Учебное пособие 800559
.pdfЗАДАЧА 2. Найдите скалярное произведение векторов a и
b , построенных по векторам p и q , если известны длины |
|||||||
векторов p и q и угол между ними. |
|
|
|||||
1) |
a 3 p q , |
b p 2q , |
|
| p | 4 , |
| q | 1 , |
( p, q) 4 ; |
|
2) |
a p 3q , |
b p 2q , |
|
| p | 1 5 , | q | 1 , |
( p, q) 2 ; |
||
3) |
a 3 p 2q , |
b p 5q , |
| p | 4 , |
| q | 1 2 , |
( p, q) 5 6 ; |
||
4) |
a p 2q , |
b 2 p q , |
|
| p | 2 , |
| q | 3 , |
( p, q) 3 4 ; |
|
5) |
a p 3q , |
b p 2q , |
|
| p | 2 , |
| q | 3 , |
( p, q) 3 ; |
|
6) |
a 2 p q , |
b p 3q , |
|
| p | 3 , |
| q | 2 , |
( p, q) 2 ; |
|
7) |
a 4 p q , |
b p q , |
| p | 7 , | q | 2 , |
( p, q) 4 ; |
|||
8) |
a p 4q , |
b 3 p q , |
|
| p | 1, |
| q | 2 , |
( p, q) 6 ; |
|
9) |
a p 4q , |
b 2 p q , |
|
| p | 7 , |
| q | 2 , |
( p, q) 3 ; |
10) |
a 7 p 2q , |
b p 3q , |
| p | 1 |
2 , | q | 2 , ( p, q) 2 ; |
|||
11) |
a 6 p q , |
b p q , |
| p | 3 , |
| q | 4 , |
( p, q) 4 ; |
||
12) |
a 10 p q , |
b 3 p 2q , | p | 4 , | q | 1 , |
( p, q) 6 ; |
||||
13) |
a 6 p q , |
b p 2q , |
|
| p | 8 , |
| q | 1 2 , |
( p, q) 3 ; |
|
14) |
a 3 p 4q , |
b q p , |
|
| p | 2, 5 , | q | 2 , |
( p, q) 2 ; |
||
15) |
a 5 p q , |
b p q , |
| |
p | 5 , |
| q | 3 , |
( p, q) 5 6 ; |
|
16) |
a 3 p q , |
b p 3q , |
|
| p | 7 , |
| q | 2 , |
( p, q) 4 ; |
|
17) |
a p 3q , |
b 3 p q , |
|
| p | 3 , |
| q | 5 , |
( p, q) 2 3 ; |
|
18) |
a 7 p q , |
b p 3q , |
|
| p | 3 , |
| q | 1 , |
( p, q) 3 4 ; |
|
19) |
a 5 p q , |
b p 3q , |
|
| p | 1, |
| q | 2 , |
( p, q) 3 ; |
|
20) |
a 2 p 3q , |
b 3 p q , |
| p | 4 , | q | 1 , |
( p, q) 6 . |
91
ЗАДАЧА 3. Найдите скалярное и векторное произведение векторов c 2a b и d a 3b , построенных по данным векторам a и b .
