
С(Т ) |
|
1 |
, |
|
С(0) |
1 hT |
||||
|
|
||||
покупательная способность уменьшилась в 1 + hT раз. Пусть сумма S(0) за время Т наращивается по закону простых процентов с процентной ставкой iT. Тогда S(T) = S(0)
|
С(Т ) |
1 |
iT |
|
||
(1+iT) и |
|
|
|
|
. |
(4.13) |
С(0) |
1 |
h |
||||
|
|
|
|
T |
|
|
Равенство (4.13) можно записать в виде
(4.14)
Формула (4.14) показывает изменение покупательной способности денег с учетом инфляции при темпе hT и наращения по простым процентам при процентной ставке iT. Введем реальную процентную ставку (или реальную доходность) rT по формуле
(4.15)
Величина rT определяет доходность операции инвестирования в схеме простых процентов при учете инфляции. Из формулы (4.14) и (4.15) следует соотношение
или
(4.16)
Если период Т равен одному году, то нижний индекс у переменных опускают: h — годовой темп инфляции, i – годовая процентная ставка, rT – реальная годовая ставка доходности.
Формула (4.16) опровергает распространенное заблуждение, что реальная ставка доходности равна разности процентной ставки и темпа инфляции.
Пример 4.2. Определить реальную годовую ставку доходности, если годовая процентная ставка 30%, а месячный темп инфляции составляет 2%.
Решение. Найдем вначале по формуле (4.10) годовой темп инфляции:
На основании формулы (4.16) можно записать r = |
|
i |
h |
, или r |
0,3 |
0,27 |
0,02(2%). |
|
1 |
h |
1 |
0,27 |
|||||
|
|
|
||||||
Обычно инвестор задается минимальной приемлемой для себя реальной процентной
24
ставкой r, называемой барьерной ставкой, и затем по формуле (4.17) находит минимальную процентную ставку i, начиная с которой имеет смысл инвестировать средства. Искомая величина i определяется равенством
(4.18)
Формула (4.18) носит, название формулы Фишера. Величина h(1 + r) из формулы (4.18) называется инфляционной премией.
Пример 4.2. Пусть барьерная ставка равна 10%. При годовом темпе инфляции 24% найти минимальную приемлемую процентную ставку инвестирования.
Решение. Согласно формуле (4.18), имеем
Исчислим теперь реальную ставку доходности с учетом инфляции и налогообложения. Пусть ставка налога на прибыль равна f. Тогда при заданной годовой процентной ставке i начальный капитал Р дает прибыль iР, налог с которой равен сумме iPf. Таким образом, чистая прибыль то есть (за вычетом налога), равна величине iР(1-f). Из последнего выражения следует, что фактическая процентная ставка if с учетом налогообложения определяется равенством if = i(1 – f). (4.19)
Подставляя в равенство (4.17) вместо i величину i /1 f , получим реальную годовую
ставку доходности:
(4.20)
с учетом инфляции и налога на прибыль.
Пример 4.3. Определить реальную ставку доходности при годовой процентной ставке 50%, годовом темпе инфляции 36% и ставке налога на прибыль 20%.
Решение. Согласно формуле (4.20),
Если бы налог не учитывался, то реальная процентная ставка равнялась бы
Таким образом, даже двадцатипроцентный налог на прибыль снизил реальную ставку доходности более, чем в три раза. Этот факт объясняется тем обстоятельством, что налог взимается с номинального дохода, а не с реального.
Из равенства (4.20) можно найти номинальную процентную ставку i:
(4.21)
Пример 4.4. При барьерной ставке 10% годовых, годовом темпе инфляции 30% и налоге на прибыль 25% найти фактическую процентную ставку инвестирования.
Решение. Согласно формуле (4.21) имеем
25
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.С помощью какого основного показателя оценивается процесс обесценения денег?
2.Каким соотношением связаны темпы инфляции за различные периоды времени?
