Усе
.pdfЛіва частина рівняння (13) тотожна виразові
2r r dtd V 2 .
Крім того, має місце тотожність
r r r r .
Підставляючи (14) і (15) у (13), отримаємо
d |
|
2 |
|
2 |
|
|
V |
|
r 2 |
||
dt |
|
r . |
Відомо, що
d |
1 |
|
|
r |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r 2 |
||||
dt r |
|
|
|
Підставивши тотожність (17) в рівняння (16) і про інтегрувавши, маємо
V 2 2 h , r
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
де h – стала інтегрування.
Величина V2 пропорціональна кінетичній енергії системи, а 2 r
характеризує потенціальну енергію. Таким чином, V 2 2 r h характеризує сталість алгебраїчної суми кінетичної і потенціальної енергій для даної системи.
Інтеграли Лапласа. Диференціальні рівняння незбуреного руху помножимо векторно на вектор інтеграла площ с
|
|
r c . |
(19) |
r c r 3 |
|||
|
|
|
|
Інтеграл площ с згідно з (10) є результатом векторного добутку векторів r і r . У
правій частині виразу (19) замінимо вектор с, отримаємо
|
|
r r r 0 . |
(20) |
r c r 3 |
|||
|
|
|
|
Векторний добуток трьох векторів можна замінити на скалярний відповідно до правила
a b c b a c c a b .
Зробимо таку заміну в рівнянні (20), маємо
|
r 3 |
r r r r r r r c 0 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Після перетворень запишемо |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
r r r r |
r c 0 . |
||
|
|
|
r 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Отриманий вираз тотожний наступному:
|
d |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r c |
0 . |
|
|
|||||
|
dt |
|
r |
|
|
Інтегруючи вираз (21), отримаємо інтеграл Лапласа у векторній формі
rr r c f ,
(21)
(22)
де f – стала інтегрування. Вираз (22) можна записати у виді, що розкриває векторний добуток
|
|
i |
j |
k |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi yj zk x |
y |
z |
|
f1i f2 j f3k . |
|||
|
r |
c |
c |
|
c |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
Записуючи векторний добуток через визначники і прирівнюючи вирази при однакових ортах, отримаємо рівняння для вектора Лапласа в координатній формі
|
x c3 y |
c2 z f1 , |
|
||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y c z |
c |
3 |
x |
f |
2 |
, |
(23) |
|
|
r |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r z c2 x c1 y f3 .
Формулами (12), (18) і (23) записані сім перших інтегралів рівнянь незбуреного руху ШСЗ – три інтеграли площ, три інтеграли Лапласа та інтеграл енергії. Вони не можуть бути загальним розв’язком тому, що не містять явно час і не є незалежними.
Існує залежність між інтегралами площ і Лапласа, яка виражається наступним рівнянням:
f c 0 , |
(24) |
яке свідчить про ортогональність (перпендикулярність) цих двох векторів. Усі сім сталих зв’язує інше рівняння
f 2 2 hc2 , |
(25) |
де
f f 2 |
f 2 |
f 2 |
; |
c c2 |
c2 |
c2 . |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
Дослідження незбуреного руху. Якщо векторне рівняння інтегралу площ
(10) скалярно помножити на вектор r і здійснити перетворення, отримаємо вираз
r c 0 , |
(26) |
яке виявляється рівнянням площини, що проходить через початок координат. В
координатній формі воно має такий вид:
c1x c2 y c3 z 0 . |
(27) |
Рівняння (26) або (27) показує, що незбурений рух супутника відбувається у незмінній площині, яка визначається тільки початковими умовами задачі і, як наслідок, орбіта ШСЗ є плоскою кривою. Звідси, незбурений рух відбувається у площині, яка перпендикулярна (ортогональна) до вектора площ с. З математики відомо, що положення площини у просторі визначається перпендикулярним
(ортогональним) до неї вектором. Таким чином, вектор площ с визначає орієнтацію площини орбіти супутника у просторі.
Тепер на вектор r помножимо скалярно вектор Лапласа (22), зробимо
перетворення і отримаємо таке рівняння:
r c2 f r , |
|
|
(28) |
||
а у координатній формі воно має такий вид: |
|
|
|
|
|
r c2 f x f |
2 |
y f |
3 |
z . |
(28 ) |
1 |
|
|
|
Рівняння (28) або (28 ) описує поверхню, на якій знаходиться супутник під час руху. Ця поверхня є поверхнею другого порядку, утвореною обертанням навколо осі, яка задана вектором f, один з фокусів якої співпадає з початком координат. Це може бути еліпсоїд, параболоїд або гіперболоїд обертання.