1) |
a ( 2,1,1) , |
b (3, 2, 4); |
2) |
a (1, 2, 4) , |
b (2, 1, 3) ; |
3) |
a (5, 2, 2) , |
b (3, 3, 4) ; |
4) |
a (2, 2,1) , |
b ( 2, 3, 0) ; |
5) |
a (2, 4,1) , |
b (3,1, 2) ; |
6)a ( 2,1,1) , b (0, 2, 5) ;
7)a (0,1,1) , b (3, 1, 0) ;
8) |
a (0, 1, 1) , |
|
b (1, 3,8) ; |
|
9) |
a ( 2,1, 0) , |
b (1, 0, 1) ; |
||
10) |
a (0,1,1) , b ( 3, 1,1) ; |
|||
11) |
a ( 2,1,1) , |
b (1, 0, 1) ; |
||
12) |
a ( 2,1, 2) , |
b ( 1, 0, 3) ; |
||
13) |
a (1, 1, 1) , |
b ( 2, 3, 1) ; |
||
14) |
a (2, 1, 3) , |
|
b (0,1,1) ; |
|
15) |
a (2,1, 2) , |
|
b ( 1, 0, 2); |
|
16) |
a (1, 1, 0) , |
|
b (0, 3, 2); |
|
17) |
a (2,1, 0) , |
b (1,1, 3) ; |
||
18) |
a (2,1, 2) , |
|
b (0,1,1) ; |
|
19) |
a (1, 0, 1) , |
|
b (0, 3, 1) ; |
|
20) |
a (0,1,1) , b ( 3, 1,1) . |
92
ЗАДАЧА 4. Выясните, компланарны ли данные векторы a , b , c :
1) |
a (3, 7, 2) , |
b ( 2, 0, 1), c (2, 2,1) ; |
||
2) |
a (1, 2, 6) , |
b (1, 0,1) , |
c (2, 6,17); |
|
3) |
a (6, 3, 4) , |
b ( 1, 2, 1) , |
c (2,1, 2) ; |
|
4) |
a (2, 3, 2) , |
b (4, 7, 5) , |
c (2, 0, 1) ; |
|
5) |
a (5, 3, 4) , |
b (1, 0, 1) , |
c (4, 2, 4) ; |
|
6) |
a (3,10, 5) , |
b ( 2, 2, 3) , |
c (2, 4, 3) ; |
|
7) |
a ( 2, 4, 3) , b (4, 3,1), |
c (6, 7, 4) ; |
||
8) |
a (3,1, 1) , |
b (1, 0, 1) , c (8, 3, 2) ; |
||
9) |
a (4,1, 2) , |
b (9, 2, 5), |
c (1,1, 1) ; |
10) |
a (5, 3, 4) , |
b (4, 3, 3) , |
c (9, 5, 8) ; |
|
11) |
a (7, 3, 4) , |
b ( 1, 2, 1) , |
c (4, 2, 4) ; |
|
12) |
a (3, 4, 2) , |
b (1,1, 0) , |
c (8,11, 6) ; |
|
13) |
a (4, 1, 6) , b (1, 3, 7) , |
c (2, 1, 4) ; |
||
14) |
a (3,1, 0) , |
b ( 5, 4, 5) , |
c (4, 2, 4) ; |
|
15) |
a (3, 0, 3) , |
b (8,1, 6), |
c (1,1, 1) ; |
|
16) |
a (1, 1, 4) , |
b (1, 0, 3), |
c (1, 3, 8) ; |
|
17) |
a (6, 3, 4) , |
b ( 1, 2, 1) , |
c (2,1, 2) ; |
|
18) |
a (4,1,1) , |
b ( 9, 4, 9) , |
c (6, 2, 6); |
|
19) |
a (3, 2,1) , |
b (1, 3, 7) , c (1, 2, 3) ; |
||
20) |
a (6, 7, 4) , |
b (4, 3,1), |
c (2, 0, 1) . |
93
ЗАДАЧА 5. Дан параллелограмм ABCD , три вершины которого заданы. Найдите четвертую вершину D и острый угол параллелограмма.
