§ 5. Степенные ряды в приближенных вычислениях
Вычисление значений функции. Пусть дан степенной ряд функции . Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую можно установить путем оценивания остатка числового ряда либо остаточного члена формул Тейлора или Маклорена. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакочередующегося ряда используется оценка , где - первый из отброшенных членов ряда.
5.1.Оценить погрешность приближенного равенства
Решение. Погрешность этого приближенного равенства
определяется суммой членов, следующих после в разложении :
,
или
Заменив каждый из сомножителей ,… меньшей величиной , получим неравенство
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получим:
, т.е.
5. 2.Вычислить с точностью до 0,00001.
Решение. Используя разложение в ряд, получаем
.
Определим число так, чтобы погрешность приближенного равенства
не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в предыдущем примере. Полагаем , тогда:
т.е. .
Путем подбора определим, при каком значении будет
выполняться неравенство . Пусть , тогда , т.е. . Пусть , тогда , т.е. . Принимаем .
.
Вычисляем каждое слагаемое с точностью до 0,000001, для того чтобы при суммировании не получить погрешность, превышающую 0,00001. Окончательно получаем .
5.3. Вычислить с точностью до 0,00001.
Решение. Имеем
.
Получен знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям сходимости признака Лейбница, поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что , поэтому первый из отброшенных членов равен и . Вычисляем сумму и получаем .
5.4. Пользуясь разложением в ряд, вычислить с точностью до 0,0001 .
Решение. .
Достаточно взять три члена ряда, так как Тогда
5.5. Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся разложением в ряд, полагая . Имеем
.
Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый член меньше 0,0001. Итак
5.6. Вычислить с точностью до 0,001.
Решение. Так как является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых: . Тогда
Четвертый член меньше , поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак,
, т.е. .
5.7. Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся разложением в ряд:
,
или , откуда
Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.
5.8. . 5.9.
5.10. . 5.11. .
5.12. , . 5.13.
5.14. 5.15.
5.16. , 5.17.
Ответы: 5.8. 3,017. 5.9. 0,340. 5.10. 0,84147. 5.11. 1,3956.
5.12. 1,140. 5.13. 0,302. 5.14. 0,464. 5.15. 1,0986. 5.16. 0,999. 5.17. 0,3679.
Вычисление интегралов. Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.
5.18. Вычислить с точностью
Решение. Воспользуемся разложением
.
Заменив в нем на , получим ряд
.
Данный ряд сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,
, поскольку уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше
5.19. Найти интеграл в виде степенного ряда и указать область его сходимости.
Решение. Воспользуемся разложением
,
получим ряд для подынтегральной функции
.
Он сходится на всей числовой прямой, и, следовательно, его можно почленно интегрировать:
.
Поскольку при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой.
Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до .
5.20. . 5.21. .
5.22. . 5.23. .
5.24. . 5.25. .
5.26. . 5.27. .
5.28. . 5.29.
Ответы: 5.20. 0,070. 5.21. 0,223. 5.22. 0,162 5.23. 0,480.
5.24. 0,054. 5.25. 0,484. 5.26. 0,487. 5.27. 0,156. 5.28. 0,059.
5.29. 0,103.
Приближенное решение дифференциальных уравнений. В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.
При решении задачи Коши
,
используется ряд Тейлора , где , а остальные производные находятся путем последовательного дифференцирования уравнения и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения можно также искать в виде разложения в степенной ряд
с неопределенными коэффициентами .
5.30. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения , если .
Решение. Из данного уравнения находим, что . Дифференцируем исходное уравнение:
и т.д. Подставляя найденные значения производных в ряд
Тейлора, получаем
.
5.31. Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям .
Решение. Подставим в уравнение начальные условия, получим:
Дифференцируя исходное уравнение, последовательно находим:
Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем
.
5.32.Используя ряд
,
записать четыре первых ненулевых члена разложения в
степенной ряд решения задачи Коши
Решение. В ряде
полагаем , с учетом начального условия находим, что . Продифференцируем ряд
и подставим полученную производную , а также в виде
ряда в данное дифференциальное уравнение. Тогда
+
Теперь в правой и левой частях последнего равенства приравняем коэффициенты при одинаковых степенях разности (т.е. при . Получаем уравнения:
из которых, учитывая, что , находим:
Следовательно, искомое разложение решения имеет вид
.
Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения
5.33. 5.34. 5.35. 5.36. 5.37.
Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.
5.38.
5.39.
5.40.
5.41.
5.42.
Ответы: 5.33. . 5.34. .
5.35. . 5.36. .
5.37. . 5.38. .
5.39. .
5.40. .
5.41.
5.42.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления / Н.С. Пискунов.- М.: Наука, 2001.Т.2.- 576 с.
2. Воробьев Н.Н. Теория рядов/ Н.Н. Воробьев. - М.: Наука, 1986. - 408 с.
3. Власова Е.А. Ряды / Е.А. Власова.- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.-612 с.
4. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа / П.И. Романовский. - М.: Наука, 1980.-336 с.
5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: «Оникс 21 век» «Мир и образование», 2003. Ч. 2.
6. Индивидуальные задания по высшей математике: Ряды. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля: учеб. пособие/ А. П. Рябушко и др.; под общ. ред. А. П. Рябушко.- 3-е изд.- Минск.: Выш. шк., 2005.-367 с.
7. Зимина О.В. Высшая математика./ О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова.- М.: Физико-математическая литература, 2001.-368 с.
8. Ефимов А.В. Сборник задач по математике для втузов/ А.В. Ефимов, Б. П. Демидович; под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука,1986. –Ч.2.-368 с.