Розв’язок системи складеної з рівнянь (27) і (28 )
c1x c2 y c3 z 0 |
|
r c2 |
(29) |
f1x f2 y f3 z 0 |
геометрично є січення поверхні обертання площиною. В результаті січення виходить плоска крива другого порядку.
Згідно з першим законом Кеплера, незбурена орбіта супутника є плоскою кривою другого порядку, в одному з фокусів якої знаходиться центральне тіло
(для штучних супутників Землі центральним тілом є Земля). В залежності від ексцентриситету орбіта супутника може приймати форму однієї з наступних
плоских кривих другого порядку: |
|
||
- кола, якщо ексцентриситет |
е = 0; |
||
- еліпса, |
- « - |
0 |
< е < 1; |
- параболи |
- « - |
|
е = 1; |
- гіперболи |
- « - |
|
е > 1. |
Найчастіше орбіта ШСЗ є еліпсом. У цьому випадку форма, розміри,
орієнтація орбіти супутника визначається 6-ма параметрами (елементами орбіти), а саме :
a - велика піввісь орбіти, e - ексцентриситет орбіти,
Ω - довгота висхідного вузла орбіти, i - кут нахилу орбіти,
ω - аргумент перицентру,
- момент проходження через перицентр.
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
v |
|
|
|
П |
|
|
|
|
x |
J2000.0 |
|
|
|
|
|
Рис. 1. Елементи орбіти.
Розміри і форма орбіти задаються великою піввіссю а та ексцентриситетом
е орбіти. Орієнтація площини орбіти в просторі визначається довготою висхідного вузла орбіти Ω і кутом нахилу i.
Орбіта супутника перетинає небесний екватор у двох точках. Ці точки називаються вузлами:
-висхідний, в якому супутник перетинає екватор рухаючись з південної півкулі в північну;
-низхідний, в якому ШСЗ перетинає екватор рухаючись з північної півкулі в південну.
Довгота висхідного вузла орбіти вимірюється від точки весняного рівнодення по екватору від 0 до 360 , а кут нахилу і від площини екватора зі
сходу на захід через точку півночі від 0 до 180 . |
|
|
Аргумент перицентру (для ШСЗ - перигею) |
ω орієнтує велику вісь орбіти |
|
(лінію апсид, що з’єднує точки а п о г е ю |
і |
п е р и г е ю) в її площині, і |
вимірюється від точки висхідного вузла по |
орбіті від 0 до 360 . Апогей є |
найвіддаленішою точкою орбіти від Землі, а перигей – найближчою.
Положення супутника на орбіті визначається кутовим параметром v -
істинною аномалією – кутом між напрямом на перигей і на положення супутника
(див. рис. 1).
Пряма, що з’єднує фокуси, тобто лінія апсид, співпадає з напрямком вектора Лапласа, а вектор площ перпендикулярний до площини орбіти (рис. 2).
c
F2 |
F1 |
A |
П |
|
f |
|
r |
m |
|
Рис. 2. Орбіта ШСЗ із взаємним розміщенням векторів r, c і f.
Рух супутника на орбіті визначається другим і третім законами Кеплера. У
другому законі Кеплера зазначається, що за рівні проміжки часу радіус-вектор супутника описує площі рівних секторів. Інакше кажучи, що секторіальна швидкість супутника є стала. Це можна довести, якщо розглядати рух ШСЗ у системі координат O , жорстко скріпленій з площиною орбіти (рис. 3). Дві осі,
О і O лежать у площині орбіти, тоді третя O – направлена перпендикулярно до площини орбіти по вектору інтеграла площ с. Вісь О направлена у точку перигею.
z |
|
|
c |
r |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
П |
|
O |
y |
|
|
|
|
|
N |
x
Рис. 3. Зв’язок систем координат O і Oxyz.