1) |
|
A( 1, 2, 3) , |
B( 4,1, 2) , |
C(5, 2, 7) ; |
2) |
|
A(1, 2, 3) , |
B(3, 4, 2) , |
C( 4, 3, 2) ; |
3) |
A(2, 3, 1) , |
B( 3, 5, 3) , |
C(4, 3, 4) ; |
|
4) |
A(3, 4, 2) , |
B( 5, 2, 3) , |
C( 1, 7, 2) ; |
|
5) |
A( 5, 2, 4) , |
B( 3, 4, 2) , |
C(6, 3, 3) ; |
|
6) |
|
A( 4, 3, 5) , |
B(2, 5, 6) , |
C( 2, 3, 5) ; |
7) |
A(4, 2, 3) , |
B( 5, 6, 4) , |
C( 2, 3, 4) ; |
|
8) |
|
A( 4, 5, 2) , |
B( 1, 5, 8) , |
C(3, 2, 4) ; |
9) |
A( 5, 3, 2) , |
B(3, 4, 5) , |
C(4, 2, 3) ; |
|
10) |
A( 3, 2, 6) , |
B( 4, 5, 2) , |
C(1, 3, 5) ; |
|
11) |
A( 2, 3, 1) , |
B(1, 2, 4) , |
C(2, 7, 5) ; |
|
12) |
A(2, 3,1) , |
B( 4, 2, 3) , |
C( 3, 2, 4) ; |
|
13) |
A( 3, 1, 2) , |
B(5, 3, 3) , |
C(3, 4, 4) ; |
|
14) |
A( 4, 2, 3) , |
B(2, 3, 5) , |
C(7, 2, 1) ; |
|
15) |
A(2, 4, 5) , |
B( 4, 2, 3) , |
C( 3, 3, 6) ; |
|
16) |
A( 3, 5, 4) , |
B( 5, 6, 2) , |
C(3, 5, 2) ; |
|
17) |
A(2, 3, 4) , |
B(6, 4, 5) , |
C( 3, 4, 2) ; |
|
18) |
A(5, 2, 4) , |
B( 5, 8, 1) , |
C( 2, 4, 3) ; |
|
19) |
A( 3, 2, 5) , |
B(4, 5, 3) , |
C(2, 3, 4) ; |
|
20) |
A(2, 6, 3) , |
B( 5, 2, 4) , |
C( 3, 5,1) . |
94
ЗАДАЧА 6. Даны вершины треугольника ABC . Найдите его площадь и косинус внутреннего угла B .
1) |
A( 1, 3, 3) , |
B(2, 2,1) , |
C(0, 3, 2) ; |
|
2) |
A( 3,1, 3) , |
B(1, 7, 2) , |
C(7, 3, 3) ; |
|
3) |
|
A(0, 2,1) , |
B(4, 0,1) , |
C(3, 4, 2) ; |
4) |
|
A( 1, 2,1) , |
B( 4, 3,1) , |
C(5, 4, 2) ; |
5) |
|
A(2, 3, 1) , |
B( 3, 4,1) , |
C( 2, 2, 4) ; |
6) |
|
A(3, 4, 6) , |
B(1, 2, 6) , |
C( 3, 5,1) ; |
7) |
A(4, 3, 2) , |
B( 1, 4, 3) , |
C(6, 3, 2) ; |
|
8) |
A(0, 3, 4) , |
B(1,1, 2) , |
C(5, 0, 4) ; |
|
9) |
|
A(2, 1, 0) , |
B( 2,1,1) , |
C(2, 2, 1) ; |
10) |
A( 1, 7,1) , |
B(3, 1, 2) , |
C( 5, 3,1) ; |
|
11) |
A(2, 3, 4) , |
B( 4, 3, 0) , |
C(2, 6, 2) ; |
|
12) |
A(3, 2, 2) , |
B(0, 1, 3) , |
C(1, 2, 2) ; |
|
13) |
A(3, 4, 2) , |
B(2,1, 5) , |
C(5, 2, 2) ; |
|
14) |
A(5, 0, 4) , |
B(4, 1,1) , |
C(7, 0, 2) ; |
|
15) |
A(2, 2, 2) , |
B(3, 5, 7) , |
C(4,8, 0) ; |
|
16) |
A( 1, 2, 7) , |
B(3,1, 4) , |
C(4, 5,1) ; |
|
17) |
A(2, 6, 4) , |
B(1, 3, 3) , |
C(4, 4, 4) ; |
|
18) |
A( 1, 2, 0) , |
B(1, 4, 5) , |
C( 4, 6, 3) ; |
|
19) |
A(2, 5, 2) , |
B(1, 3, 2) , |
C(2, 3, 0) ; |
|
20) |
A(2,1, 5) , |
B(1, 3, 2) , |
C(4, 5, 3) . |
95
ЗАДАЧА 7. Найдите уравнение прямой, проходящей через две данные точки A и В. Преобразуйте полученное уравнение к виду: а) общему, б) каноническому, в) параметрическому, г) в отрезках, д) с угловым коэффициентом. Постройте эту прямую.
