- •РОЗДІЛ 4
- •РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ ЗАДАЧ
- •Рис. 4.1. Великий геодезичний трикутник на поверхні еліпсоїда
- •Сферичний надлишок
- •Таблиця 4.1Допустимі вхідні дані для обчислення сферичного надлишку
- •Згідно теореми Лежандра, значення кутів плоского (лежандрового) трикутника буде
- •Позначивши
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача.
- •Шляхом ділення рівнянь (4.19) на (4.18) дістанемо формулу для оберненого азимута
- •Для обчислення оберненого азимута необхідно розділити рівняння (4.13) на (4.15)
- •Часткові похідні для другої похідної будуть наступними
- •Часткова похідна
- •З врахуванням отриманих виразів та формули (4.28) остаточно отримаємо
- •Часткові похідні в цих залежностях можна знайти із рівнянь (2.32)
- •Для цього попередньо визначимо похідні двох функцій
- •Враховуючи, що
- •Після цього можна легко знайти часткові похідні, наприклад
- •Після підстановки похідних в попередні залежності, отримаємо
- •Рис.4.6. Геометричне трактування зміни геодезичних координат.
- •Вивід диференційних рівнянь Бесселя
- •Вираз (4.81) з врахуванням (4.77) буде дорівнювати
- •Інтегрування диференційних рівнянь Бесселя
- •З врахуванням (3.89) і (3.99) рівність (3.98) представимо в вигляді
- •Розв'язування прямої геодезичної задачі методом Рунге-Кутта 4-го порядку
Тема 4. Розв'язування геодезичних задач |
|
||||||||||
Вираз (4.81) з врахуванням (4.77) буде дорівнювати |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
M |
1 |
|
M |
d |
, |
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 e2 cos2 u |
|
|
|
ds |
|
||||
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ds a 1 e2 cos2 ud . |
(4.82) |
На основі (4.78) і (4.82)
N cos Bdl a cos u1 e2 cos2 u d ,
а, враховуючи, що a cos u r N cos B , отримуємо
dl |
1 e2 cos2 u d |
(4.83) |
Інтегрування диференційних рівнянь Бесселя
Інтегруючи диференційні рівняння (4.82) і (4.83) уздовж дуги великого кола між її точками Q1 і Q2 ,
отримуємо
|
Q2 |
|
|
|
|
|
|
s a |
1 e2 cos2 u d , |
(4.84) |
|||||
|
Q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
l L2 |
L1 |
|
1 e2 cos2 u d , |
(4.85) |
|||
|
|
|
Q1 |
|
|
|
|
еліптичні інтеграли, які в елементарних функціях не виражаються. З практичної точки зору це не є суттєвою перешкодою, оскільки можна знайти їх наближені вирази, придатні для обчислень з будь-якою, необхідною для практики, точністю.
Враховуючи вимоги обчислювальної практики з використанням сучасної комп’ютерної техніки,
доцільно для наближеного інтегрування рівнянь Бесселя застосувати розклад підінтегральних виразів в ряди,
що швидко сходяться, з наступним почленним інтегруванням рядів.
Почнемо з інтегралу (4.84). Передусім перетворимо його підінтегральну функцію, виразивши її аргумент
- приведену широту – через змінну .
Звернемось до рис.4.10, на якому із точки P' проведено дугу великого кола перпендикулярно до продовження дуги Q1 'Q2 ' .
