571_Sibirjakov_E.B._Kratkij_Kurs_Linejnoj_Algebry

Это же выражение можно записать как символический определитель, который вычисляется разложением по верхней строке.

Вычисление площади параллелограмма и треугольника

Из определения векторного произведения видно, что модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Соответственно, площадь треугольника, построенного на этих же векторах равна половине площади параллелограмма. Соответственно, для нахождения площадей, необходимо вычислить векторное произведение, а затем вычислить его модуль. При необходимости разделить на два.

Задачи, решаемые с помощью векторного произведения

1.Вычисление площади параллелограмма и треугольника.

2.Различные физические задачи, например, вычисление силы Лоренца. F = q[v,B]. Помните, как в школе говорили про правило правого винта? Теперь про винты можно забыть.

3.Векторное произведение используются в дифференциальной геометрии для вычисления элемента поверхности, а также вектора единичной нормали к поверхности. Там кроме нахождения векторного произведения нужно уметь вычислять производные. Это находится за рамками нашего курса.

Смешанное произведение

Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на тре-

тий. (a,b,c) = ([a,b],c).

Вычисление смешанного произведения векторов в декартовых координатах

Векторное произведение мы вычислять умеем, скалярное – тоже. Соответственно, если даны три вектора, то выполнить последовательно эти две операции не составит особого труда:

31

a axi ay j azk;b bxi by j bzk;c cxi cy j czk;

a,b i(aybz azby ) j(azbx axbz ) k(axby aybx ); (a,b,c) cx (aybz azby ) cy (azbx axbz ) cz (axby aybx )

cx cy cz ax ay azax ay az bx by bz . bx by bz cx cy cz

Последнее равенство получено на основании того, что определитель меняет знак, если переставить две соседние строки, и, соответственно, не изменяется, если переставить строки одинаковой четности.

Обратите внимание на то, что если векторное произведение – это символический определитель (т. е. совсем не определитель, а что-то, что вычисляется по такому же алгоритму, что и определитель), то смешанное произведение – число, которое в точности равно определителю матрицы, строками которой являются координаты векторов.

Свойства смешанного произведения

1.При перестановке двух соседних векторов смешанное произведение меняет знак. Это следует из свойства определителей, упомянутого чуть выше.

2.Если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно ну-

лю.

3.Если тройка векторов a,b,c – правая, то (a,b,c) > 0. Если левая, то

(a,b,c) < 0.

Геометрический смысл смешанного произведения

Даны три некомпланарных вектора a,b,c. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a,b, равна модулю их векторного произведения. Объем параллелепипеда есть произведение площади основания на высоту. Вектор [a,b] ортогонален вектору а и вектору b, т. е. ортогонален их любой линейной комбинации → ортогонален плоскости, построенной на этих векторах. Следовательно, высота есть модуль проекции вектора с на [a,b].

пр[a,b]c = ([a,b],c)/|[a,b]| = (a,b,c)/|[a,b]|.

Вычисление объема призмы и пирамиды

Объем треугольной призмы равен произведению площади основания на высоту. Основание призмы – треугольник. Площадь основания – половина модуля векторного произведения. Высота вычисляется аналогично указанному

32

выше, соответственно, объем треугольной призмы есть половина модуля век-

торного произведения. Vпр = |( , , )|. Объем тетраэдра (пирамиды с треуголь-

ным основанием) есть одна треть от площади основания, умноженной на высо-

ту. Соответственно, Vтетр = |( , , )|.

Задачи, решаемые с помощью смешанного произведения

1. Вычисление объемов параллелепипедов, треугольных призм и тетраэд-

ров.

2.Решение геометрических задач, связанных с нахождением высоты, площади основания, углов между ребрами.

3.Использование условия компланарности (линейной зависимости) трех векторов.

Пример. Даны четыре точки в пространстве: А(2,1,3), В(1,1,4), С(3,5,2), D(–1,0,3). Найти объем тетраэдра с вершинами в этих точках.

Решение. Построим на этих точках векторы АВ, АС и AD.

АВ = (–1, 0, 1); АС = (1, 4, –1); АD = (–3, –1, 0). Вычислим смешанное произве-

дение и объем:

33

достаточно сложная операция, которая может изменить как модуль, так и направление вектора. Зададимся вопросом, а может ли воздействие матрицы на какой-либо вектор быть максимально простым? Например, действовать как скаляр, т. е. в результате воздействия матрицы на вектор получится вектор, коллинеарный исходному? Логично для таких векторов ввести особое название

– собственные векторы. Итак, если для какого-либо вектора r и числа λ выпол-

Замечание 1. Если хотя бы одно из собственных чисел матрицы есть ноль

– то матрица вырожденная.