1) |
A( 1, 2) , |
B(4, 6) ; |
2) |
A( 3, 4) , |
B(11, 7) ; |
||
3) |
A( 2, 5) , |
B(8, 3) ; |
4) |
A( 1, 3) , |
B(4, 5) ; |
||
5) |
A( 5, 6) , |
B( 3, 2) ; |
6) |
A(1, 7) , |
B(2, 6) ; |
||
7) |
A(2, 6) , |
B(5, 3) ; |
8) |
A( 5, 7) , |
B(4,1) ; |
||
9) |
A(1, 4) , |
B( 1, 2) ; |
10) |
A( 4, 6) , |
B(5, 2) ; |
||
11) |
A(1, 7) , |
B(12, 5) ; |
12) |
A( 8, 3) , |
B(4, 6) ; |
||
13) |
A( 4, 6) , |
B(8, 3) ; |
14) |
A(1, 2) , |
B( 3, 4) ; |
||
15) |
A(6, 3) , |
B(1, 2) ; |
16) |
A( 1, 2) , |
B(5, 3) ; |
||
17) |
A( 2, 4) , |
B(4, 3) ; |
18) |
A(3, 5) , |
B(12, 5) ; |
||
19) |
A( 3, 7) , |
B(7, 8) ; |
20) |
A( 3, 4) , |
B(7, 5) . |
96
ЗАДАЧА 8. Найдите уравнение прямой, которая проходит
через точку |
A и через точку пересечения двух данных пря- |
|||
мых. |
|
|
||
1) |
A(1, 2) , |
2x y 1 0 , |
x 3y 4 0 ; |
|
2) |
A(4, 3) , |
5x 2 y 1 0 , |
2x 3y 4 0 ; |
|
3) |
A(1, 1) , |
7x 2 y 5 0 , |
x 5 y 4 0 ; |
|
4) |
A(0, 3) , |
x 4 y 3 0 , |
x 5 y 4 0 ; |
|
5) |
A(2, 2) , |
3x 2 y 1 0 , |
x 3y 4 0 ; |
|
6) |
A( 2, 0) , |
2x 3y 5 0 , |
x 4 y 3 0 ; |
|
7) |
A(1, 2) , |
2x y 6 0 , |
3x 5 y 5 0 ; |
|
8) |
A(2,1) , |
2x y 3 0 , |
3x 5 y 11 0 ; |
|
9) |
A( 1, 3) , |
3x 2 y 5 0 , |
x 2 y 1 0 ; |
|
10) |
A(2, 3) , |
x y 2 0 , |
x 2 y 1 0 ; |
|
11) |
A(3, 2) , |
x 2 y 3 0 , |
3x y 1 0 ; |
|
12) |
A( 1, 4) , |
2x y 5 0 , |
x y 7 0 ; |
|
13) |
A(2, 4) , |
3x y 10 0 , |
x y 2 0 ; |
|
14) |
A(2, 5) , |
3x 4 y 5 0 , |
4x 3y 15 0 ; |
|
15) |
A( 2, 4) , |
x 2 y 1 0 , |
7x 4 y 11 0 ; |
|
16) |
A(2, 3) , |
x y 4 0 , |
7x 4 y 6 0 ; |
|
17) |
A(1, 4) , |
3x 2 y 8 0 , |
3x 4 y 4 0 ; |
|
18) |
A(3, 2) , |
3x 4 y 2 0 , |
7x 9 y 3 0 ; |
|
19) |
A(1, 7) , |
2x 5 y 9 0 , |
3x 4 y 3 0 ; |
|
20) |
A( 1, 5) , |
5x 3 y 1 0 , |
4x 5 y 7 0 . |
97
ЗАДАЧА 9. Найдите уравнения прямых, проходящих через точку A , одна их которых параллельна, а другая - перпендикулярна данной прямой.
