571_Sibirjakov_E.B._Kratkij_Kurs_Linejnoj_Algebry

Равенство векторов

В геометрии дается следующее определение равенства векторов. Два вектора называются равными, если их направления совпадают и модули равны. Можно сформулировать это и проще. Два вектора равны, если в какой-либо координатной системе совпадают все их координаты.

Линейные операции над векторами

Линейные операции – умножение вектора на число (скаляр) и сложение векторов.

Для того чтобы умножить вектор на число, надо на это число умножить все его координаты. Для того чтобы сложить два вектора, нужно сложить их соответствующие координаты.

В геометрии это иллюстрируется правилом параллелограмма:

1)совместить начала суммируемых векторов;

2)на этих векторах построить параллелограмм;

3)вектор на диагонали и будет суммой.

Рис. 1. Сложение векторов по правилу параллелограмма

Замечание. Разность векторов – сумма первого вектора и второго, умноженного на (–1).

Вообще говоря, покоординатно (или, как говорят, покомпонентно) векторы складывать гораздо удобнее, так что про параллелограммы можно забыть.

Линейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов называется выражение вида:

λ1а1 + λ2а2 +…+ λnan.

Линейная комбинация – это вектор, полученный в результате линейных операция над векторами.

21

Линейная зависимость векторов

Система векторов а1, а2, … ,аn называется линейно зависимой, если существуют числа λ1, λ2, …, λn не все равные нулю (нетривиальный набор чисел), для которых линейная комбинация векторов есть нулевой вектор, т. е.

λ1 а1+ λ2 а2+ …+ λn аn = 0.

Если же таких чисел не существует, то система векторов называется линейно независимой.

Смысл. Система векторов линейно зависима ↔ хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.

22

ЛЕКЦИЯ 6

Базис пространства

Базисом n-мерного пространства называется любая система линейно независимых векторов этого пространства, линейной комбинацией которых является любой вектор этого пространства.

Пояснение. b = λ1а1 + λ2а2 + … + λnan, при этом упорядоченный набор чисел λ1, λ2, …, λn называется координатами вектора b в базисе (а1, а2,…,an). Иногда этот же набор называется коэффициентами разложения вектора b по базису (а1, а2,…,an). Базис же называется системой координат.

Следствие. В n-мерном пространстве базисом будет система из n векторов. Это одно из определений размерности пространства.

Соответственно, базисом на плоскости могут быть любые два неколлинеарных вектора. Базисом же трехмерного пространства может быть любая тройка некомпланарных векторов.

Декартова (Cartesian) ортонормированная система координат на плоскости

На плоскости декартов базис задается двумя ортогональными единичными векторами, отложенными по осям x и y. Они называются ортами и обозначаются i и j. Их координаты (1,0) и (0,1). Как вы хорошо помните, оси, вдоль которых откладываются орты, называются соответственно осью абсцисс и осью ординат.

ау а

ах

Рис. 2. Координаты на плоскости

Любой вектор в декартовой системе координат на плоскости представляется в виде линейной комбинации ортов: а = ахi + ayj = (ах, аy).

То есть каждый вектор представляется в виде пары упорядоченных чисел, называемых координатами. Если заданы координаты начала вектора А(х1,у1) и

23

конца В (х2,у2), то координаты вектора АВ вычисляются как разность соответ-

ствующих координат: AB (x2 x1,y2 y1).

Радиус-вектором точки М(х,у) называется вектор, конец которого находится в точке М, а начало находится в начале координат. Обозначается r(х,у). Его координаты совпадают с координатами точки М.

Декартова ортонормированная система координат в пространстве

В пространстве декартов прямоугольный (ортонормированный) базис задается тремя ортогональными единичными векторами, отложенными по осям ОХ, ОY и ОZ. Они называются ортами и обозначаются i, j, k (их координаты вы сможете определить самостоятельно). Оси, вдоль которых откладываются орты называются соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.

Любой вектор в декартовой системе координат в трехмерном пространстве представляется в виде линейной комбинации ортов:

а = ахi + ayj + azk = (ах, аy, az).

То есть каждый вектор представляется в виде тройки упорядоченных чисел, называемых координатами.

Если заданы координаты начала вектора А(х1,у1,z1) и конца В(х2,у2,z2), то координаты вектора АВ вычисляются как разность соответствующих координат:

AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1).

Аналогично плоскому случаю радиус-вектором точки М(х,у,z) называется вектор, конец которого находится в точке М, а начало находится в начале координат. Обозначается r(х,у,z). Его координаты совпадают с координатами точки М.

Линейные операции над векторами в декартовых координатах

Даны два вектора: а = (аx,ay,az), b = (bx,by,bz). Напомню, что линейные операции над векторами – это сложение векторов и умножение на скаляр λ. Очевидно, что: λa = (λаx,λay,λaz), a+b = (аx + bx, ay + by, az + bz). Таким образом, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при умножении же на скаляр, все они умножаются на этот скаляр.

Равенство и коллинеарность векторов в декартовых координатах

Из определения равенства двух векторов следует, что два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, т. е. а = b ↔ ax = bx, ay = by, az = bz. Два вектора коллинераны, если a = λb, т. е. (аx,ay,az) = λ(bx,by,bz), т. е. аx = λbx, аy = λby, аz = λbz. То есть соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

ax ay az . bx by bz

24

Переход от одного базиса к другому

Пусть даны три вектора а,b,c в декартовых координатах.

a axi ay j azk;b bxi by j bzk;c cxi cy j czk

ax ay az

Если bx by bz 0, то система векторов а,b,c образует базис. Как выразить cx cy cz

координаты вектора d в новом базисе а,b,c? То есть, как найти коэффициенты разложения вектора по этой тройке? d dxi dy j dzk .

