- •Введение
- •1. Пути повышения эффективности автоматизации проектирования на основе реализации
- •Принципы системного подхода к проектированию
- •Структура проектных спецификаций и иерархические уровни проектирования. Значение функционально-логического уровня при
- •Требования к математическому обеспечению сапр разных иерархических уровней
- •Обзор программного обеспечения сапр
- •2. Математическое обеспечение анализа проектных решений на функционально-логическом уровне
- •2.1. Общие требования к организации математического аппарата
- •2.2. Анализ систем во временной области
- •Принципы построения систем автоматического управления
- •2.3. Модели систем в переменных состояния
- •2.4. Анализ систем в частотной области
- •2.5. Методы анализа устойчивости и качества
- •3. Программные средства автоматизации
- •3.1. Основы работы в matlab
- •3.1.1. Среда matlab
- •3.1.2. Выполнение элементарных вычислений
- •3.1.3. Редактирование и отладка м-файлов
- •3.1.4 Переменные в Matlab. Массивы и матрицы
- •3.2. Этапы синтеза проектирования системы управления
- •3.2.1. Способы описания линейных динамических систем
- •3.2.2. Особенности построения частотных характеристик линейных систем в Control System Toolbox
- •3.2.3. Соединение звеньев lti-объекта
- •3.2.4. Синтез принятия решений при проектировании непрерывных систем на примере управления функционированием магнитного диска
- •3.3. Приложение для синтеза корректирующих звеньев
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14.
3.2.1. Способы описания линейных динамических систем
средствами Control System Toolbox
В пакетах расширения Control System Toolbox, системы MATLAB приняты следующие способы описания линейных динамических систем с постоянными параметрами: система уравнений первого порядка в фазовом пространстве, или в пространстве состояний системы (SS — state-space), передаточная функция системы в виде отношения двух полиномов (TF), передаточная функция в так называемом виде нуль/полюс/коэффициент усиления (ZPK).
1. Наибольшее распространение получил первый способ, который дает наилучшую точность при вычислениях и в большей степени удобен при теоретических исследованиях и практической реализации алгоритмов управления с применением вычислительных машин и т. д.
При применении этого способа дифференциальные уравнения, описывающие динамику системы, имеют вид:
Ax+Bu (3.1)
где х — n-мерный вектор состояния системы (вектор фазовых координат), u — р-мерный вектор внешних воздействий, состоящий из заданных величин, возмущений, управлений, формируемых регулятором, А и В — переходная матрица системы и матрица управлений соответствующих размеров. Предполагается, что измерению доступна только часть состояний системы или их линейных комбинаций, такие переменные у называются выходами системы:
у = Сх + Du (3.2)
где у — m-мерный выходной вектор, C, D — матрицы соответствующих размеров. Для большинства реальных объектов управления D = 0.
В рассматриваемых пакетах расширения имеется возможность манипулировать с системой, описываемой уравнениями как с одним объектом МАТLАВ. Для этого нужно матрицы А, В, С, B трансформировать в систему, используя команды ss. В главе 2 представлен пример системы, которую можно описать переменными состояния, где в качестве объекта управления была RCL цепь на представленная на рис. 2.21. С учетом уравнения 2.30 (уравнения состояния RCL-цепи) и значений R=3, L=1, C=1/2.
Можно представить фрагмент М-файла:
Рис. 3.7. Скрипт М-файла для RCL-цепи в переменных состояния.
В 10 строке sys – зарезервированное слово обозначающее систему.
2. Передаточная функция (tf) имеет вид
(3.3)
3. ZPK модель имеет вид
(3.4)
3.2.2. Особенности построения частотных характеристик линейных систем в Control System Toolbox
Рассмотрим особенности построения частотных характеристик линейных (линеаризованных) систем с использованием пакета прикладных программ (ППП) Control System Toolbox. ППП предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models) систем управления.
В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в виде комплексной передаточной функции. Синтаксис команды, создающий LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции:
tf ([bm, …, b1, b0], [an, …, a1, a0])
bm, …, b1 – значения коэффициентов полинома В в
an, …, a1 – значения коэффициентов полинома A в.
Для выполнения работы могут применяться команды, приведенные в таблице 3.1.
Таблица 3.1.
Некоторые команды Control System Toolbox
Синтаксис |
Описание |
pole(<LTI-объект>) |
Вычисление полюсов передаточной функции |
zero(<LTI-объект>) |
Вычисление нулей передаточной функции |
step(<LTI-объект>) |
Построение графика переходного процесса |
impulse(<LTI-объект>) |
Построение графика импульсной переходной функции |
bode(<LTI-объект>) |
Построение логарифмических частотных характеристик (диаграммы Боде) |
nyquist(<LTI-объект>) |
Построение частотного годографа Найквиста |
Для определения корней полиномов степени k, может, также, применятся команда MATLAB roots(P), которая, в качестве аргумента P, получает матрицу коэффициентов полинома [pk, …, p0].
Другим вариантом получения графиков динамических характеристик САУ является использование графического интерфейса ППП CST – LTI viewer, вызов которого осуществляется командой ltiview которой, в качестве параметра, можно указать имя переменной, содержащей LTI-объект.
Таким образом, выполнение работы состоит из следующих шагов:
1.Изучить теоретические сведения.
2.Запустить систему MATLAB.
3.Создать tf-объект, в соответствии с заданным вариантом.
4.Составить дифференциальное уравнение, определяющее функционирование САУ.
5.Определить полюса передаточной функции с использованием команды roots или pole.
6.Определить нули передаточной функции с использованием команды roots или zero.
7.Используя LTI-viewer, или соответствующие команды (табл.1) получить динамические характеристики – переходную функцию h(t), импульсно-переходную функцию w(t) и частотные характеристики – диаграмму Боде, частотный годограф Найквиста.
8.Получить представление исходной функции в виде произведения типовых звеньев.
Методический пример
Задана передаточная функция САУ
.
Найдем ее динамические и частотные характеристики. Будем работать в командном режиме среды MATLAB.
1. Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним:
2. Найдем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero.
3. Построим переходную функцию командой step(w). Результат ее выполнения приведен на рис. 3.8.
|
|
Рис. 3.8. Переходная функция h(t).
|
Рис. 3.9. Импульсная переходная функция.
|
4. Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w). Результат показан на рис. 3.9.
5. Диаграмму Боде получим, используя команду bode(w) – рис.3.10.
6. Определим частотный годограф Найквиста, выполнив команду nyquist(w) – рис. 3.11.
|
|
Рис. 3.10. Диаграмма Боде |
Рис. 3.11. Частотный годограф |
Рис. 3.12. LTI-viewer
Аналогичные результаты (рис. 3.12) можно получить, используя команду ltiview(w), с соответствующими настройками в меню “Plot Сonfiguration”. Каждая из построенных характеристик полностью и однозначно определяет рассматриваемую систему управления.