1) |
A( 2, 2) , |
2 y x 5 0 ; |
2) |
A(3, 4) , |
2 y 5x 4 0 ; |
|||
3) |
A( 6, 5) , |
2 y x 3 0 ; |
4) |
A(1, 3) , |
4 y 2x 7 0 ; |
|||
5) |
A( 2, 6) , 3y 5x 6 0 ; |
6) |
A( 1, 3) , |
|
2 y 4x 5 0 ; |
|||
7) |
A( 4, 6) , |
y 7x 4 0 ; |
8) |
A( 7,1) , |
|
5 y x 3 0 ; |
||
9) |
A( 1, 5) , |
3y 2x 7 0 ; |
10) |
A(2, 3) , |
|
4 y 3x 3 0 ; |
||
11) |
A(2, 2) , |
5 y 3x 8 0 ; |
12) |
A(3, 2) , |
2 y 10x 1 0 ; |
|||
13) |
A( 2, 2) , |
3y 2x 7 0 ; |
14) |
A(3, 4) , |
|
4 y 3x 3 0 ; |
||
15) |
A( 6, 5) , |
2 y x 7 0 ; |
16) |
A(1, 3) , |
|
3y 5x 1 0 ; |
||
17) |
A( 2, 6) , |
y 13x 2 0 ; |
18) |
A( 1, 3) , |
2 y x 5 0 ; |
|||
19) |
A( 4, 6) , 3y 5x 4 0 ; |
20) |
A( 7,1) , |
2 y x 3 0 . |
ЗАДАЧА 10. Даны вершины треугольника |
ABC . Составьте |
||||
уравнения: а) стороны BC ; |
б) высоты, опущенной из вер- |
||||
шины A на сторону BC ; в) медианы, проведенной из вер- |
|||||
шины C . Сделайте чертеж. |
|
|
|
||
1) |
A( 3, 3) , |
B(5,1) , C(6, 2) ; |
2) |
A(2, 1) , |
B(4, 5) , C( 3, 2) ; |
3) |
A(3, 1) , |
B( 3,1) , C(1, 4) ; |
4) |
A(4, 2) , |
B(1, 6) , C( 3,1) ; |
5) |
A(4, 2) , B( 1, 3) , C(1, 2) ; |
6) |
A( 1,1) , |
B(1, 2) , C(3,1) ; |
|
7) |
A(1,1) , B( 2, 3) , C(2, 0) ; |
8) |
A(2, 4) , B(1,1) , C(4, 2) ; |
||
9) |
A(3, 2) , B( 1, 3) , C(1, 2) ; |
10) |
A(3, 4) , |
B(2,1) , C(5, 2) ; |
|
11) |
A(5, 4) , |
B(4,1) , C(7, 2) ; |
12) |
A(2,1) , |
B(1, 2) , C(4, 1) ; |
13) |
A(2, 7) , |
B(1, 4) , C(4, 5) ; |
14) |
A(2, 0) , |
B(1, 3) , C(4, 2) ; |
15) |
A(2, 6) , |
B(1, 3) , C(4, 4) ; |
16) |
A( 3, 2) , B(2, 2) , C(4, 1) ; |
|
17) |
A(2, 7) , |
B(1, 2) , C(4, 3) ; |
18) |
A( 2, 2) , B(1, 1) , C(4,1) ; |
|
19) |
A(1, 4) , |
B(3, 2) , C( 3,1) ; |
20) |
A(2, 5) , |
B(1, 2) , C(4, 3) . |
98
ЗАДАЧА 11. Дана треугольная пирамида ABCD . Координаты вершин A , B , C указаны в задаче 5, а вершина D имеет координаты (10, 11, 12). Найдите:
а) скалярное произведение (DA, DB) и угол между ребрами
DA и DB ;
б) векторное произведение [ AB, AD] и площадь грани ABD ;
в) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды
ABCD ;
г) уравнения плоскостей ABC и ABD ;
д) угол между плоскостями ABC и ABD ;
е) уравнение прямой BD и угол между этой прямой и плоскостью ABC ;
ж) длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ; з) уравнение и длину медианы грани ABC , проведенной из
вершины A .
ЗАДАЧА 12. Найдите уравнение плоскости, которая проходит через точку A и параллельна данной плоскости.
1)A(2,1,1) , 3x y 2z 1 0 ;
2)A(2,1, 3) , x 4 y 3z 3 0 ;
3)A(1, 3, 2) , x y z 3 0 ;
4)A(1, 0, 1) , 2x y 5z 1 0 ;
5)A(3, 1,1) , 3x y 2z 1 0 ;
6)A(2,1, 0) , x y 2z 0 ;
7)A(3, 2,1) , x y z 1 0 ;
8)A( 3, 4,1) , 2x y z 1 0 ;
9)A( 1,1,1) , 5 y 2z 2 0 ;
10)A(0, 5, 7) , 3x y 2z 1 0 ;
11)A(0, 2,1) , x y 2z 5 0 ;
12)A(5, 2, 1) , 3x y z 4 0 ;
13)A(1, 2,1) , x 3y z 7 0 ;
99
14)A(3, 2,1) , 2x y z 2 0 ;
15)A(1, 3,1) , x 2 y z 4 0 ;
16)A(0, 2, 3) , x 5 y z 1 0 ;
17)A(3, 0, 2) , x 3y z 2 0 ;
18)A(2, 3, 0) , x y 7z 4 0 ;
19)A(5, 2,1) , x y 4z 1 0 ;
20)A(3, 4,1) , 2x y z 3 0 .
ЗАДАЧА 13. Прямая в пространстве задана общим уравнением. Найдите ее каноническое и параметрическое уравнения.
1) |
x 2 y 3z 4 0 |
2) |
x y z 4 0 |
||
|
|
|
|
||
|
3x 2 y 5z 4 0 |
|
2x y 3z 1 0 |
||
3) |
x y z 3 0 |
4) |
3x y z 4 0 |
||
|
|
|
|
||
|
x 2 y 2z 4 0 |
|
2x 2 y 5z 0 |
||
5) |
5x y z 1 0 |
6) |
3x 2 y z 5 0 |
||
|
|
|
|
||
|
5x 2 y z 5 0 |
|
x y 5z 1 0 |
||
7) |
3x 2 y 3z 1 0 |
8) |
5x 2 y 2z 4 0 |
||
|
|
|
|
||
|
x y z 7 0 |
|
3x 2 y 2z 2 0 |
||
9) |
x 3y 2z 8 0 |
10) |
6x 3y 2z 0 |
||
|
|
|
|||
|
x y z 3 0 |
|
|
x 2 y 6z 12 0 |
|
11) |
2x 2 y z 1 0 |
12) |
x y 3z 1 0 |
||
|
|
||||
|
|
x z 1 0 |
|
|
2x 2 y z 9 0 |
13) |
5x 3y z 18 0 |
14) |
x 4 y z 1 0 |
||
|
|
||||
|
|
2 y z 9 0 |
|
|
2x y 4z 3 0 |
15) |
2x y z 1 0 |
16) |
6x 3y z 3 0 |
||
|
|
||||
|
|
x 4 y z 3 0 |
|
|
x y 5z 5 0 |
17) |
2x y 2z 4 0 |
18) |
4x y z 10 0 |
||
|
|
||||
|
|
x 3y z 3 0 |
|
|
x 3y 2z 3 0 |
100