§ 2. Элементарные преобразования графиков

Пусть на некотором промежутке (интервале или отрезке) построен график функции . Тогда на основе этого графика:

1) а) график функции получается сдвигом вправо на p единиц;

б) график функции получается сдвигом влево на p единиц;

в) график функции получается сдвигом вверх на P единиц;

г) график функции получается сдвигом вниз на P единиц.

Эти преобразования называются сдвигом графика;

2) а) график функции получается сжатием в k раз вдоль оси ОХ

( в k раз приближается к оси OY);

б) график функции получается растяжением в K раз вдоль оси OY

( в K раз отдаляется от оси ОХ).

Эти преобразования называются растяжением графика;

3) Кроме того,

а) график функции получается отражением от оси OX;

б) график функции получается отражением части, лежащей ниже оси ОХ, относительно этой оси. Затем график под осью ОХ удаляется. Часть, лежащая выше оси OX, не меняется.

Область определения функции (если таковой областью не служит вся числовая ось) меняется в случаях 1а, 1б и 2а; область значений – в остальных случаях.

ЭП1. Постройте график функции . При помощи элементарных преобразований постройте графики функций .

1) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

2) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

3) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

4) (правая ветвь);

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

Замечание 1. График функции строится на полуоси , поскольку не определено. Соответственно строятся и все последующие графики, например – на , – на , и т.п.

ЭП2. Постройте графики при помощи элементарных преобразований:

1) а) ; б) ; в) ;

2) а) ; б) ; в) ;

3) а) ; б) ; в) ;

4) а) ; б) ; в) ;

5) а) ; б) ; в) ;

6) а) ; б) ; в) ;

7) а) ; б) ; в) .

Пример 1. Пусть . Поскольку и при этом , то , или . Строим параболу , а затем

а) смещаем на 1 ед. влево – теперь вершина не в точке , а в точке . Получаем график функции ;

б) растягиваем в 2 раза по вертикали. Точка превращается в , точка – в точку , и т.д. Получается график функции ;

в) поднимаем график на 3 ед. Вершина оказывается в точке .

ЭП3. Постройте схематичные графики функций

а) при помощи асимптот и точек пересечения с осями координат;

б) при помощи элементарных преобразований графика функции :

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Пример 2. Построим график функции .

1-й способ. В точке знаменатель обращается в 0, а при значения очень велики. Это означает, что – не только координаты точки, которую нельзя подставить, но и уравнение вертикальной асимптоты.

Горизонтальная асимптота – это прямая, к которой приближается график при очень больших x (при ). Легко заметить, что при больших значениях x дробь . Значит, – уравнение горизонтальной асимптоты.

График пересекает ось OY, когда , при этом .

График пересекает ось OX, когда . Из уравнения находим, что , и потому .

Итак, график пересекает ось OX в точке , ось OY – в точке , уходит в бесконечность вдоль вертикальной прямой , а при удалении вправо и влево приближается к горизонтальной прямой .

2-й способ. Чтобы построить график при помощи элементарных преобразований, функцию следует привести к виду или к виду , где – некоторые числа.

Заметим, что , и выделим в числителе часть, пропорциональную замеченной скобке : , тогда (сокращение на 2 во 2-й дроби случайно). Получили, что , и тогда ;

а) строим график функции ;

б) сдвигаем его на 4 ед. влево – график вытягивается по вертикали не вдоль оси OY, а вдоль прямой ;

в) отражаем график относительно оси OY – ветви «переворачиваются»;

г) поднимаем график на ед.– ветви вытягиваются вдоль прямой .