У вибраній орбітальній системі координат (рис. 3) інтеграли площ
отримаємо з виразу
i |
j |
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
0 |
|
i 0 j 0 k c |
, |
(30) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де i , j , k - орти відповідних осей орбітальної системи координат. Розкриваючи визначник і прирівнюючи вирази при однакових ортах, отримаємо
|
|
|
|
(31) |
c . |
|
|
||
Введемо полярну систему координат у площині орбіти через радіус-вектор r |
||||
і кут v, і в цій системі координат |
виразимо інтеграл площ |
(31). Для |
цього |
|
знайдемо вирази для координат , |
і складових вектора |
швидкості |
|
|
|
, |
|||
супутника у площині орбіти |
|
|
|
|
r cos v , |
|
|
|
|
r cosv r sin v v , |
|
|
|
|
r sin v , |
r sin v r cos v v . |
|
|
(32) |
Тепер підставимо вирази (32) у формулу (31) для вектора площ і після перетворень отримаємо
r 2 v c . |
(33) |
Нехай положення супутника за невеликий проміжок часу t зміниться на кут v. Тоді площа, яку опише радіус-вектор супутника, буде площею сектора
|
|
|
|
r 2 |
|
||||
s |
|
|
|
|
v . |
|
|||
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Похідну від площі по часу t називають секторіальною швидкістю, яка |
|||||||||
запишеться так |
|
|
|
|
|
|
|||
s |
ds |
|
|
1 |
r 2v . |
(34) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
dt |
|
2 |
|
|
|
|||
Порівнюючи формули (33) і (34), маємо |
|
|
|
|
|
|
|||
|
s |
c |
|
, |
|
(35) |
|||
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
що виражає другий закон Кеплера.
Рівняння орбіти в полярних координатах. Розв’язок системи рівнянь (29)
єрівнянням орбіти. В орбітальній системі координат система (29)
перетворюється у таку:
0 |
|
. (36)
r c2 f 0
Вполярних координатах друге рівняння системи (36) після підстановки
r cos v прийме вид
|
|
c 2 |
|
|
||
r |
|
|
|
|
. |
|
1 f |
cos v |
|
||||
Якщо позначити |
|
|
|
|
||
c2 p ; |
|
f e , |
(37) |
|||
отримаємо рівняння кривої другого порядку у полярних координатах |
|
|||||
r |
p |
|
, |
(38) |
||
|
||||||
1 e cos v |
де p – параметр кривої, е – ексцентриситет. Параметр орбіти (для еліптичного руху – фокальний параметр) можна виразити через велику піввісь орбіти
p a 1 e2 . |
(39) |
В залежності від ексцентриситету е плоска крива другого порядку може приймати різну форму і значення інтегралів c, f i h при цьому також змінюються. Дослідимо, які значення приймає інтеграл енергії V 2 2 r h при різних ексцентриситетах е. Для цього використаємо рівняння зв’язку перших семи інтегралів (25), в якому враховуючи позначення (37), отримаємо
e2 1 h c 2 . |
(40) |
В еліптичному русі 0 e 1, тоді на основі (40) h 0 , і з інтегралу енергії виходить, що
V 2 2 r .
Це означає, що кінетична енергія руху супутника менша за його потенціальну енергію. Для окремого випадку, коли e 0 , із (40) маємо
h |
. |
(41) |
|
p |
|
При коловому русі радіус орбіти r p a . Враховуючи це і підставляючи
(41) в інтеграл енергії, отримаємо
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
. |
(42) |
||||
|
|
|
r |
|
|||
Якщо приймемо, що Земля сферичної форми з радіусом 6371,1 км |
і = |
||||||
398600,5 км3/с2, то V = 7,91 км/с. |
|
|
|
|
|
|
|
При параболічному русі e 1, тому h 0 і, відповідно |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
V |
2 |
. |
(43) |
||||
|
|||||||
|
|
|
r |
|
Таким чином, при параболічному русі кінетична і потенціальна енергії супутника однакові. Для Землі це відбудеться при швидкості супутника то V = 11,2 км/с.
В теорії руху ШСЗ прийнято колову швидкість супутника називати першою
космічною швидкістю, а параболічну – другою космічною швидкістю.
При гіперболічному русі e 1 і h 0 , тому |
|
V 2 2 r . |
(44) |
В цьому випадку визначальну роль відіграє кінетична енергія супутника, вона більша від потенціальної енергії.
Динамічний інтеграл. Всі, отримані вище, інтеграли (12), (18) і (23) не можуть бути загальним розв’язком системи диференціальних рівнянь незбуреного руху (6), тому що не містять час у явному виді. Інтеграл, який дає в явному виді залежність положення ШСЗ на орбіті від часу t отримаємо інтегруванням виразу для інтеграла площ (33), підставляючи туди рівняння
орбітальної кривої (38), маємо
v |
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t . |
(45) |
||
|
|
|
|
|||||
1 e cos v |
2 |
3 |
||||||
0 |
|
|
|
p |
|