3.Каким образом реальная процентная ставка за период времени связана с темпом инфляции и простой процентной ставкой наращения капитала?
4.В чем заключается экономическое содержание формулы Фишера?
5.Каким образом вычисляется реальная процентная ставка с учетом налогообложения?
5. ПОТОКИ НАЛИЧНОСТИ
5.1.Понятие потоков наличности.
5.2.Текущая стоимость потока наличности.
5.3.Оценка текущей стоимости потока наличности.
5.4.Процентный доход.
5.1. Понятие потоков наличности
Во многих задачах теории сложных процентов требуется найти текущую стоимость серии будущих выплат (или поступлений). Эти выплаты носят название потоков наличности.
Потоки наличности подразделяются на дискретные и непрерывные. Под дискретными понимают такие потоки, в которых выплаты (или поступления) денег происходят в фиксированные, отделенные друг от друга интервалами, моменты времени t. Число этих моментов времени может быть как конечными, так и бесконечными.
Иногда удобно рассматривать непрерывные потоки наличности, которые являются хорошей математической моделью частых выплат, например, еженедельных пенсий. Непрерывные потоки в момент времени t характеризуются нормой выплат p(t) в единицу времени.
Функция p(t) определяется следующим образом. Обозначим через Ф(t) сумму выплат от нулевого момента времени до момента t. Тогда, по определению,
(5.1)
Другими словами, норма выплат – это скорость изменения суммы выплат. Рассмотрим интервал времени от а до 13. Из реального смысла функции Ф(t) следует, что сумма выплат в этом интервале равна Ф ( ) Ф( ) .
Пользуясь определением интеграла, запишем
(5.2)
26
Подставляя в формулу (5.2) формулу (5.1), получим
Ф( ) Ф( ) p(t)dt.
(5.3)
5.2. Текущая стоимость потока наличности.
Рассмотрим вначале дискретный поток. Пусть в моменты времени tj производятся выплаты Cj . Тогда текущая стоимость на момент времени t = 0 этого потока равна
|
w |
|
A(0) |
C j V (t), |
(5.4) |
|
j 1 |
|
где функция V(t) определяется формулой (3.22). В формуле (5.4) w может равняться и бесконечности, тогда нужно потребовать, чтобы ряд в правой части (5.4) сходился.
Рассмотрим непрерывный поток наличности с нормой выплат p(t). Рассмотрим
t |
t |
интервал времени от t до t + t. Тогда сумма выплат равна |
Sdt p ∆ t. |
|
t |
Текущая стоимость этой суммы на момент времени t = 0 равна Vp∆t.
Суммируя эту текущую стоимость по всем малым интервалам в пределах от t = 0 до t = Т и заменяя сумму интегралом, получим текущую стоимость потока наличности:
(5.5)
Вформуле (5.5) может быть Т = . Если одновременно имеются как дискретный, так
инепрерывный потоки наличности, то общая текущая стоимость находится по формуле
(5.6)
Замечание, Выше предполагалось, что все выплаты являются положительными, однако можно рассмотреть отрицательные выплаты, то есть когда имеются доходы и расходы. В этом случае чистая текущая стоимость определяется как разность положительного и отрицательного потоков наличности.
Пример 5.1. Пусть (t) 
Найти V(t) и затем найти текущую стоимость непрерывного потока наличности за 15 лет при норме 1 в год, начиная с момента t = 0.
27
Решение. По формуле (3.22) найдем V(i) при 0 t < 10:
При t 10
Итак,
Найдем текущую стоимость:
5.3.Оценка текущей стоимости потока наличности
Впредыдущем разделе была выведена формула текущей стоимости в начальный момент времени t0. Поставим более общую задачу: найти текущую стоимость на любой момент t и найти простую формулу, позволяющую произвести перерасчет текущей стоимости с момента t± на момент t%.
Рассмотрим моменты времени t1 и t2, причем не обязательно t2 больше t1.
