45. Признак Даламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.Если для числового ряда

существует такое число q, 0 < q < 1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если ρ < 1, а если ρ > 1 — расходится .

Замечание. Если ρ = 1, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

46. Признак сравнения

пусть даны два знакоположительных ряда:

и

Тогда, если, начиная с некоторого места (n > N), выполняется неравенство:

,то из сходимости ряда следует сходимость .

Или же, если ряд расходится, то расходится и .

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Если для членов строго положительных рядов и , начиная с некоторого места (n > N), выполняется неравенство: то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости следует расходимость

47. Лейбница признак

сходимости знакочередующегося ряда: если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю то ряд сходится; при этом остаток ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величин.

48. Степенной ряд. Область сходимости степенного ряда

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида: в котором коэффициенты an берутся из некоторого кольца R.

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной X какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке x0. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге | x | < | x0 | и равномерно по x на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при x = x0, он расходится при всех x, таких что | x | > | x0 | . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга R (возможно, нулевой или бесконечный), что при | x | < R ряд сходится абсолютно (и равномерно по x на компактных подмножествах круга | x | < R), а при | x | > R — расходится. Это значение R называется радиусом сходимости ряда, а круг | x | < R — кругом сходимости.