Существует два способа решения задачи. Первый – выразить координаты

Если переходить к новому базису, то матрица А, связывающая векторы нового и старого базиса, называется матрицей перехода от базиса к базису. Соответственно, векторы старого базиса можно вычислить через новый с помощью

ражаются через a,b,c, то и вектор d выражается через a,b,c.

Второй способ. Представим вектор d в виде линейной комбинации a,b,c.

d dxi dy j dzk x1a x2b x3c x1(axi ay j azk) x2(bxi by j bzk) x3(cxi cy j czk).

Приравниваем координаты в старом базисе. Для нахождения коэффициентов разложения получаем систему линейных уравнений (запишем в виде расши-

единственно. То есть задача сводится к решению СЛУ.

Итак, можем вернуться к определению вектора, данному на предыдущей лекции. Вычисление компонент при переходе от одного базиса к другому с помощью алгоритма, указанного выше, и есть тот самый «строго определенный образ». Смысл его в том, что набор чисел, преобразующийся указанным выше образом, не зависит от системы координат и связанной с ней базисом, следовательно, может использоваться для описания объективной реальности.

25

Расширение понятия вектор

С описанным выше алгоритмом преобразования связано и расширение понятия вектор, имеющее достаточно широкое применение. Если компоненты какого-либо объекта преобразуются при смене базиса как произведения соответствующих компонент вектора, то этот объект называют тензором второго (или, соответственно, более высокого) ранга. Сам вектор при этом можно назвать тензором первого ранга, скаляр–тензором нулевого ранга.

26

Очевидно, что координаты единичного вектора совпадают с координатами его направляющих косинусов.

Скалярное произведение

В геометрии скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними, т. е. (a,b) = ab = |a||b|cos , при этом = (a,b). Физический смысл скалярного произведения – работа силы.

Вычисление скалярного произведения в декартовых координатах

Warning. Неумение вычислять скалярное произведение автоматически влечет на экзамене оценку «неудовлетворительно».

Для того чтобы получить формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение произвольных векторов, вычислим скалярные произведения друг относительно друга векторов базиса. Результаты запишем в виде таблицы.

i j k

i 1 0 0

Смысл ее следующий. (i,i) = 1, (i,j) = 0, и т. д. j 0 1 0. Поскольку известно,

k 0 0 1

как умножаются между собой векторы базиса, а каждый вектор есть линейная комбинация векторов базиса, то можно вычислить скалярное произведение двух произвольных векторов.

= + + ; = + + .

27

Поставив нули и единицы в соответствии с таблицей, получаем формулу:

+ + .

Частный случай:

Замечание. В декартовых координатах любой размерности (>3) скалярное произведение вычисляется аналогично.

Скалярный квадрат

Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора с самим собой:

Скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора. Аналогично в декартовых координатах большей размерности (>3) вычисляется скалярное произведение и модуль вектора

Угол между векторами

Из определения скалярного произведения следует, что:

Проекция вектора на вектор

В геометрии проекцией вектора а на вектор b называется число, равное прba = |a|cos , где = (a,b). Соответственно, проекция вектора а на вектор b может быть выражена через их координаты как:

Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения:

1.Нахождение модуля вектора или длины отрезка;

2.Нахождение угла между векторами;

3.Нахождение проекции вектора на вектор.

Правая и левая тройки векторов

Определение. Три линейно независимых вектора образуют правую тройку, если выполняются следующие условия:

28

1)векторы упорядочены, т. е. указано, какой их них первый, второй, тре-

тий;

2)при повороте по наименьшему углу от первого вектора ко второму третий вектор направлен по направлению осевого движения правого винта.

Рис. 4. Правая и левая тройки векторов

Комментарии

1.Если вы крутите гайку с правой резьбой против часовой стрелки, гайка идет вверх.

2.На мой взгляд, в пункте 2 правильнее было бы сказать не о том, что вектор с направлен по направлению осевого движения правого винта, а его проекция на вышеуказанное направление положительна.

3.Далее будет показано, что определять ориентацию тройки можно без сложных построений.

4.Если у одного из векторов правой тройки сменить направление на противоположное (умножить на отрицательный скаляр), или любые два соседних вектора поменять местами, то правая тройка станет левой.

Иногда говорят о правой или левой ориентации тройки. Бывает, что правой ориентации приписывают значение +1, а левой –1 .

29

ЛЕКЦИЯ 8

Векторное произведение

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, удовлетворяющий следующим условиям:

Обозначения: a×b, [a,b].

Свойства векторного произведения

1.Антикоммутативность, т. е. [a,b] = – [b,a].

2.Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулевому

вектору ( = 0 или π, соответственно sin = 0).

Векторное произведение декартовых ортов между собой

Очевидно, что [i,i] = [j,j] = [k,k] = 0. Далее векторные произведения ортов можно вычислить с помощью простой схемы (рис. 5). Если идем по стрелке, получаем +1, если против стрелки, то –1.

[i,j] = k, [j,k] = i, [k,i] = j, [j,i] = – k, [k,j] = – i, [i,k] = – j .

Рис. 5. Схема вычисления векторного произведения ортов

Вычисление векторного произведения в декартовых координатах

Warning. Неумение вычислять векторное произведение автоматически влечет на экзамене оценку «неудовлетворительно».

Зная, как перемножаются между собой орты декартова базиса, можно легко вычислить векторное произведение.

a axi ay j azk;b bxi by j bzk;

a,b axbx[i,i] axby[i, j] axbz[i,k] aybx[ j,i] ayby[ j, j] aybz[j,k] azbx[k,i]

azby[k, j] azbz[k,k] i(aybz azby ) j(azbx axbz ) k(axby aybx ).

30