- •Введение
- •1. Теория колебаний
- •1.1. Устойчивость положения равновесия
- •1.1.1. Определение устойчивости положения равновесия
- •1.1.2. Теорема Лагранжа–Дирихле
- •1.2. Колебания системы с одной степенью свободы
- •1.2.1. Собственные линейные колебания системы
- •Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы
- •Интегрирование дифференциального уравнения собственных колебаний
- •1.2.2. Влияние линейного сопротивления на малые собственные колебания системы с одной степенью свободы
- •Интегрирование дифференциального уравнения движения
- •Затухающие колебания
- •Затухающие движения
- •1.2.3. Вынужденные колебания системы без учета сопротивления
- •Основные свойства вынужденных колебаний
- •Исследование вынужденных колебаний
- •Общие свойства вынужденных колебаний
- •Основы виброзащиты
- •1.3. Математический и физический маятники
- •1.4. Малые колебания системы с двумя степенями свободы (результат для общего случая)
- •1.4.1. Кинетическая энергия
- •1.4.2. Потенциальная энергия
- •1.4.3. Диссипативная функция
- •1.4.4. Дифференциальные уравнения собственных колебаний
- •1.4.5. Интегрирование дифференциальных уравнений. Уравнение частот
- •1.4.6. Главные координаты
- •1.4.7. Влияние линейного сопротивления на собственные колебания
- •1.4.8. Вынужденные колебания без учета сопротивления
- •1.4.9. Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания
- •2. Теория удара
- •2.1. Основные положения и понятия теории удара
- •2.2. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс для удара. Теорема Кельвина
- •2.3. Теорема об изменении кинетического момента при ударе
- •2.4. Удар точки о неподвижную поверхность
- •2.4.1. Прямой удар
- •2.4.2. Косой удар
- •2.4.3. Экспериментальное определение коэффициента восстановления
- •2.5. Теорема Карно
- •2.6. Удар двух тел
- •2.7. Центр удара
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.1.2. Теорема Лагранжа–Дирихле
Малые колебания системы могут длительно совершаться только в окрестности устойчивого положения равновесия системы. Поэтому, важное значение имеет теорема Лагранжа–Дирихле, устанавливающая достаточные условия устойчивости положения равновесия системы. Теорема утверждает: для устойчивости положения равновесия системы, подчиненной голономным, идеальным, стационарным и неосвобождающим связям и находящейся в стационарном потенциальном силовом поле, достаточно, что бы потенциальная энергия в положении равновесия имела изолированный относительный минимум.
Докажем сначала теорему для системы с одной степенью свободы, допускающую наглядную геометрическую интерпретацию. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы для стационарного силового поля зависит только от одной обобщенной координаты , равной нулю в положении равновесия. Примем потенциальную энергию в этом положении равной нулю, т.е. . По условию теоремы в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный относительный минимум, т.е. и функция в малой окрестности , принимая только положительный значения, является возрастающей функцией , т.е. имеет вид, представленный на рис. 2.
Доказательство теоремы состоит из двух частей. Первая часть доказательства содержит выбор значения потенциальной энергии . Во второй части доказывается существование положительных чисел и , отличных от нуля, обеспечивающих выполнение условий устойчивости.
Д
Рис. 2
Для доказательства второй части теоремы учтем, что при движении консервативной системы и выполнении других условий теоремы и о связях справедлив закон сохранения полной механической энергии
,
где и – значения кинетической и потенциальной энергии в начальный момент. Они зависят от начальных значений и , т.е. , .
Кинетическая энергия системы может быть только положительной. Поэтому из закона сохранения механической энергии получаем следующее неравенство для потенциальной энергии:
.
Это неравенство позволяет установить соответствующие положительные числа и . Неравенство допускает бесчисленное количество значений для и , удовлетворяющих ему. Действительно, неравенства и обеспечивают выполнение рассматриваемого неравенства для потенциальной энергии. Из неравенства получаем , а из двух неравенств , , следует . Подставляя значения и в основное неравенство, получим следующее условие для потенциальной энергии:
.
Что в соответствии с выбором числовой величины обеспечивает для обобщенной координаты выполнение условия .
Доказано, что для любого достаточно малого числа существует положительные числа и , и если и , то , т.е. положение равновесия устойчиво.
Для системы с двумя степенями свободы доказательство второй части теоремы почти не изменяется, за исключением того что и , но это не вносит существенных изменений в последующие рассуждения. Некоторые особенности возникают при выборе величины .
Для системы с двумя степенями свободы . В положении равновесия системы принимаем . Следовательно, .
Потенциальная энергия в малой окрестности изолированного минимума положительная, и ей зависимость от обобщенных координат имеет форму поверхности, изображенной на рис. 3,а.
Выберем и рассмотрим значение значения потенциальной энергии , и , где – любое, удовлетворяющее условию . Зависимость , является уравнением линии пересечения плоскостей (плоскость 1) с поверхностью . Аналогично есть линия пересечения плоскости с той же поверхностью. Из множества значений и (рис. 3,б) при изменении в интервале выбираем наименьшее . Затем рассматриваем и . Опять получим в плоскостях и по кривой, аналогичной изображенной на рис. 3,б. Из множества этих значений потенциальной энергии выбираем наименьшее . Из двух положительных величин и наименьшее принимаем за .
а) б)
Рис. 3
Из способа выбора значения следует, что если в какой-то момент движения системы , то обобщенные координаты удовлетворяют условиям и .
Рассмотрим доказательство теоремы Лагранжа–Дирихле для системы с степенями свободы и, следовательно, с обобщенными координатами.
Примем в положении равновесия все и . Тогда . Выберем достаточно малое положительное число , такое, чтобы в -окрестности не содержалось других экстремумов функции . Дадим обобщенной координате значения и , т.е. , а другие обобщенные координаты при этом удовлетворяют условию . Из всех значений потенциальной энергии в этом случае выбираем наименьшее . Затем даем значение , а другие при изменении удовлетворяют условию . Наименьшее значение потенциальной энергии при этих условиях обозначим . Продолжая этот процесс со всеми обобщенными координатами, получим последовательность положительных чисел , наименьшее из которых принимаем за .
Пока при движении системы , выполняется условие для всех обобщенных координат.
Пусть системе сообщили соответствующие начальные обобщенные координаты и скорости и она движется. При движении консервативной системы, удовлетворяющей связям, указанным в условии теоремы, справедлив закон сохранения механической энергии
,
где , , т.е. те величины, зависящие от начальных значений обобщенных координат и скоростей. Так как при движении системы , то из закона сохранения энергии следует
.
Это неравенство выполняется, если справедливы, например, два неравенства: и . Из условий получим ряд значений , удовлетворяющих условию , а из условия и неравенства – ряд значений , удовлетворяющих условию . Для потенциальной энергии после этого имеем
.
Следовательно, в соответствии с выбором все обобщенные координаты удовлетворяют условию .
Итак, существуют такие положительные числа и , определяющие область начальных значений и , для , т.е. положение равновесия устойчиво. Теорема Лагранжа–Дирихле полностью доказана.
В некоторых случаях установить неустойчивость равновесия можно на основании теорем Ляпунова.
Приводим эти теоремы без доказательства.
Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потенциальная энергия системы в положении равновесия не имеет минимума и отсутствие минимума определяется слагаемыми второго порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат.
Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет максимум и наличие максимума определяется членами наименьшего порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат