- •Введение
- •1 Основные понятия
- •2 Арифметический, геометрический и гармонический ряды
- •3 Необходимый признак сходимости ряда
- •4 Основные свойства сходящихся рядов
- •5 Упражнения и вопросы для самопроверки
- •6 Положительные ряды
- •7 Упражнения и вопросы для самопроверки
- •8 Знакопеременные ряды
- •9 Упражнения и вопросы для самопроверки
- •Библиографический список
- •Алфавитно-предметный указатель
сходится, то сходится и данный ряд.
Заметим, что по предельному признаку Даламбера вопрос о сходимости этого ряда остался бы открытым, т.к.
|
|
|
|
|
|
D |
lim |
un |
1 |
lim |
n2 |
1 |
|
1. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
un |
|
n 1 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
1 |
|
||||||
Замечание 14. Если в положительном ряде суммирование начинает- |
|||||||||||||||||||||
ся с n k |
k 1 , то вместо интеграла (35) надо брать интеграл f x dx . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
Пример 30. Исследуем на сходимость ряд n |
|
1 |
. Очевидно, что |
||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||
n ln n |
|||||||||||||||||||||
функция f |
x |
|
1 |
|
на промежутке 2, |
имеет свойства, указанные в |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
ln x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
теореме 8. |
Согласно последнему замечанию надо исследовать на сходи- |
||||||||||||||||||||
мость интеграл |
|
1 |
|
dx . Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
x ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
ln ln x |
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то интеграл расходится; следовательно, расходится исследуемый ряд.
7Упражнения и вопросы для самопроверки
1.Исследовать на сходимость с помощью признака сравнения следующие ряды:
1.1) |
1 |
; |
|
1.2) |
|
1 |
|
|
; |
1.3) |
1 |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n 15 2n |
|
|
n 1 n 5n |
|
|
n 1 nn |
|
|
|||||||||||
1.4) |
1 |
|
; |
1.5) |
|
1 |
|
; |
|
1.6) |
1 |
|
; |
|||||||
|
|
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
n |
|
n 1 |
3 n |
|
|
|
|
n 2 ln n |
47
1.7) |
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
1.8) |
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
1.9) |
|
|
|
2n |
1 |
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n2 |
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
n n 1 |
|
|
n 1n |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||
|
|
1 |
3n |
|
|
1.11) |
|
|
1 |
|
|
; |
|
1.12) |
|
|
|
|
1 |
|
|
a 0 . |
||||||
1.10) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3n |
|
|
|
n |
|
2n |
|
1 |
an |
|||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
2. На основании рядов с общими членами |
1 |
, |
1 |
|
, |
1 |
|
|
|
исследо- |
||||||||||||||||||
n |
n2 |
|
n n |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вать на сходимость с помощью предельного признака сравнения следующие ряды:
2.1) |
|
|
|
1 |
|
; |
2.2) |
|
n |
|
|
; |
|
2.3) |
|
n 3 |
; |
|
|
||||
|
n 1 n 1 2 |
|
|
n 1 n2 |
1 |
|
n 1 n2 |
|
|
|
|||||||||||||
2.4) |
|
1 |
; |
|
|
2.5) |
|
|
2n |
; |
2.6) |
|
1 |
|
|
; |
|
|
|||||
n 1 n3 |
|
|
n 13n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
10 |
3 n2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||||||||||||||
2.7) |
5 |
n |
; |
|
2.8) |
1 |
|
; |
|
|
2.9) |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 1 2 |
n3 |
|
|
|
n 1 n n |
|
|
|
|
n 1 n2 |
2n 3 |
|
3. Провести исследование на сходимость следующих рядов на основании признаков Даламбера:
3.1) |
|
|
1 |
|
; |
|
|
3.2) |
|
|
n |
; |
|
3.3) |
|
|
|
n |
|
; |
|
|||||
|
n 1 n! |
|
|
|
|
|
n 13n |
|
|
|
|
|
n 1 n 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
4n |
|
|
|
||||||
3.4) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
3.5) |
|
|
n! |
|
|
|
; |
3.6) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
n |
1 n |
|
|
|
n |
1 |
|
|
n |
n |
1 n! |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n |
1 |
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|||||
3.7) |
|
|
|
|
; |
3.8) |
|
|
|
; |
|
3.9) |
|
|
|
|
. |
|||||||||
n |
1 n2 n |
1 2 |
n |
1 |
n! |
|
n |
15n |
n2 |
4. С помощью радикальных признаков Коши исследовать на сходимость следующие ряды:
|
|
n |
n |
4.2) |
|
5n |
; |