Замечание 2. Собственный вектор определен не однозначно. В самом деле, если собственный вектор умножить на какое-либо число, не равное нулю, то получится также собственный вектор (проверьте!).

вается характеристическим. Для матрицы второго порядка это уравнение будет квадратным, для матрицы размера 3×3 – уравнением третьей степени, т. е. порядок уравнения совпадает с порядком матрицы А. В случае, если размерность матрицы есть 2, и матрица симметрична, характеристическое уравнение имеет вид:

задав произвольно одну из координат, и это будет собственный вектор, соответствующий данному собственному числу.

Поскольку корни уравнения могут быть вещественными, а могут и комплексными, то возникает вопрос, а сколько у матрицы собственных векторов? Ответить на этот вопрос в одном важном частном случае симметричной матрицы помогают следующие теоремы.

34

Теоремы о свойствах собственных чисел и собственных векторов

1.Все собственные числа симметричной матрицы вещественны.

2.Собственные векторы симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Применение для больших систем, обусловленность

Стандартные программы находят решения систем уравнений достаточно легко и быстро, но этим решениям можно доверять не всегда (особенно в случае больших систем). Собственные числа для таких систем очень важны. Допустим, необходимо решить СЛУ Ах = b, где А – матрица коэффициентов (не вырожденная), х – столбец искомых переменных, b – столбец свободных членов. Если матрица А не является симметричной, то систему можно симметризовать

самое большой из них разделить на самое малое, то получим число, называемое обусловленностью системы (Cond(A)). Если это число получилось большим (больше 1000), то значит, что система плохо обусловлена, т. е. пользоваться стандартными программами для нахождения ее решения нельзя. В таких случаях будьте бдительны, не стесняйтесь обращаться к специалистам по некорректным задачам.

35

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данный курс лекций не является всеобъемлющим и полным. Однако я надеюсь, что он поможет овладеть в достаточной степени навыками решения, алгоритмами, основными понятиями (тем, что обычно называют матаппаратом) линейной алгебры. В свою очередь, знание алгоритмов позволит в очень короткий срок освоить как геометрические, так и любые другие приложения. Все остальное, что есть в линейной алгебре можете рассматривать как частные случаи и приложение этого краткого курса.

Если в той или иной степени вы столкнетесь с математическим моделированием, обработкой реальных данных, то, то что вы изучили, вам более чем пригодится.

Вот краткий список навыков, что вы получили (точнее, должны были получить) в ходе курса:

1)как перемножаются матрицы;

2)что такое определитель, как его вычислять;

3)что такое обратная матрица;

4)что такое ранг матрицы и как его находить;

5)как решать системы линейных уравнений;

6)что такое вектор и что такое базис. Как изменяются координаты вектора при изменении базиса;

7)как вычислять скалярное и векторное произведение векторов в декартовых координатах;

8)что такое собственные числа и собственные векторы. Зачем они нужны.

36

ЛИТЕРАТУРА

1.Зеленцов Б.П. Алгебра и геометрия : учеб. пособие. – Новосибирск, 2009. – 124 с.

2.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1968–1984. – 832 с.

3.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –

М.: Наука, 1980.

4.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980–1988.

5.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.:

Наука, 1979.

6.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высш. школа, 1980. Ч. 1.

7.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука,

1972.

8.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – 1971.

9.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1984.

10.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.:

Наука, 1965–1980.

11.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. – М.:

Наука, 1978.

12.Сборник задач по математике для втузов / под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа.

11.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.:

Рольф, 2002. Ч. 1.

12.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2005.

13.Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – М.: Айрис-пресс, 2003.

37

38

Учебное издание

Сибиряков Егор Борисович

Краткий курс линейной алгебры

Редактор Т.В. Храмова Корректор М.Г. Девищенко

Подписано в печать 15.10.2015.

Формат бумаги 62 × 84/16, отпечатано на ризографе, шрифт № 10, п. л. – 2,4, заказ № 154, тираж 50.

Редакционно-издательский отдел СибГУТИ 630102, г. Новосибирск, ул. Кирова, 86, офис 107, тел. (383) 269-82-36

39