P
m
Рис. 4.10. До виводу формул Бесселя
|
|
A2 |
A1 |
|
900-(M+ ) |
|
|
|
|
0 |
|
|
90 |
-M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 4. Розв'язування геодезичних задач |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Утворився прямокутний трикутник |
|
P'Q 'Q |
3 |
', |
катети |
якого |
|
|
P'Q |
3 |
' k |
і |
Q 'Q ' 90o |
M |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|||
знайдуться за формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin m sin A1 cos u1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.86) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgM |
|
tgu1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.87) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Із прямокутного трикутника Q2 ' P'Q3 ' , розглядаючи точку Q2 ' |
як точку |
на |
дузі |
великого |
кола |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Q1 'Q3 ' , тобто з широтою u , запишемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin u cos m sin(M ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.88) |
||||||||||||||||||||||
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 u 1 cos2 |
m sin 2 (M ). |
|
(4.89) |
||||||||||||||||
Тепер перетворимо рівняння (4.84) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 e2 |
cos2 |
m sin 2 (M ) d |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s a 1 e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 e2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cos2 m sin 2 (M ) d . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 |
|
|
|
|
|
1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Враховуємо, що |
|
|
e'2 , |
a 1 e2 |
|
|
b , де b мала піввісь еліпсоїда; тоді |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e'2 |
cos2 msin2 (M ) d . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введемо позначення для сталого коефіцієнта заданої геодезичної лінії в підінтегральній функції |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k' e'2 |
cos2 m e'2 |
(1 sin 2 A cos2 u |
1 |
) e'2 (1 k 2 ), |
|
|
(4.90) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де k cos u1 sin A1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s b |
|
|
1 k'sin 2 (M ) d . |
|
|
|
|
|
(4.91) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підінтегральну функцію розкладемо в ряд за формулою бінома Ньютона |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 k'sin 2 (M ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
k' |
sin 2 (M ) |
k'2 |
sin 4 (M ) |
k'3 |
|
|
sin 6 (M ) ... |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Оскільки величина |
k' |
вміщує ексцентриситет ( e'2 |
1 |
) |
– малу величину, то, очевидно, що цей ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доволі швидко сходиться .
Замінимо синуси парних степенів через косинуси кратних дуг, на основі співвідношень:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 4. Розв'язування геодезичних задач |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2(M ) |
1 |
|
1 |
cos2(M ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
sin (M ) |
|
|
|
|
|
|
cos2(M ) |
|
|
cos4(M ) |
|
|
|
, |
(4.92) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
sin (M ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2(M ) |
|
|
|
cos4(M ) |
|
cos6(M |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|||||||||||||||||||||
Згрупуємо коефіцієнти при кожній функції з однаковим аргументом і введемо позначення |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
|
|
|
k' |
|
|
|
k' |
|
|
|
|
|
|
|
k' |
|
... |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
256 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
k' |
k' |
2 |
|
|
|
|
|
k' |
3 |
... |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
512 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.93) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
k'2 |
|
|
|
k'3 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
512 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
k'3 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1536 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тепер вираз (4.91) запишемо в вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s b A Bcos2(M ) 2Ccos4(M ) 3Dcos6(M ) ... d . |
(3.94) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауважимо, що величина M , яка визначається за формулою (4.87), для даної геодезичної лінії величина |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стала; інтеграли тригонометричних функцій в рівності (4.94) обчислюються так: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B cos 2(M ) d |
B |
|
|
|
sin 2(M ) B sin cos(2M ), |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2C cos4(M ) d 2C |
|
|
|
sin4(M ) Csin2 cos(4M 2 ), (3.95) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3D cos6(M ) d |
3D |
|
|
|
sin6(M ) Dsin3 cos(6M 3 ). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В результаті інтегрування (4.94) отримаємо вираз для s в функції дуги |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A B sin cos(2M ) C sin 2 cos(4M 2 ) |
(4.96) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
D sin 3 cos(6M 3 ) ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ця формула застосовується при розв’язуванні оберненої геодезичної задачі. При розв’язуванні прямої |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
геодезичної задачі величина s відома, треба визначити . Розв’язуючи (4.96) щодо , знайдемо |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
B sin cos(2M ) C sin 2 cos(4M 2 ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.97) |
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
D sin 3 cos(6M 3 ) ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
За формулою (4.97) |
сферична |
відстань |
|
|
|
визначається |
послідовними |
наближеннями. В |
першому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наближенні можна прийняти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aa |
1 e2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
після чого (4.97) запишеться в вигляді
i 1 |
1 A i |
B sin i cos(2M i ) C sin 2 i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A D sin 3 i cos(6M 3 i ) ... |
де i 1,2,...,n - номер наближення.
cos(4M 2 i ) ,