|
|
n |
n2 |
|
4.1) |
|
|
|
; |
|
|
4.3) |
|
; |
|||
n 1 5n 1 |
n 1 nn |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n 2 |
|||||||
|
|
|
|
n |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48
|
|
|
nn |
|
|
|
|
4.5) |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
n |
||||||||||
4.4) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||
n |
1 |
2n |
|
|
|
|
n |
1 nn |
|
|
|
n |
1 4n |
|
|
5 |
|
||||||||||||||||
4.7) |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
n2 |
|
4.9) |
|
|
|
|
3n |
|
|
|
. |
|
||||||
|
2 ln n n |
|
4.8) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
1 1 |
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5. Исследовать на сходимость с помощью интегрального признака |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Маклорена – Коши следующие ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5.1) |
|
1 |
|
|
; |
|
5.2) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
5.3) |
|
|
|
|
n |
|
|
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n 1 n2 |
4 |
|
|
|
|
n 1 2n2 1 |
|
|
n 1 n2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.4) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
5.5) |
|
|
arctgn |
; |
|
5.6) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n 2 n ln n 2 |
|
|
n 1 1 n2 |
|
|
|
|
n 3 n ln n ln ln n |
6. Применяя различные признаки сходимости положительных рядов, исследовать ряды:
6.1) |
n |
; |
|
|
|
6.2) |
|
2n |
1 |
; |
|
|
|
6.3) |
|
n |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 n! |
|
|
|
n 1 2n |
|
|
|
n 15n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
6.4) |
|
; |
|
6.5) |
|
; |
|
|
6.6) |
|
|
|
|
n |
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 2 3n |
|
|
n 1 2n |
n3 |
|
|
|
n 1 |
|
|
n! |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
n |
|
|
|
n! |
4 n |
|
|
|
6.9) |
|
|
|
n3 |
|
; |
||||||||||||||
6.7) |
|
|
|
|
; |
|
|
6.8) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
n |
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
n 1 |
n 1 ! |
||||||||||||||||||||
6.10) |
|
|
n |
; |
|
|
|
1 |
3 |
|
n |
6.12) |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
6.11) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 2n |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
n 1 n2 |
1 |
|||||||||||||||||||
6.13) |
|
|
|
|
n 1 |
; |
6.14) |
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
6.15) |
|
|
|
ln n |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 n2 n 2 2 |
|
|
n 2 n ln n |
n 2 n |
|
|
|
7.Какие ряды называются положительными?
8.В чём состоит критерий сходимости положительного ряда?
9.Сформулируйте признаки сравнения сходимости положительных
рядов.
49
10.Верно ли для положительных рядов утверждение: «из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами»?
11.Сформулируйте признаки Даламбера сходимости строго положительных рядов.
12.Что можно сказать о сходимости строго положительного ряда,
если D lim |
un 1 |
1? |
|
un |
|||
n |
|
13.Приведите по одному примеру сходящегося и расходящегося рядов, для которых число D из предельного признака Даламбера равно единице.
14.Можно ли получить ответ на вопрос о сходимости ряда по непредельному признаку Даламбера, если предельный признак не действует?
15.Что можно сказать о строго положительном ряде в случае выпол-
нения неравенства |
un |
1 |
1? |
un |
|
||
|
|
|
16. Сформулируйте радикальные признаки Коши сходимости положительных рядов.
|
|
|
|
17. Что можно сказать о сходимости ряда, если K lim n u |
n |
1? |
|
n |
|
||
|
|
18.Приведите по одному примеру сходящегося и расходящегося положительных рядов, для которых число K из предельного признака Коши равно единице.
19.Можно ли получить ответ на вопрос о сходимости положительного ряда по непредельному признаку Коши, если предельный признак не даёт ответа?
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
Что можно сказать о положительном ряде, если n u |
n |
1 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
Что можно сказать о сходимости рядов, если |
D |
или |
||
K |
? |
|
|
|
|
|
22.Поясните примером, что предельный признак Коши сильнее предельного признака Даламбера.
23.Приведите пример ряда, для которого оба признака (Даламбера и Коши) не применимы.
50