Определение. Стоимостью А на момент времени t1 суммы С, выплачиваемой в момент времени t2, называется:
а) накопление С на срок от t2 до t1 при t1 > t2;;
б) дисконтированная стоимость на момент t1 суммы С, выплачиваемой в момент
времени t2, если t2 > t1.
В обоих случаях эта величина А находится по формуле
|
t2 |
|
А С exp |
(t)dt |
(5.7) |
|
t0 |
|
Воспользуемся теперь свойствами интеграла и показательной функции:
28
Тогда формула (5.7) примет вид:
(5.8)
Найдем текущую стоимость на момент t(1) заданного потока наличности (заданы С и норма p(t)).
Для этого достаточно воспользоваться формулой (5.6) и формулой (5.8), где t1=t(1):
|
(5.9) |
В формуле (5.9) интегрирование ведется от – |
до + , так как учитываются все |
платежи при t < t(1) и при t > t(1).
Рассмотрим теперь другой фиксированный момент времени t(2) и найдем текущую стоимость данного потока на момент t(2). По аналогии с формулой (5.9) будем иметь
(5.10)
Сравнивая формулы (5.9) и (5.10), получим
(5.11)
Равенство (5.11) символически можно изобразить следующим образом:
(5.12)
Пример 5.2. Бизнесмен должен уплатить 1000£ 1 января 1986 2500£ 1 января 1987 и 3000£ 1 июля 1987. Полагая силу процента постоянной и равной 0,06 в год, найти стоимость этих платежей на а) 1 января 1984, б) 1 марта 1985.
|
t |
Решение. Найдем вначале V(t): V (t) exp |
0,06dt e 0,06t . |
|
0 |
Воспользуемся формулой (5.9), полагая t(1)= 0, т.е. за нулевую точку отсчета взяв 1 января 1984
б) воспользуемся формулой (5.11), полагая t(1) = 0, t(2) = |
14 |
, А(0) = 5406,86: |
|
12 |
|||
|
|
Пример 5.3. Найти накопленную стоимость через 10 лет десяти ежедневных выплат в размере 1000£, если первая выплата производится в момент t = 0. Сила процента определяется формулой Студли с параметрами р = 0,076961; r = 0,5; s = 0,121890.
Решение. Найдём текущую стоимость потока на момент t = 0:
29
Сделаем перерасчет, исходя из формулы (5.11):
В случае формулы Студли величина V(t) находится из равенства (3.26):
Выполнив расчеты, получим 4(10) = 22622£.
5.4. Процентный доход
Рассмотрим задачу, когда инвестор не накапливает капитал, но снимает проценты, оставляя начальную сумму Р неизменной. Пусть вначале инвестор желает получать доход в конце каждого единичного момента времени с фактической процентной ставкой, равной i. В этом случае процентный доход в единицу времени равен рi.
Рассмотрим более сложную ситуацию, когда инвестор вкладывает капитал Р в начальный момент t0 и желает получать проценты до момента времени t в конце
каждого интервала длительностью h, где h = |
t t0 |
, |
|
n |
|||
|
|
n – целое число. Тогда в конце j-гo интервала инвестор будет получать доход j S P 
h 
ih 
(t0 
jh), 1 
j n
Здесь ih (t0 
jh) – номинальная процентная ставка на интервале времени от t0 + (j – 1) до t0
+jh. Сумма S процентного дохода к моменту t будет равна
(5.13)
Пусть теперь нам дана сила процента t . В этом случае равенство (5.13) можно записать в терминах ( t ).
Для этого в (5.13) достаточно перейти к пределу при h → + 0, воспользоваться определением (3.1) для t 
и определением определенного интеграла:
Тогда, по определению, норма выплат процентного дохода p(t) равна p(t) = S'(t) = P ( t ), а текущая стоимость на момент процентного дохода от to до t по формуле (5.5)
равна
30